Числовые последовательности. Е. Последовательностью
 Скачать 1.08 Mb.
|
Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество : Предел последовательности - Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любой E окружности точки а найдется такой номер n0, что все члены с номерами n>= n0 будут содержаться в Е окрестности в точке а Свайства:
ББП - последовательность {Xn}, если справидливо равнство Свойства:
Предел отношения многочленов - предел функции f(x) в точке а равен в, если для любой последовательности аргументов X1,X2,...,Xn этой функции. Если для любой последовательности функции имеющий предел а последовательность соответствующих щначений функции f(x1), f(x2),... f(Xn) имеет предел в Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей). Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся. Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Число е - математическая константа, являющаяся трансцендентным числом. Чаще всего называется числом Эйлера, реже - числом Непера. Число е является основанием натурального логарифма: Данное число есть предел выражения при условии, что стремится к бесконечности: - второй замечательный предел.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε. Свойства:
Замена переменной - Если существуют и причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие , то в точке существует предел сложной функции и справедливо равенство Непрерывность функции- Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е. lim х→а f(x) = f(a). Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия: функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a); существует предел lim х→а f(x) функции в точке х = а; предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е. lim х→а f(x) = f(a). Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) – f(a)| < ε. Непрерывность элементарных функций- Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя: Алгебраические многочлены Axn+Bxn−1+…+Kx+L; Рациональные дроби Axn+Bxn−1+…+Kx+LMxm+Nxm−1+…+Tx+U; Степенные функции xp; Показательные функции ax; Логарифмические функции logax; Тригонометрические функции sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx; Обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctanx, arccot x, arcsec x, arccsc x; Гиперболические функции sinhx, coshx, tanhx, cothx, sech x, csch x; Обратные гиперболические функции arcsinh x, arccosh x, arctanh x, arccoth x, arcsech x, arccsch x.
Замечательные пределы - 1 Определение Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю. 1° 2° 3° 4° Второй замечательный предел: {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.} Следствия из второго замечательного предела 1° 2° 3° 4° 5° 6° Бесконечно малые и бесконечно большие величины и техника вычисления пределов Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если Обозначают: при . Таблица эквивалентных б.м. функций Таблица эквивалентных б.м. функций при
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами. Асимптоты (вертикальная, горизонтальная, наклонная). Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Точки разрыва и их классификация Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
называется точкой разрыва функции. Точка разрыва первого рода Определение Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода Точка разрыва второго рода Определение Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Точка устранимого разрыва Определение Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Производная функции и ее свойства, геометрический и механический смысл производной. Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу приращение , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение. Если существует предел этого отношения при стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Иначе говоря: (— приращение функции, — приращение аргумента). Правила дифференцирования Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве , и — любые действительные числа. Тогда на множестве справедливы соотношения: , , , , Основные формулы дифференцирования. Механический смысл производной Теорема (Механический смысл производной) Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени : Геометрический смысл производной Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :
Дифференциал функции и его геометрический смысл Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента). Это записывается так: Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок). Применение дифференциала к приближенному вычислению значений функций Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е. Установленное во втором параграфе приближенное равенство или (10) позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство более подробно. Так как а то или (11) Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производная функции, заданной неявно Определение Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной . Производная функции, заданной параметрически Определение Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы задают параметрическое представление функции одной переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом: Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала-го порядка этой функции, то есть Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной) Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма) В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция
Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля) Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях) Пусть функция
Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что Замечание Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда (Геометрический смысл теоремы Лагранжа) На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде: Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций) Если функции и :
тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что Теорема Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке. Теорема Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.
Условия монотонности функции Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. Функция называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е. Функция называется неубывающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство . Функция называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство . |