Метод изоклин. Дифференциальное уравнение первого порядка. Метод изоклин Дифференциальное уравнение первого порядка. Решение, которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу
![]()
|
Дифференциальное уравнение первого порядка ý = f(x, y) имеет общее решение ![]() Если переменные х и у правой части дифференциального уравнения рассматривать как координаты точки М(х, у) плоскости хОу, то производная ![]() ![]() Изображая направление в каждой точке области существования функции ![]() Изоклинами дифференциального уравнения ý = f(x, y) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление. Уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Метод изоклин состоит в следующем: 1. Строится достаточно густая сетка изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаются небольшие отрезки с наклоном k. 2. Начиная из точки (x0, y0), поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0). Пусть дано уравнение ![]() Сначала строятся графики изоклин. Уравнение семейства изоклин данного уравнения ![]() ![]() При k=0 получается изоклина ![]() При k=1 получается изоклина ![]() ![]() При k=-1 получается изоклина ![]() ![]() ![]() Рис. 1. Поле направлений уравнения ![]() Задается определенная точка (x0, y0) и поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. На рис. 2 показаны интегральные кривые, касающиеся поля направлений. Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую. ![]() Рис. 2. Интегральные кривые уравнения ![]() |