Kontrolnaja_rabota2 математика. Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними
 Скачать 4.8 Mb.
|
|
Equation Chapter 1 Section 1Контрольная работа №2. Требования к оформлению контрольных работ Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номеромварианта, который определяется двумяпоследнимицифраминомеразачетнойкнижки студента. При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:
Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен к экзамену. Решение типового варианта. Задача 1. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a) и b) проверить результаты дифференцированием. 1.a.  Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя: Проверим полученный результат: 1.b. Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле: Выполним проверку результата: 1.c. Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: тогда:Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество: Найдём искомые коэффициенты: а) полагая , получаем , откуда ;б) полагая , получаем , откуда ;в) полагая , получаем , откуда ;Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим: 1.d. Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида: Где - рациональная функция; - целые положительные числа. С помощью подстановки (здесь - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей ) данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.Задача 2. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака. Формула Симпсона или формула парабол имеет вид: (1)где .Рассмотрим при тогда .Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла. В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов. Так как по формуле (1) находим Задача_6_.'>Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: a) b) Задача 4. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .Построим графики данных кривых: Найдём точки пересечения данных кривых: Тогда по формуле имеем:Окончательно имеем: b) Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми и .Построим графики данных кривых: Для отыскания и воспользуемся формулами: Найдём точки пересечения кривых: и , тогда , Имеем: Откуда Задача 5. Найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить на плоскости: По общим формулам для определения модуля и аргумента комплексного числа находим, что Тогда . Это означает, что Изобразим на плоскости комплексное число Задача 6. Найти область определения функции .Решение. Логарифмическая функция определяется только при положительном значении аргумента, поэтому , или .Значит, границей области будет линия , т.е. парабола.Из неравенства получаем, что областью определения данной функции является заштрихованная часть плоскости без точек параболы. Задача 7. Найти частные производные 1-го порядка функции  .Решение. Находим частную производную по x данной функции, считая y постоянной и используя формулу дифференцирования сложной функции одной переменной: ,аналогично вычисляем производную по y. .Задача 8. Даны функция , точка А(-1;0), вектор . Найти: а. grad z в точке А; b. производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;c. уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке Решение. а. По определению grad z= .Вычислим частные производные и их значения в точке А. ; ; ; .Следовательно: grad . |