Числовые последовательности. Е. Последовательностью
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Однородные системы Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно. Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, всегда совместна, так как всегда является ее решением. Заметим, что если - это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ: Теорема Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.
Полярная система координат. Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается {\displaystyle r}) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается {\displaystyle \varphi }, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.[1] Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. м Кривые в полярных координатах Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида. Окружность Круг, заданный уравнением . Общее уравнение окружности с центром в () и радиусом имеет вид: Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .[15] Прямая Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением где — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением Полярная роза Полярная роза задана уравнением . Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: для произвольной постоянной (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных , либо с лепестками для чётных . Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков. Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь - лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным. Спираль Архимеда Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для . Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения: Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением. Конические сечения Эллипс. Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением: где — эксцентриситет, а — фокальный параметр. Если , это уравнение определяет гиперболу; если , то параболу; если , то эллипс. Отдельным случаем является , определяющее окружность с радиусом .
Комплексные числа. Комплексным числом называется выражение вида Комплексным числом называется выражение вида Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению: Тригонометрическая и полярная формы. Пусть задано комплексное число . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть , а ордината - мнимой части (рис. 1). Абсциссу и ординату комплексного числа можно выразить через модуль и аргумент следующим образом: В данном случае и удовлетворяют соотношениям: Тогда Таким образом, для всякого комплексного числа справедливо равенство которое называется тригонометрической формой комплексного числа . Показательная форма комплексного числа Показательной формой комплексного числа называется выражение Алгебраическая форма комплексного числа Запись комплексного числа в виде , где и - действительные числа, называется алгебраической формойкомплексного числа. Например. Подробнее о данной форме записи комплексных чисел по ссылке → Тригонометрическая форма комплексного числа Если - модуль комплексного числа , а - его аргумент, то тригонометрической формойкомплексного числа называется выражение Возведение в степень и извлечение корня. Возводить в натуральную степень , если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической. Пусть число , тогда умножая его само на себя раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень ), получим: Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени. Если , то получаем, что Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик). Корнем -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений. Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик): Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник. Основная теорема алгебры и разложение многочлена на множители Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. Следствие 1. Любой многочлен p(z)=anzn+an−1zn−1+…+a1z+a0p(z)=anzn+an−1zn−1+…+a1z+a0 степени n>1n>1 с комплексными коэффициентами a0,a1,…,an−1,an≠0a0,a1,…,an−1,an≠0 можно представить в виде произведения линейных двучленов: anzn+an−1zn−1+…+a1z+a0=an(z−z1)k1(z−z2)k2⋅…⋅(z−zs)ks,anzn+an−1zn−1+…+a1z+a0=an(z−z1)k1(z−z2)k2⋅…⋅(z−zs)ks, (B.13) где z1,z2,…,zsz1,z2,…,zs — корни многочлена кратности k1,k2,…,ksk1,k2,…,ks соответственно, причем k1+k2+…+ks=nk1+k2+…+ks=n . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно nn корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Следствие 2. Если многочлены p(z)p(z) и q(z)q(z) , степени которых не превосходят nn , имеют равные значения более чем при п различных значениях переменной zz , то эти многочлены равны: p(z)=q(z)p(z)=q(z) . В самом деле, по условию многочлен [p(z)−q(z)][p(z)−q(z)] имеет более, чем nn корней, хотя его степень меньше или равна nn , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени p(z)−q(z)=a0p(z)−q(z)=a0 . Так как он имеет корни, то a0=0a0=0 . Следовательно, p(z)−q(z)=0p(z)−q(z)=0 , то есть p(z)=q(z)p(z)=q(z) . Это следствие позволяет рассматривать многочлен p(x)p(x) не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной xx , поскольку равенство многочленов p(x)=q(z)p(x)=q(z) , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях xx , совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства p(x)=q(x)p(x)=q(x) двух функций при всех значениях xx . Рассмотрим многочлен p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 с действительными коэффициентами a0,a1,…,an−1,an≠0a0,a1,…,an−1,an≠0 . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид p(x)=an⋅(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋅…⋅(x−xs)ks,p(x)=an⋅(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋅…⋅(x−xs)ks, где x1,x2,…,xsx1,x2,…,xs — корни многочлена (могут быть комплексные). Если комплексное число cc является корнем этого многочлена, то есть p(c)=an⋅cn+an−1⋅cn−1+…+a1⋅c+a0=0,p(c)=an⋅cn+an−1⋅cn−1+…+a1⋅c+a0=0, то сопряженное число c¯¯c¯ также является его корнем, т.е. p(c¯¯)=0p(c¯)=0 . Это вытекает из равенства p(c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯=p(c¯¯)p(c)¯=p(c¯) . Поскольку числа cc и c¯¯c¯ не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение (x−c)⋅(x−c¯¯)=x2−(c+c¯¯)⋅x+c⋅c¯¯.(x−c)⋅(x−c¯)=x2−(c+c¯)⋅x+c⋅c¯. Так как сумма (c+c¯¯)(c+c¯) и произведение cc¯¯cc¯ сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если c≠c¯¯c≠c¯ , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный. Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число cc — корень многочлена p(c)p(c) с действительными коэффициентами, то сопряженное число c¯¯c¯ является его корнем той же кратности. В самом деле, если cc — корень кратности kk , то для него выполняются условия (В.12) p(c)=0,p′(c)=0,…,p(k−1)(c)=0,p(k)(c)≠0.p(c)=0,p′(c)=0,…,p(k−1)(c)=0,p(k)(c)≠0. Из условий p(c¯¯)=p(c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯=0,p′(c¯¯)=p′(c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=0,…,p(k−1)(c¯¯)=p(k−1)(c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=0,p(k)(c¯¯)=p(k)(c)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯≠0p(c¯)=p(c)¯=0,p′(c¯)=p′(c)¯=0,…,p(k−1)(c¯)=p(k−1)(c)¯=0,p(k)(c¯)=p(k)(c)¯≠0 следует, что c¯¯c¯ — корень той же кратности kk . Следствие 4. Всякий многочлен p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами): anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0=an⋅(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋅…⋅(x−xs)ks⋅⋅(x2+p1x+q1)m1⋅(x2+p2x+q2)m2⋅…⋅(x2+prx+qr)mr,anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0=an⋅(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋅…⋅(x−xs)ks⋅an⋅(x2+p1x+q1)m1⋅(x2+p2x+q2)m2⋅…⋅(x2+prx+qr)mr, (B.14) где x1,x2,…,xsx1,x2,…,xs — действительные корни кратности k1,k2,…,ksk1,k2,…,ks , причем k1+k2+…+ks+2m1+2m2+…+2mr=nk1+k2+…+ks+2m1+2m2+…+2mr=n . Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень. Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены (x−x1),(x−x2),…,(x−xs)(x−x1),(x−x2),…,(x−xs) ). Вынесение общего множителя за скобки. Этопреобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b) Пример. Разложить многочлен на множители 12 y 3 – 20 y 2. Решение. Имеем: 12 y 3 – 20 y 2 = 4 y 2 · 3 y – 4 y 2 · 5 = 4 y 2 (3 y – 5). Ответ. 4 y 2(3 y – 5). Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения. Пример. Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение. Имеем: x 4 – 1 = ( x 2 ) 2 – 1 2 = ( x 2 – 1)( x 2 + 1) = ( x 2 – 1 2 )( x 2 + 1) = ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1). Ответ. ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1). Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения. Пример. Разложить на множители многочлен x 3 – 3 x 2 y – 4 xy + 12 y 2. Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом: x 3 – 3 x 2 y – 4 xy + 12 y 2 = ( x 3 – 3 x 2 y ) – (4 xy – 12 y 2 ). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x 2, а во второй − 4 y . Получаем: ( x 3 – 3 x 2 y ) – (4 xy – 12 y 2 ) = x 2 ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ). Теперь общий множитель ( x – 3 y ) также можно вынести за скобки: x 2 ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ) = ( x – 3 y )( x 2 – 4 y ). Ответ. ( x – 3 y )( x 2 – 4 y ). Способ выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Пример. Разложить на множители многочлен x 4 + 4 x 2 – 1. Решение. Имеем x4+4x2−1=x4+2⋅2x2+4−4−1=(x2+2)2−5=(x2+2−√5)(x2+2−√5)x4+4x2−1=x4+2⋅2x2+4−4−1=(x2+2)2−5=(x2+2−5)(x2+2−5). Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1. Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – p )( ax 2 + bx + c ) = ax 3 + ( b – ap ) x 2 + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: ⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩a=3b−ap=−1c−bp=−3−pc=1{a=3b−ap=−1c−bp=−3−pc=1. Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1). |