высшая математика. 2 курс высшая математика. Контрольная работа 4 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

• Название: Контрольная работа 4 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
• Анкор: высшая математика
• Дата: 02.09.2020
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: 2 курс высшая математика.docx
• Тип: Контрольная работа; #136563

(Контрольная работа № 4 «Кратные, криволинейные и

поверхностные интегралы»)
В задачах 401-405 дана функция z=f(x,y). Найти: 1) полный дифференциал dz; 2) частные производные второго порядка и ; 2) смешанные частные производные и .

404.

_{Решение}

1. 
   
   

Тогда полный дифференциал первой степени равен:

2. 
   Найдем частные производные второго порядка:
   

3. 
   Найдем смешанные производные:
   

В задачах 411-415 дано уравнение поверхности в неявном виде F (x,y,z)=0. Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к данной поверхности в точке М (x₀;y₀;z₀), если абсцисса х₀ и ордината у₀ этой точки заданы.

414.

Решение

Найдем z₀ , подставив значения в функцию.



Найдем частные производные плоскости и значение их в точке M :







<sub>Уравнение касательной плоскости:





- общее уравнение касательной плоскости к поверхности в точке</sub> M<sub>0

Уравнение нормали плоскости:



-</sub> каноническое уравнение нормали к поверхности в точке M₀

Ответ: - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀:

- каноническое уравнение нормали к поверхности в точке M₀

В задачах 421-430 найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области.
425. в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и прямой х+у=3.
<sub>Решение

Изобразим область



Рис</sub>

Вычислим частные производные z`<sub>x</sub> и z`_y:





Находим все критические точки:



Решением системы является точка V(1; 1). Найденная точка принадлежит области D.



Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, AC
На участке АВ:



Точка принадлежит области


На участке ВС:



Точка принадлежит области D


На участке AC:

.

т. M (3; 0) –принадлежит области D


Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область D.

,

Выберем наибольшее и наименьшее значения: z_наиб = 5, z_наим = -13.



_{Рис. Критические точки}
В задачах 431-440 данную функцию z=f(x,y) исследовать на экстремум.

435.

_{Решение}

Найдем частные производные функции:





Решить систему уравнений:



Значит А (-3; 0) – критическая точка.

Находим частные производные второго порядка.







Определяем значения частных производных в точке А (-3; 0)







Вычислим определитель.

, следовательно, функция в точке А (-3; 0) имеет экстремум, при чем максимум так как
Ответ: А (-3; 0) имеет экстремум, при чем максимум
В задачах 441-460 требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.
446.

Решение

По у интеграл перемещается от до

По х интеграл перемещается от х = 0 до х = 4. Изобразим это на плоскости хОу



Для изменения порядка интегрирования перейдем к обратным функциям (выразим х через у):





Из рисунка следует



Тогда:



Ответ:

456.

Решение

По у интеграл перемещается от до

По х интеграл перемещается от х = 0 до х = 3. Изобразим это на плоскости хОу



Для изменения порядка интегрирования перейдем к обратным функциям (выразим х через у):





Из рисунка следует



Тогда:



Ответ:
В задачах 461-480 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.
467.

Решение

Преобразуем функции по х:
Приравниваем

Это третья линия ограничивающая нашу фигуру справа и слева. т.е. .

В плоскости хОу ограничена линиями .



Тогда объем тела равен:



_Ответ:
477.
Решение

Преобразуем функции по х:
Приравниваем

Это третья линия ограничивающая нашу фигуру справа и слева. т.е. .

В плоскости хОу ограничена линиями .



Тогда объем тела равен:



_Ответ:

В задачах 481-490 даны криволинейный интеграл и четыре точки плоскости хОу: О (0;0), А (4;0), В (0;8) и С (4;8). Вычислить данный интеграл от точки О до точки С по трем различным путям: 1) по ломаной ОАС; 2) по ломаной ОВС; 3) по дуге ОС параболы . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.

488.

Решение

Сделаем чертеж

1. 
   по ломаной ОАС
   

на ОА y=0=>dy=0 и x [0; 4]

на AC x=4=>dx=0 и y [0;8]



2) по ломаной ОВС

на ОB x=0=>dx=0 и y [0;8]

на ВС y=8=>dy=0 и x [0; 4]



3) по дуге ОС параболы

dy = xdx и x [0; 4]



Результаты разные, следовательно, данный интеграл зависит от пути интегрирования.

В задачах 491-500 найти функцию U (x,y) по ее полному дифференциалу dU.

498.

Проинтегрируем дифференциал по х, а затем по у:







Соединим функцию:



Из функции видно, что есть в обоих интегралах.

Тогда



Ответ: