Числовые последовательности. Е. Последовательностью
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задача о площади криволинейной трапеции О: Под криволинейной трапецией пониматся фигура, которая имеет границу в данном случаеявляется непрерывной (рис. 17.1). Вычислим площадь криволинейной трапеции. Для этого следует разделить отрезокс помощью точекнаэлементарных отрезков. Отметимопределим случайные точкии отобразим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с высотамии основаниями. Площадь ступенчатой фигурыи определяет приблизительное значение площади криволинейной трапеции. В качестве точного значения площади запишем Рис. 17.1 Задача о работе переменной силы Определим работу переменной силы, для которой характерно постоянное направление. Под дествием этой силы материальная точка меняет свое расположение и перемещается извпо прямой, имеющей направление вдоль линии действия силы (рис. 17.2). Рис. 17.2 Осуществим деление, подобно тому, как было сделано в п.17.1.1:равна. Приближенное значение работы на всем пути — В качестве точного значения обозначим Определенный интеграл и его свойства. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку и составим сумму . Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: . В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению: Если b=a, то ; если b<a, то .
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка [a; a] и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется . Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). 11.2. Свойства определённого интеграла. 1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и . Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то . Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов xi: c = xi0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и . Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x)интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что . При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a. 3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то . Док-во. Еслиf(x) = 1 , то для любого разбиения = xn - x0 = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение. 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то . Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство. 5. Теоремы об оценке интеграла. 5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то . Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство. 5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то . Док-во. . 6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между mи M. Таким образом, существует точка , такая что . Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом) Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела. Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: . Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: Доказательство. По определению производной где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где Тогдаследует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом, Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции . Формула Ньютона-Лейбница Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, . Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .
Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример: Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , , функция непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда . Несобственные интегралы Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: - интеграл сходится; - интеграл расходится. Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , то ; если то ; Поэтому (это уже собственный интеграл) = .
1. Вычисление площади плоской фигуры 1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1). 1.2. Если на отрезке [a, b], непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10). 1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11). Рис. 10 Рис. 11 П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему = кв. ед. (рис. 12). 1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями t в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где и значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т. е. . П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью . Замечание. Циклоида плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13). Решение. Искомая площадь ; . П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями, y = 2 . Решение. Из условия задачи следует, что y>0 при любом t. Решим неравенство ,,. Но по условию . При k = 0 2 t 3 2 , . При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14). Искомая площадь . 2. Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB зада-на в полярных координатах уравнением , , причем непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы , будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле . (27) П р и м е р 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4-лепестковая роза рис. 16). Решение. Меняя непрерывно от 0 до , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (табл. 3). Таблица 3
|