высшая математика. 2 курс высшая математика. Контрольная работа 4 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
![]()
|
(Контрольная работа № 4 «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы») В задачах 401-405 дана функция z=f(x,y). Найти: 1) полный дифференциал dz; 2) частные производные второго порядка ![]() ![]() ![]() ![]() 404. ![]() Решение ![]() ![]() Тогда полный дифференциал первой степени равен: ![]() Найдем частные производные второго порядка: ![]() ![]() Найдем смешанные производные: ![]() ![]() В задачах 411-415 дано уравнение поверхности в неявном виде F (x,y,z)=0. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к данной поверхности в точке М (x0;y0;z0), если абсцисса х0 и ордината у0 этой точки заданы. 414. ![]() Решение Найдем z0 , подставив значения в функцию. ![]() Найдем частные производные плоскости и значение их в точке M : ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение касательной плоскости: ![]() ![]() - общее уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0 Уравнение нормали плоскости: ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() В задачах 421-430 найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области. 425. ![]() Решение Изобразим область ![]() Рис Вычислим частные производные z`x и z`y: ![]() ![]() Находим все критические точки: ![]() Решением системы является точка V(1; 1). Найденная точка принадлежит области D. ![]() Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, AC На участке АВ: ![]() Точка ![]() ![]() На участке ВС: ![]() Точка ![]() ![]() На участке AC: ![]() т. M (3; 0) –принадлежит области D ![]() Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область D. ![]() Выберем наибольшее и наименьшее значения: zнаиб = 5, zнаим = -13. ![]() Рис. Критические точки В задачах 431-440 данную функцию z=f(x,y) исследовать на экстремум. 435. ![]() Решение Найдем частные производные функции: ![]() ![]() Решить систему уравнений: ![]() Значит А (-3; 0) – критическая точка. Находим частные производные второго порядка. ![]() ![]() ![]() Определяем значения частных производных в точке А (-3; 0) ![]() ![]() ![]() Вычислим определитель. ![]() ![]() Ответ: А (-3; 0) имеет экстремум, при чем максимум В задачах 441-460 требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования. 446. ![]() Решение По у интеграл перемещается от ![]() ![]() По х интеграл перемещается от х = 0 до х = 4. Изобразим это на плоскости хОу ![]() Для изменения порядка интегрирования перейдем к обратным функциям (выразим х через у): ![]() ![]() Из рисунка следует ![]() Тогда: ![]() Ответ: ![]() 456. ![]() Решение По у интеграл перемещается от ![]() ![]() По х интеграл перемещается от х = 0 до х = 3. Изобразим это на плоскости хОу ![]() Для изменения порядка интегрирования перейдем к обратным функциям (выразим х через у): ![]() ![]() Из рисунка следует ![]() Тогда: ![]() Ответ: ![]() В задачах 461-480 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже. 467. ![]() Решение Преобразуем функции по х: ![]() Приравниваем ![]() Это третья линия ограничивающая нашу фигуру справа и слева. т.е. ![]() В плоскости хОу ограничена линиями ![]() ![]() Тогда объем тела равен: ![]() Ответ: ![]() 477. ![]() Решение Преобразуем функции по х: ![]() Приравниваем ![]() Это третья линия ограничивающая нашу фигуру справа и слева. т.е. ![]() В плоскости хОу ограничена линиями ![]() ![]() Тогда объем тела равен: ![]() Ответ: ![]() В задачах 481-490 даны криволинейный интеграл ![]() ![]() 488. ![]() Решение Сделаем чертеж ![]() по ломаной ОАС на ОА y=0=>dy=0 и x [0; 4] на AC x=4=>dx=0 и y [0;8] ![]() 2) по ломаной ОВС на ОB x=0=>dx=0 и y [0;8] на ВС y=8=>dy=0 и x [0; 4] ![]() 3) по дуге ОС параболы ![]() dy = xdx и x [0; 4] ![]() Результаты разные, следовательно, данный интеграл зависит от пути интегрирования. В задачах 491-500 найти функцию U (x,y) по ее полному дифференциалу dU. 498. ![]() Проинтегрируем дифференциал по х, а затем по у: ![]() ![]() ![]() Соединим функцию: ![]() Из функции видно, что ![]() Тогда ![]() Ответ: ![]() |