Числовые последовательности. Е. Последовательностью
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Критические точки, экстремумы: необходимое и достаточное условия Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: . Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности . Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами. Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство . Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство . Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. (Необходимое условие экстремума) Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Замечание Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум. (Первое достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия:
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет. Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
(Второе достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия:
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции на отрезке Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что . Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках. Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .
Исследование выпуклости функции График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1). График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2). (Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции) Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость. Точки перегиба Определение Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости. Теорема (О необходимом условии существования точки перегиба) Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует. Теорема (О достаточном условии существования точки перегиба) Если:
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
Общая схема исследования функции и построения ее графика. При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
Первообразная Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству: (О бесконечном множестве первообразных для функции) Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке. Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных. Теорема (Об общем виде первообразной для функции) Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде . Неопределенный интеграл и его свойства Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования. Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых , где каждому конкретному числовому значению постоянной соответствует определенная кривая из указанного семейства. График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой. Теорема Каждая непрерывная на промежутке функция, имеет на этом интервале первообразную.
Таблица основных интегралов
Основные методы интегрирования: разложение в сумму, замена переменных, интегрирование по частям. 1. Метод непосредственного интегрирования Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов. 2. Внесение под знак дифференциала В формуле неопределенного интеграла величина означает, что берется дифференциал от переменной . Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла. Для этого используется формула Если нужная функция отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраических преобразований. В общем виде справедливо равенство: 3. Интегрирование заменой переменной Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть , где функция имеет непрерывную производную , а между переменными и существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования. 4. Интегрирование по частям Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле При нахождении функции по ее дифференциалу можно брать любое значение постоянной интегрирования , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать . Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой. Интегрирование рациональных функций Для интегрирования рациональной функции P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Простыми дробями называются рациональные дроби вида , , где ,. Теорема (О разложении многочлена на элементарные множители) Многочлен -ой степени может быть разложен на произведение сомножителей следующим образом: Здесь - корни многочлена , а - коэффициент при старшей степени указанного многочлена. Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом: если . Здесь - корни многочлена . (О разложении правильной рациональной дроби на сумму простых дробей) Каждая рациональная дробь , знаменатель которой имеет вид , может быть разложена и притом единственным образом на сумму простых дробей по правилу где - действительные постоянные числа, часть которых в разложении может обратиться в нуль. В частности, если в знаменателе правильной рациональной дроби стоит квадратный трехчлен, то Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении
Второй способ нахождения коэффициентов Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно тождестве аргументу придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. . Если же , то дробь называется неправильной. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида (1) Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами (2) (3) (4) можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам (5) и (6) Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е. (7) В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю. При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен - sin x dx). Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные. Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 - нечётный. Тогда, учитывая, что получим Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей - нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса - это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень - отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени - только чётные. О них - следующем абзаце. Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей - отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе. Использование метода замены переменой Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус - в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t, но и tgx = t и ctgx = t. Универсальная тригонометрическая подстановка Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом: где . Тогда . Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов. |