Курсовая по диффурам. Задание Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку Решение Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения.
![]()
|
Задание 1. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку ![]() ![]() Решение: Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения. Изоклины, соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 2. Найти линию, проходящую через ![]() ![]() Решение: Сделаем чертеж: ![]() Уравнение нормали к кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Константу ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: ![]() Решение: Представим данное уравнение в следующем виде: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: ![]() Решение: Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используем метод неопределенных коэффициентов: ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: ![]() Решение: Найдем решение системы уравнений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используем метод неопределенных коэффициентов: ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() ![]() ![]() Подставляем ![]() ![]() ![]() Подставляем ![]() ![]() ![]() Задание 6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: ![]() Решение: Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах для некоторой функции ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах для некоторой функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 7. Найти решение задачи Коши: ![]() ![]() Решение: Представим данное уравнение в следующем виде: ![]() ![]() Отсюда следует, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Умножим обе части равенства на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Константу ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() Задание 8. Найти решение задачи Коши: ![]() ![]() Решение: Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим первое уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим второе уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() Константу ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() Задание 9. Решить задачу Коши: ![]() ![]() Решение: Представим данное уравнение в следующем виде: ![]() ![]() ![]() Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим первое уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим второе уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() Константу ![]() ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения: ![]() Решение: Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интегрируем обе части полученного уравнения: ![]() ![]() Интегрируем обе части полученного уравнения: ![]() ![]() ![]() |