Контрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант. Контрольная работа 3 Задание Вычислите определенные интегралы. 10. а б Решение.. б Решение
 Скачать 378.63 Kb.
|
|
Контрольная работа №3 Задание 1. Вычислите определенные интегралы. 10. а)  б)  Решение. = = ==  = .б) Решение.  = = ==  = = .Задание 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделайте рисунок. 20.   Построим область    = ==  .Ответ: 16,5 кв. ед. Задание 3. Найдите общие решения дифференциальных уравнений. 30. а)  б)  Решение. ,  .Подстановка  . ,  ,  . ,  ,  , ,  ,  , ,  – общее решение дифференциального уравнения.б) Решение. Составим хараетеристическое уравнение  ,  – корни характеристического уравнения:  ,  ,  .Общее решение дифференциального уравнения  Задание 4. Решите задачу Коши при начальном условии  40.  Решение. Подстановка:  . ,  .Пусть  . ,  ,  ,  ,  . ,  ,  ,  , – общее решение.Решим задачу Коши  ,   – частное решение.Задание 5. Вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью: 1) двойного интеграла; 2) тройного интеграла. 50.     Решение. Проекция тела на плоскость хОу  Определим объем тела: 1.   = ==  .2.   = == =.Ответ: 1/6 куб.ед. Задание 6. Даны векторное поле  и две поверхности  и  Вычислите:1) поток векторного поля  через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями и  в направлении внешней нормали;2) циркуляцию векторного поля вдоль линии L пересечения поверхностей и  в положительном направлении обхода относительно орта  60.    Решение. 1. Так как поверхность σ замкнута и нормаль внешняя, то для вычисления потока вектора через эту поверхность воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского. .Поток равен.   =  ==  =  .2. Найдем циркуляцию по формуле Стокса.   . ;  ;  . = .S – площадь проекции поверхностей  и на плоскость  (окружность радиуса 1 с центром в начале координат).  . Контрольная работа №4 Задание 1. Исследуйте сходимость числового ряда. 70.  Решение.  Найдем предел отношения  Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходиный признак сходимасти  .Задане 2. Найдите радиус и область сходимости степенного ряда, установите тип сходимости (абсолютная, условная сходимость). 80.  Решение. Рассмотрим ряд из модулей:   ,  .Найдем радиус сходимости  Область сходимости:  .Иследуем сходимость ряда на концах интервала  ,  ряд расходится (по предельному признаку сраввнения, сравниваем с рядом  ). ,  – расходится.Исследуем ряд  на концах интервала  ,  –расходится.,  – знакочерезующийся ряд.Воспольузуемся признаком Лейбница. 1-ое условие:  – выполняется.2-ое условие:  – выполняется.При – ряд сходится.Область содимости:  Задание 3. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена. 90.  Решение. Разложим функцию в степенной ряд  =  . =  .Тогда  =  ==  =  Для вычисления интеграла достаточно 5-ть первых членов ряда (6-ой член ряде не провосходит величины 0,001):  . Задания 4. На промежутке  задана  периодическая функция  1) постройте график функции; 2) разложите функцию в ряд Фурье; 3) постройте график суммы ряда Фурье. 100.  Решение.  Разложим функцию в ряд Фурье  ,где  ,  .Вычислим коэффициенты ряда Фурье  ,  . =  ==  =  =  ==  . =  = =  =  =  . Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:  . Задание 5. Разложите функцию  в ряд Лорана в окрестности точки  110.   Решение.  .Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z) мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2.  .Тогда  Задание 6. Вычислите заданный интеграл при помощи вычетов. 120.  Решение. Контур интегрирования представляет собой окружность радиуса 3 с центром в точке  .Внутри контура находятся две изолированные особые точки подынтегральной функции  и  – простые полюса. = . = = = = 0. = = = = . =  =  .Задание 7. Найдите изображение заданного оригинала  130.  Решение.  .По таблице изображений находим.  |