Kontrolnaja_rabota2 математика. Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними
 Скачать 4.8 Mb.
|
|
b. Справедлива формула (1)  , где - угол, образованный вектором с осью OX.Здесь ; .Тогда, применяя формулу (1), получим: .c. Найдём значение функции в точке А(-1;0). . Тогда С(-1;0;1).Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке имеет вид , (2)а уравнение нормали – . (3)Подставим найденные значения частных производных в точке А(-1;0) в формулу (2), найдём уравнение касательной плоскости в точке С(-1;0;1): или , а уравнение нормали на основании формулы (3) запишется в виде: .Задача 9. Найти экстремум функции .Решение. Находим стационарные точки функции. Для этого вычисляем первые частные производные данной функции: ; .Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений , из которой определяем стационарные точки данной функции: , , ,.Теперь воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим вторые частные производные: , , ,.Имеем: для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , , т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой . Задача 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области , ограниченной линиями x=0, y=0, x+y-1=0.Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой x+y =1.  Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области , т.е. внутри треугольника ОАВ.Имеем х=-10, у=-3Получили точку М(-10; 3). Она не принадлежит области , следовательно значение функции в ней не учитываем.Исследуем значения функции на границе области . Поскольку граница состоит из трёх участков, описанных тремя разными уравнениями, то приходится исследовать функцию на каждом участке отдельно.Исследуем функцию на участке ОА, где А(1;0). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде z=3х. Так как , то стационарных точек на отрезке ОА нет. Найдём значение функции z=3x в точке О и А соответственно , .Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0;1). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде . Тогда . Находим стационарную точку из уравнения ; получаем, что у=2. Стационарная точка не принадлежит области . Значение функции в точке В .Исследуем функцию вдоль участка прямой х+у=1. Подставляя у=1-х в выражение для функции, получим: , тогда , -4х+2=0, , . Стационарная точка принадлежит области . Значение функции в ней .Сравниваем значения , , , , заключаем, что 3,5 – наибольшее значение функции, достижимое в точке , а 0 – наименьшее значение, достигаемое в точке (0,0)., .Задача_12_.'>Задача_11_.'>Задача 11. Вычислить повторный интеграл .Решение. Чтобы вычислить повторный интеграл, нужно вычислить внутренний, а потом – внешний [1, с. 382], при этом при вычислении внутреннего интеграла переменная интегрирования внешнего интеграла (в данном случае переменная ) считается постоянной. Следовательно,=.Задача 12. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: а) ; б) .Решение. Для решения следует изучить [1, с. 382-384]. а) Изобразим область интегрирования на чертеже (рис. 1): она ограничена линиями , , , . Рис. 1 Эта область является правильной и в направлении оси  , однако ее правая граница задается двумя линиями: отрезками прямых и , поэтому ее придется разбить на две части. Следовательно.б) Область интегрирования ограничена линиями , , , (рис. 2). Рис. 2 Она является правильной и в направлении оси , но ее верхняя граница состоит из двух линий: дуги параболы и дуги окружности . Следовательно, ее придется разбить на две части, поэтому.Задача 13. а) Вычислить двойной интеграл , где область ограничена линиями , , , .б) Вычислить двойной интеграл , где область ограничена линиями , , , (рис. 2).Решение. Изобразим область  интегрирования на чертеже. Она является правильной в направлении оси . Поэтому .б) область является правильной в направлении оси . Следовательно, Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл по контуру треугольника , где , , .Литература: [1, с.402-403]. Решение. Так как контур треугольника состоит из трех отрезков (сторон треугольника), то ,при этом мы предполагаем, что контур обходится против часовой стрелки.Рассмотрим отдельно каждый интеграл. а) Уравнение , , тогда , , т.е. считаем, что – параметр. Следовательно.б) Уравнение , тогда , поэтому.в) Уравнение , , тогда , , поэтому.Отв.: .Замечание. Этот интеграл равен площади плоской фигуры, ограниченной контуром . Легко видеть, что площадь треугольника равна 21 кв. ед.Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл ,пробегая против часовой стрелки верхнюю дугу окружности .Решение. Если точка пробегает верхнюю дугу окружности против часовой стрелки, то параметр изменяется от до : . Так как , , то.Отв.: . |