Контрольная работа 3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
 Скачать 1.55 Mb.
|
|
Задача №2. Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание. 1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  ,  .Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  ,  имеет вид: (3.7)Тогда уравнение плоскости  в силу уравнения (3.7) имеет вид  или  . Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде  . Для этого раскроем определитель по первой строке  . После преобразований получим:  .2) Найти нормальный вектор плоскости  .Решение. Нормальный вектор  - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты  . Рис. 3 Для плоскости нормальным является вектор = .Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами  будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.3) Найти косинус угла между плоскостями  и  .Решение. Угол  между двумя плоскостями  и  представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством  Для плоскости координаты нормального вектора  определяются равенствами  ,  ,  . Для плоскости - равенствами  ,  ,  . Следовательно,  = .4) Составить уравнение плоскости  , проходящей через точку  параллельно плоскости  : .Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку  , имеет вид (3.8)Подставим в уравнение (3.8) координаты точки  :  .Условие параллельности плоскостей  и  имеет вид (3.9)Так как плоскости и  параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид  . Запишем это уравнение в общем виде:  .5) Найти расстояние от точки  до плоскости :  .Решение. Расстояние  от точки до плоскости  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой (3.10)Для плоскости координаты нормального вектора  определяются равенствами  ,  ,  . Следовательно,  .6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки  и  .Решение. Уравнения прямой, проходящей через точки  и  имеют вид (3.11)Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения  или  .7) Найти направляющий вектор прямой  .Решение. Направляющий вектор  - это вектор, параллельный прямой.Если прямая задана каноническими уравнениями  , то направляющий вектор имеет координаты  . Рис. 4 Для рассматриваемой прямой направляющим вектором является вектор  .Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами  будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.8) Найти косинус угла между прямыми  и  .Решение. Угол между двумя прямыми  и  представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством Для прямой координаты направляющего вектора  определяются равенствами  ,  ,  . Для прямой - равенствами  ,  ,  . Значит,   .9) Составить канонические уравнения прямой  , проходящей через точку  параллельно прямой  :  .Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь  - координаты точки, через которую проходит прямая.В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим:  .Условие параллельности прямых  и  имеет вид (3.12)Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид  .10) Найти угол между прямой :  и плоскостью :  .Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен  , где  - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Рис. 5 Угол между прямой  и плоскостью  определяется формулой Для плоскости : координаты нормального вектора определяются равенствами  ,  ,  . Для прямой : координаты направляющего вектора  - равенствами  ,  ,  . Синус угла между прямой и плоскостью равен  =  . Следовательно,  .11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой :  .Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим:  .Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид (3.13)Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид  . Запишем это уравнение в общем виде:  .12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости :  .Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:  Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид .Так как прямая перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид:  .13) Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости :  .Решение. Координаты точки пересечения прямой  и плоскости представляют собой решение системы  (3.14)Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости :  . Отсюда  ;  . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой :  . Следовательно,  .Задача №3. К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых. Эллипс   Рис. 6 Гипербола  Гипербола  .  Рис. 7 Рис. 8 Парабола  Парабола  Рис. 9  Рис. 10 Парабола  Парабола   Рис. 11  Рис. 12 Приведем примеры решения задачи №3. Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки:  .Выделим полный квадрат:  . Отсюда  . Разделим обе части равенства на 25:  . Запишем полученное уравнение в каноническом виде:  .Выполним параллельный перенос осей координат по формулам  . При таком преобразовании начало координат переносится в точку  , уравнение эллипса принимает канонический вид  .В нашем примере  ,  ,  ,  .Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке  и полуосями  и  .  Рис. 13 Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.Решение. Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты:  .В скобках выделим полный квадрат:  ;  . Отсюда  .Выполним замену переменных  . После этого преобразования уравнение параболы принимает канонический вид  , вершина параболы в системе координат  расположена в точке  . Рис. 14 Задача №4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением  .Требуется: найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный  , начиная от  до  ;построить полученные точки; построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Решение. Сначала построим таблицу значений и  :
Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат  (полюса) и полярной оси  . Координаты точки  в полярной системе координат определяются расстоянием от полюса (полярным радиусом) и углом между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки под углом к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной .  Рис. 15 Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией  Рис. 16 Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат. Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами  и полярными координатами  существует следующая связь: ,  Откуда   Рис. 17 Итак, в уравнении исходной кривой  ,  . Поэтому уравнение принимает вид  . После преобразований получим уравнение  .Задача №5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1)  2)  Решение. Для того, чтобы решить неравенство  на плоскости, надо построить график линии  . Кривая  разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение  сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.1) Построим прямые  и  , заштрихуем область, в которой  . Затем построим параболу  и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую  и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы. Рис. 18 2) Построим линию, определяемую уравнением  . Эта линия представляет собой ту часть окружности  или  , на которой  . Далее построим прямую  ( ). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности с центром в точке  радиуса  прямой . Рис. 19 |
