Числовые последовательности. Е. Последовательностью
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Вычислим площадь одного лепестка по формуле (27) . Следовательно, площадь всех лепестков . П р и м е р 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , (рис. 17). Решение. При изменении от 0 до полярный радиус опишет кривую, изображенную на (рис. 17), при . Уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 0 радиуса 2. Найдем, при каких линии пересекаются. Для этого решим систему ; ; ; . И тогда искомая площадь ; . 3. Вычисление длины дуги плоской кривой 3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой . (28) 3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , где x(t), y(t) дифференцируемые функции, то длина дуги . (29) 3.3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги . (30) П р и м е р 20. Вычислить длины дуг плоских кривых: а) ; б) ; в) , . Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как , то . б) Воспользуемся формулой (11). Так как , то. в) . 4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов. 4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) интегрируемая функция. 4.2. Вычисление объема тела вращения: а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ; б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ; г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле . П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси OX. Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему: Получим две точки пересечения: х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0. Сделаем чертеж (рис. 19). .
П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: ; z = 0; z = 3. Решение. однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы (рис. 20) с полуосями , . Как известно, площадь эллипса куб. ед. 5. Вычисление площади поверхности вращения 5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь . 5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , причем , то . 5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле . П р и м е р 23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x2 + y2 = R2 вокруг оси OX (рис. 21). Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части. Найдем и Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса Физические приложения определенного интеграла Вычисление работы с помощью определённого интеграла. Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведённую силой при перемещении точки М из положения в положение . 1) Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом . 2) Если сила переменная величина, то . Пример: Два электрических заряда и находятся на оси соответственно в точках и . Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку ? (Сила взаимодействия зарядов ). Решение: ==== =. Координаты центра тяжести. Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках. Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести определяются формулами : , . Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси и имеющей верхнюю границу , центр тяжести имеет координаты где площадь криволинейной трапеции. Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком функции сверху и снизу, определяется формулами Пример: Найти координаты центра тяжести однородного полукруга , расположенного над осью . Решение: Применим формулы Так как полукруг расположен над осью , то верхняя граница задаётся уравнением В силу симметрии фигуры относительно оси ординат, абсцисса центра тяжести равна нулю. Найдём ординату: Координаты центра тяжести имеют вид
Матрицы, действия с матрицами. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов. Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой. Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы. Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число. Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов. Свойства линейных операций:
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы . Свойства произведения матриц:
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами. Свойства транспонирования матриц: Определители и их свойства, обратная матрица Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число, называемое определителем матрицы или детерминантом. При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: Пример Известно, что определитель матрицы равен 3. Тогда определитель матрицы , которая равна , также равен 3. 2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя. Пример 3° То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц. Пример Задание. Пусть определитель матрицы третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы . Решение. По свойству Ответ. 4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем. 5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак. Пример 6° Определитель с двумя равными строками равен нулю. Пример 7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю. Пример 8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю. Пример 9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. Пример Пусть задан определитель третьего порядка . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться: 10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. Пример 11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей: Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка. Свойства обратной матрицы: 1° 2° 3° 4°
Системы линейных алгебраических уравнений. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида: Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество. СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. Пример Система является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение , Пример Система является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов это не выполняется. Определение Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение. В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой. Определение Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно. Пример Определение Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных. Пример Система квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы. Матричная запись систем уравнений Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде: , где матрица называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; - вектором-столбцом неизвестных, - вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов. Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная из матрицы системы , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов. Матричный метод, методы Крамера и Гаусса для решения систем, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных определитель матрицы системы не равен нулю апишем заданную систему в матричном виде: Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева: Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов. Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод. совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей. Замечание Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной. Замечание Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей. Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.
Исследование систем методом Гаусса в общем случае. Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса: Смена мест двух строк; Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю. Примеры решения систем уравнений Пример Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений): Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых: Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ): Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1: От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: Умножив третью строку на , получаем: Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью: Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую: Полученной матрице соответствует система или Ответ. |