Метод изоклин. Дифференциальное уравнение первого порядка. Метод изоклин Дифференциальное уравнение первого порядка. Решение, которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу
 Скачать 48.27 Kb.
|
|
Дифференциальное уравнение первого порядка ý = f(x, y) имеет общее решение  , которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу.Если переменные х и у правой части дифференциального уравнения рассматривать как координаты точки М(х, у) плоскости хОу, то производная  выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке М(х, у). Таким образом, дифференциальное уравнение ý = f(x, y) определяет в каждой точке плоскости хОу, принадлежащей области существования функции  , направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, или определяет поле направлений на плоскости хОу.Изображая направление в каждой точке области существования функции маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить поле направлений дифференциального уравнения, которое дает приближенное представление о расположении интегральных кривых этого уравнения.Изоклинами дифференциального уравнения ý = f(x, y) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление. Уравнение  является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению  , где  – параметр. Придавая близкие числовые значения, получается достаточно густая сеть изоклин – семейство изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения. Нулевая изоклина  дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения, т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения ý = f(x, y) не определена.Метод изоклин состоит в следующем: 1. Строится достаточно густая сетка изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаются небольшие отрезки с наклоном k. 2. Начиная из точки (x0, y0), поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0). Пусть дано уравнение  и требуется построить поле направлений и интегральные кривые, определяемые этим уравнением.Сначала строятся графики изоклин. Уравнение семейства изоклин данного уравнения  или  . Изоклины представляют собой семейство квадратичных парабол с осями, совпадающими с осью Ох. Меняя параметр k, получается семейство графиков изоклин, на них строится поле направлений.При k=0 получается изоклина  , во всех точках которой направление поля параллельно оси Ох (Рис. 1).При k=1 получается изоклина  , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол  .При k=-1 получается изоклина  , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол  . Рис. 1. Поле направлений уравнения  .Задается определенная точка (x0, y0) и поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. На рис. 2 показаны интегральные кривые, касающиеся поля направлений. Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.  Рис. 2. Интегральные кривые уравнения . |