кр по эконометрике. Контрольная работа по дисциплине Эконометрика

• Название: Контрольная работа по дисциплине Эконометрика
• Дата: 05.05.2018
• Размер: 1.5 Mb.
• Имя файла: кр по эконометрике.doc
• Тип: Контрольная работа; #42856

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ДГТУ)

Факультет Социально-гуманитарный

Кафедра «Экономика и менеджмент»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

направление 38.03.01 Экономика

Вариант ­­­­­­­­­­­­­­– 4-6

Выполнила студентка группы ИЗЭSз11

Разумова Е.С.

Руководитель к.э.н., доц. Жуков П.В.

г.Ростов-на-Дону

2018г.

Содержание 1. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений 1.1 Метод путевого анализа 1.2 Основная теорема путевого анализа 1.3 Процедура Саймона Блейлока 2. Составление и решение уравнений линейной регрессии 2.1 Линейная регрессия, её уравнение 2.2 Методы составлений уравнений линейной регрессии

1. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

1.1 Метод путевого анализа

Метод путевого анализа или причинный анализ был разработан в 20-х гг. XX в. американским генетиком С. Райтом. Основные положения метода сводятся к следующему. Пусть _, _, ..., _ — случайные переменные, измеренные в подобающих единицах. Важнейшим предположением метода является гипотеза об аддитивности и линейности связей между переменными.

_ (1)

где _ — символ неизмеримого имплицитного фактора _, действующего на _, и обозначающего действие на _ всех переменных, не включенных во множество {_} ; _ – отдельные константы; _ — коэффициент влияния _ на _.

Условимся именовать _ j-й причиной, а х_i — следствием суммарного действия совокупности m причин. Применение линейных зависимостей между всеми переменными делает путевой анализ особым случаем регрессионного анализа, в котором коэффициентам регрессии дается интерпретация в терминологии причинно-следственных связей.

Соотношение (1) можно записать также в форме (2) _ (2)

где _ – среднее значение j-й переменной

По Елисеевой И.И, не имея потерь общности, можно использовать допущение, что _ имеет среднее равное нулю и дисперсию равную единице.


В стандартизованной форме уравнение (2) будет иметь вид: (3)



где <sub>

</sub> – стандартное отклонение j-й переменной.

Очевидно, _ Коэффициенты _являются особым типом частных коэффициентов регрессии. Коэффициент _является стандартизованным коэффициентом p регрессии. Согласно, С. Райту, _   коэффициент влияния, при этом являясь числовой величиной, которая измеряет долю стандартного отклонения i- эндогенной переменной (следствия) с соответствующим знаком, обусловленную влиянием j экзогенной переменной (причины) в том смысле, что если измерить влияние при изменении j-й переменной в тех же условиях, что и в предоставленных наблюдениях и при постоянных прочих условиях (включая непрерывное воздействие фактора _), то конечный результат будет равен _.

_ (4),

где _ представляет стандартное отклонение i-й переменной с учетом влияния переменных от, 1 до (j 1) и от (j+1) до p при непрерывном влиянии фактора u. Из данного определения следует, что квадрат p коэффициента показывает, какая часть общей вариации следствия определяется j-й причиной. Эта величина представляет собой коэффициент детерминации: d_xij=p²_ij. Относительно имплицитных переменных x_ui заметим, что фактор x_ui, представляющий постоянное воздействие на следствие x_i переменных, не включенных явным образом в модель, считается некоррелированным ни с другими аналогичными факторами x_u, ни с экзогенными переменными (входами или причинами) системы x_j.

Входом системы называют переменную x_j, при которой ее вариация целиком и полностью определяется фактором x_uj, т. е. p_juj = 1, d_juj = 1. Входы системы могут быть коррелированы попарно.

Простейшим случаем является модель звена линейной причинной цепи, т. е. детерминации следствия y, всего лишь одной переменной — причиной x. Уравнение этой модели в виде линейной регрессии будет следующим (для стандартизованных переменных):



Так как _, то _, (5)

где _, а _ по условию. Систему (5) можно изобразить в форме графа связей (рис.1).



Рисунок 1. Граф связи между _

Возникает вопрос об оценке коэффициентов _,_. Коэффициент корреляции случайных переменных x и y как первый смешанный момент нормированных случайных величин определяется соотношением

_ (6) так как _=1 _=1 по условию о некоррелированности имплицитных факторов. Но, как известно, в данном частном случае _ , где _ — стандартизованный коэффициент линейной регрессии. Таким образом, p коэффициент (_ ) - стандартизованный регрессионный коэффициент _, и его оценка по методу наименьших квадратов будет являться оценкой эффективности влияния по С. Райту (рис.1 и 2).



Рисунок 2. Граф связей: система с коррелированными входами

Прямая оценка влияний неизмеримых факторов х_и невозможна, поэтому ее получают прямым образом из соотношений для коэффициентов детерминации. В случае модели (5) оценку коэффициента _ , можно получить следующим образом. Соотношение полной детерминации у посредством х и u₂ имеет вид: _, откуда _. Обобщение рассмотренной модели на случай n звенной линейной цепи, а также случай k независимыx причин x_k одного и того же следствия у могут быть проведены индуктивно.  Общераспространена структурная модель системы с коррелированными входами (случай множества взаимодополняющих причин), изображенная на рис.2Для этой модели основное уравнение системы записывается следующим образом: 

_, (7)

а корреляция следствия с i-й причиной определяется из соотношения

_(8)

 

Соотношение (8) показывает существенную особенность коэффициента влияния Райта — он может быть как больше, так и меньше соответствующего коэффициента корреляции по модулю и не совпадать с ним по знаку. Значения p коэффициента находятся в интервале [ ∞, ∞]. Положительное значение р- коэффициента указывает на то, что фактор x_j влияет на х_i,- таким образом, что при изменении x_j в одном направлении (допустим, увеличении) признак x_i,- изменяется в этом же направлении. Отрицательное значение показывает, что х_i, и x_j изменяются противоположно. Знак коэффициента влияния вычисляется автоматически в результате решения системы уравнений, связывающей r_ij и p_ij. Содержательная интерпретация коэффициентов влияния Райта как показателей напряженности влияния по дуге графа аналогична интерпретации β коэффициентов (как показателей сравнительной силы воздействия факторов) в обыкновенных моделях множественной регрессии. Выражение полной детерминации у посредством множества взаимокоррелированных причин {х_j} имеет вид:

_ (9)

Слагаемое _ называется показателем корреляционной детерминации. Квадрат множественного коэффициента корреляции (коэффициент множественной детерминации): _

Таким образом, метод путевых коэффициентов позволяет найти оптимальную оценку множественной корреляции _.   Обратим внимание на то, что попарная корреляция входов в модели (8) не структурируется. Между тем эта корреляция может быть как следствием координированного изменения двух различных взаимонезависимых причин — истинной корреляцией, так и ложной — результатом воздействия третьей переменной — общей для этих двух переменных причины.

1.2 Основная теорема путевого анализа

Начальным этапом путевого анализа является идентификация уравнений системы. В современной эконометрической науке идентификация определяется как структурная спецификация модели, призванная не только определить значения параметров, но и выделить единственную итоговую структурную модель анализируемых данных.

Проблема идентифицируемости в системе структурных уравнений связана с наличием достаточного числа ограничений, накладываемых на него моделью. Применительно к p анализу  это проблема соответствия между количеством возможных соотношений между r_ij и p_ij и числом p_ij. Другими словами, проблема идентифицируемости структурных параметро  это проблема достаточности эмпирических данных для оценки всех коэффициентов модели. Достаточным условием идентифицируемости уравнения является отсутствие среди линейных комбинаций оставшихся уравнений, таких, которые удовлетворяли бы всем ограничениям модели, накладываемым на исследуемое уравнение. Это равносильно так называемому условию порядка: для того чтобы уравнение в системе из m линейных структурных уравнений было идентифицируемо, необходимо, чтобы в нем отсутствовало по меньшей мере m 1 переменных из m+к переменных, встречающихся в модели. Обозначим через m число эндогенных переменных в модели, k — число предопределенных переменных, h — число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении, g — число предопределенных переменных в рассматриваемом уравнении. Тогда условие порядка может быть записано в форме m+k h  g >m 1 или k g > h 1. Структурное уравнение называется идентифицируемым, если оно удовлетворяет условию порядка; в случае точного равенства уравнение называется точно идентифицируемым, при строгом неравенстве — сверхидентифицируемым.

Следующим этапом является оценивание структурных параметров. Для структурных моделей, построенных на основе путевых коэффициентов, оценка p_ij производится не методом наименьших квадратов, а с помощью такого приема. Запишем уравнение (3) следующим образом: 

_ (10) или иначе 

_ (11)

Используем коэффициенты корреляции между зависимой переменной и каждой из объясняющих переменных: 

_ (12)

где n- колическтво наблюдений.

Подставляя в (11) вместо x_i правую часть выражения (12), получим: 



(13) В этом преобразовании учтено, что корреляция u_i, с х_j по определению равна нулю. Если учесть, что r_ij=1, то соотношение (13), называемое основной теоремой путевого анализа, можно записать так:

 _ (14)

Здесь j указывает на разъясняющую переменную, связь которой с разъясняемой переменной i выявляется в структурной модели, k пробегает по подмножеству всех переменных, прямо влияющих на i ю переменную (на графе эти вершины связаны с вершиной i дугами). Соотношение (13) справедливо для любой рекурсивной системы. Путевой анализ позволяет произвести декомпозицию корреляции r_ij. Введем понятия «полная (совокупная) связь», «совокупное влияние», «прямое влияние», «косвенное влияние». Если коэффициент корреляции нулевого порядка r_ij рассматривать как измеритель полной связи двух переменных, то мерой совокупного влияния j й переменной на i ю переменную (q_ij) будет являться ее часть, не зависящая ни от общих для них переменных — причин, ни от корреляции между общими для j й и i й переменных причинами (компоненты ложной корреляции), ни от наличия не анализируемой в модели априорной корреляции предопределенных переменных — входов. Таким образом, можно разложить полную связь двух переменных на четыре составляющие с учетом постулируемой в модели асимметрии влияния: на совокупное влияние (причинное влияние) j й переменной на i ю, на две компоненты, измеряющие эффект ложной корреляции, и на компоненту, еще не имеющую общепринятого названия. В свою очередь, совокупное влияние может быть разложено на две составляющие с учетом того, каким образом оно осуществляется — прямо или через другие переменные. Прямое влияние одной переменной на другую измеряется коэффициентом p_ij ; в этом случае в цепи между объясняющей и объясняемой переменными нет промежуточных звеньев. Косвенное влияние — это влияние тех составляющих совокупного влияния одной переменной на другую, которое образуется при учете эффекта передачи влияния через посредство переменных, специфицированных в модели как промежуточные звенья в причинной цепи, связывающей изучаемые переменные. Поскольку строение совокупного влияния всецело зависит от постулируемой причинной структуры отношений между переменными, то и все введенные выше понятия имеют смысл только лишь по отношению к причинной модели с заданным графом связей.

1.3. Процедура Саймона Блейлока Структурные причинные модели в эконометрике и социологии соединяют теорию объекта с эмпирическими данными на основе графа связей. Структурные модели формализуют гипотезы о причинных отношениях. Встает задача выбора гипотез, обозначаемая иногда в эконометрической и социологической литературе как проблема каузального вывода. Х.Блейлок, изучая этот вопрос как часть общего вопроса о средствах построения социологических теорий, предложил формальный прием, основанный на идеях Г.Саймона о ложной корреляции и каузальной упорядоченности, иногда называемый процедурой Саймона — Блейлока. Формальное содержание этого подхода заключается в гипотезе о полностью специфицированной линейной рекурсивной причинной модели, оценке ее параметров, а затем использовании этих значений для воспроизведения эмпирической корреляционной матрицы. Основная идея процедуры — это положение о том, что модель, которая не отображает эмпирических корреляций, должна быть отвергнута. Очевидна целесообразность использования процедуры Саймона — Блейлока в двух случаях. Во первых, когда известен причинный приоритет среди переменных. Если в этом случае имеются две гипотезы, постулирующие различные причинные цепи (структуры графа), то, используя процедуру Саймона – Блейлока, можно воссоздать эмпирические корреляции и отвергнуть ту каузальную цепь, где несогласование слишком большое. Таким образом, мы можем сравнивать теории. Второй ситуацией является случай с неизвестным каузальным приоритетом среди переменных. Допустим, что мы имеем набор переменных, для которых не известен каузальный порядок причина следствие, и имеются две гипотезы, каждая по своему устанавливающая его, постулируя отсутствие тех или иных возможных отношений. Описываемый подход может быть применен как для сравнения этих теорий, так и для их отбрасывания. В процедуре сравнения одна модель гипотеза может оказаться лучше другой, но никогда — правильной. Более того, если одна из гипотез близка к тому, чтобы описываться полной рекурсивной системой, то обычно она работает, лучше воспроизводя корреляционную матрицу, и, естественно, будет выбираться как более удачная, даже если она весьма далека от истины. Процедура Саймона — Блейлока является формальным приемом, создающим базис для отвергания гипотез, но никоим образом не представляет собой процедуру для создания новых теорий. Другим известным приемом является вычеркивание связей в чрезмерно связанном графе с целью изучения поведения системы и ее элементов в новых условиях. Устойчивость системы может означать верность гипотезы. Решение об уничтожении той или иной связи модели может быть принято или на основании критерия статистической значимости, или на основании произвольно установленного порогового критерия величины коэффициента причинного влияния. Проверкой правильности гипотез и корректности модели должно служить ее подтверждение при испытаниях на контрольных данных. Использование p анализа в социально экономических исследованиях связано с рядом трудностей. Прежде всего не всегда можно считать, что линейная зависимость в состоянии удовлетворительно отразить все разнообразие причинно следственных связей в реальных структурах. Кроме того, следует учитывать, что р анализ разработан для количественных переменных. Структурные модели и путевой анализ иллюстрируют единство теоретического (качественного) и формально математического (количественного) подходов. Значимость результатов анализа определяется в первую очередь правильностью построения логического каркаса структурной модели — максимально связанного графа связей, изоморфной математической модели в виде системы уравнений.

2. Составление и решение уравнений линейной регрессии 2.1 Линейная регрессия, её уравнение

Линейная регрессия   модель зависимости какой либо переменной от другой(других) переменных с линейной функцией зависимости. Модель линейной регрессии является часто используемой и наиболее изученной в эконометрике. А именно изучены свойства оценок параметров, получаемых различными методами при предположениях о вероятностных характеристиках факторов, и случайных ошибок модели. Необходимо отметить, что с эконометрической точки зрения более важное значение имеет линейность по параметрам, чем линейность по факторам модели. Уравнение линейной регрессии имеет вид:

_ где _{\displaystyle b_{j}} — параметры (коэффициенты) регрессии, _{\displaystyle x_{j}} — регрессоры (факторы модели), k   количество факторов модели.  Коэффициенты линейной регрессии представляют скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах (в линейной модели эта скорость постоянна):



Параметр_{\displaystyle b_{0}}, при котором нет факторов, называют часто константой. Формально — это значение функции при нулевом значении всех факторов. Для аналитических целей удобно считать, что константа — это параметр при «факторе», равном 1 (или другой произвольной постоянной, поэтому константой называют также и этот «фактор»). В таком случае, если перенумеровать факторы и параметры исходной модели с учетом этого (оставив обозначение общего количества факторов — k), то линейную функцию регрессии можно записать в следующем виде, формально не содержащем константу:

_

где _ – вектор регрессоров, _ -вектор параметров (коэффициентов). Линейная модель может быть как с константой, так и без константы. Тогда в этом представлении первый фактор либо равен единице, либо является обычным фактором соответственно.  В частном случае, когда фактор единственный (без учёта константы), говорят о парной или простейшей линейной регрессии:



Когда количество факторов (без учёта константы) больше 1 го, то говорят о множественной регрессии.

2.2 Методы составлений уравнений линейной регрессии

1) Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. Этот метод  является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Пусть регрессионная зависимость является линейной:



Пусть y — вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а X{\displaystyle X} — это {\displaystyle ({n\times k})}-матрица наблюдений факторов (строки матрицы — векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам — вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид:



Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны

_, _

Дифференцируя эту функцию по вектору параметров {\displaystyle b}b и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме):



Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели:



2) Метод максимального правдоподобия (ММП). ММП— это один из классических методов оценивания, получивший широкое распространение в эконометрии благодаря своей универсальности и концептуальной простоте. Для получения оценок максимального правдоподобия следует записать функцию правдоподобия, а затем максимизировать ее по неизвестным параметрам модели. Предположим, что изучаемая переменная x имеет распределение с плотностью f_x(x), причем эта плотность зависит от вектора неизвестных параметров θ, что можно записать как f_x(x|θ). Тогда для N независимых наблюдений за переменной x, т.е. x₁, ..., x_N, функция правдоподобия, по определению, есть плотность их совместного распределения, рассматриваемая как функция от θ при данном наборе наблюдений x₁, ..., x_N:



Если изучаемая переменная имеет дискретное распределение, то f_x(x|θ) следует понимать, как вероятность, а не как плотность. Наряду с функцией L(θ) из соображений удобства рассматривают также ее логарифм, называемый логарифмической функцией правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия θ^∗ для параметров θ являются, по определению, арг- максимумом функции правдоподобия (или, что то же самое, логарифмической функции правдоподобия). Они являются решением уравнения правдоподобия:



В более общем случае нельзя считать наблюдения за изучаемой переменной, x₁,..,x_N , независимыми и одинаково распределенными. В этом случае задается закон совместного распределения всех наблюдений, f_x(x₁,..., x_N |θ) = f_x(x|θ), и функция правдоподобия для данного вектора наблюдений x полагается равной f_x(x|θ).

Рассмотрим модель линейной регрессии y_i=x_iα + ε_i, где вектор коэффициентов имеет размерность n + 1, ошибки ε_i независимы и распределены нормально: ε_i ∼ N(0,σ² ), а факторы x_i являются детерминированными. При этом изучаемая переменная тоже имеет нормальное распределение: y_i ∼ N(x_iα,σ² ). Функция правдоподобия равна:

_.

Соответствующая логарифмическая функция правдоподобия равна:



или в матричных обозначениях:



Максимизируя ее по α, получаем:



Т.е. оценки наименьших квадратов и оценки максимального правдоподобия совпадают.

3) Метод моментов (ММ). Метод моментов   метод оценки неизвестных параметров распределений в математическойстатистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов (Пирсон, 1894 г.). Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Рассмотрим уравнение линейной регрессии:

_

Введем условие ортогональности для каждого i=1,..,k:



Запишем уравнение моментов:

_y,xⁱ,..,x^k;_

Чтобы определить параметры _ методом моментов составим систему уравнений из k уравнений c k неизвестными:



Или в векторной форме



Решение:



Следовательно, оценка полученная ММ равна МНК-оценке для β при нахождении минимума квадратичной формы (векторная форма):

_



  

Список литературы

1. Артамонов, Н. В. Введение в эконометрику / Н.В. Артамонов. - М.: МЦНМО, 2016. - 224 c.

2. Афанасьев, В. Н. Эконометрика / В.Н. Афанасьев, М.М. Юзбашев, Т.И. Гуляева. - М.: Финансы и статистика, 2017. - 256 c.

3. Тихомиров, Н. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа / Н. Тихомиров. - М.: Экономика, 2017. - 989 c.

4. Л.Н. Слуцкин. Обобщенный метод моментов/ Л.Н. Слуцкин/ Пркладная эконометрика-2007№3(7). – с. 120-122.