Kontrolnaja_rabota2 математика. Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними
![]()
|
Equation Chapter 1 Section 1Контрольная работа №2. Требования к оформлению контрольных работ Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номеромварианта, который определяется двумяпоследнимицифраминомеразачетнойкнижки студента. При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:
Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен к экзамену. Решение типового варианта. Задача 1. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a) и b) проверить результаты дифференцированием. 1.a. ![]() Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя: ![]() Проверим полученный результат: ![]() 1.b. ![]() Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле: ![]() ![]() Выполним проверку результата: ![]() 1.c. ![]() Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: ![]() ![]() Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество: ![]() Найдём искомые коэффициенты: а) полагая ![]() ![]() ![]() б) полагая ![]() ![]() ![]() в) полагая ![]() ![]() ![]() Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим: ![]() 1.d. ![]() Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида: ![]() Где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 2. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака. Формула Симпсона или формула парабол имеет вид: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим ![]() ![]() ![]() Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов. Так как ![]() ![]() ![]() по формуле (1) находим ![]() Задача_6_.'>Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: a) ![]() b) ![]() Задача 4. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() Построим графики данных кривых: Найдём точки пересечения данных кривых: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательно имеем: ![]() b) Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми ![]() ![]() Построим графики данных кривых: Для отыскания ![]() ![]() ![]() ![]() Найдём точки пересечения кривых: ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() Откуда ![]() Задача 5. Найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить на плоскости: ![]() По общим формулам для определения модуля и аргумента комплексного числа находим, что ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() Изобразим на плоскости ![]() ![]() Задача 6. Найти область определения функции ![]() Решение. Логарифмическая функция определяется только при положительном значении аргумента, поэтому ![]() ![]() Значит, границей области будет линия ![]() Из неравенства получаем, что областью определения данной функции является заштрихованная часть плоскости без точек параболы. ![]() ![]() Задача 7. Найти частные производные 1-го порядка функции ![]() Решение. Находим частную производную по x данной функции, считая y постоянной и используя формулу дифференцирования сложной функции одной переменной: ![]() аналогично вычисляем производную по y. ![]() Задача 8. Даны функция ![]() ![]() Найти: а. grad z в точке А; b. производную функции f(x,y) в точке А в направлении ![]() c. уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке ![]() Решение. а. По определению grad z= ![]() Вычислим частные производные и их значения в точке А. ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно: grad ![]() |