Контрольная работа по финансовой математике. Контрольная работа по дисциплине Финансовая математика Вариант 9 Выполнил студент фио курс 3 Группа Номер зачетной книжки
![]()
|
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Уфимский филиал Кафедра «Математика и информатика» Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика» Вариант № 9 Выполнил студент: ФИО Курс: 3 Группа: Номер зачетной книжки: № Преподаватель: канд. техн. наук, доцент Белолипцев Илья Игоревич Уфа 2019 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1. Основы классической финансовой математики……………………..…3 Теория процентов…………………………………………………...……...3 Потоки платежей. Финансовые ренты……………………………………8 Тема 2. Облигации………………………………………...……………………..12 Тема 3. Портфельный анализ……………………………………………………16 Тема 4. Производные финансовые инструменты…………………………...…24 Список использованных источников и литературы……………...……………27 Тема 1. Основы классической финансовой математики 1.1. Теория процентов Задача 1. Банк выдал ссуду, размером 102 000 руб. Дата выдачи ссуды - 17.06.2019, возврата – 11.10.2019. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты начисляются по простой процентной ставке 11,5% годовых. Найти: а) точные проценты с точным числом дней ссуды; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Какой способ начисления процентов будет наиболее выгоден кредитору, а какой – заемщику? Решение: Для удобства расчета составим следующую таблицу: Таблица 1
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) ![]() б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360) ![]() в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) ![]() Кредитору наиболее выгоден способ начисления процентов - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (3 779,67 руб.). Заемщику наиболее выгоден способ начисления процентов - обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (3 714,5 руб.). Задача 2. В банк положена сумма 102 000 руб., сроком на 330 дней, проценты начисляются по ставке 11,5% годовых. Определите наращенную сумму и величину начисленных процентов, если применялись: а) простые проценты; б) сложные проценты. Решение: За временную базу возьмем k = 365 дней, n = t / k. а) простые проценты: ![]() ![]() б) сложные проценты: ![]() ![]() Задача 3. Номинальная стоимость векселя 102 000 рублей. Банк учел вексель по ставке 11,5% годовых (год равен 360 дням) за 330 дней до погашения. Определить полученную предприятием сумму и дисконт, если: а) применяется простая учетная ставка; б) применяется сложная учетная ставка. Решение: За временную базу возьмем k = 360 дней, n = t / k. а) применяется простая учетная ставка: ![]() ![]() б) применяется сложная учетная ставка: ![]() ![]() Задача 4. Наращенная сумма равна 428 000 рублей, срок 6 лет, ставка сложных процентов, равная 11,5% годовых. Определить современную стоимость этой величины. Решение: ![]() Задача 5. Ссуда, в размере 102 000 рублей предоставлена на 6 лет. Проценты сложные, ставка –11,5% годовых. Проценты начисляются 6 раз в году. Какую сумму надо будет вернуть? Решение: ![]() Задача 6. Какова должна быть номинальная ставка сложных процентов, чтобы при начислении процентов 6 раз в году вклад в размере 102 000 руб. увеличился до 428 000 руб. за 6 лет? Решение: ![]() ![]() Задача 7. Определите срок, за который вклад в размере 102 000 руб., помещенный на депозит по ставке 11,5% годовых, увеличится вдвое, при условии, что применяются: а) простые проценты; б) сложные проценты. Решение: S = 2ּP = 2ּ102 000 = 204 000 руб. а) простые проценты: ![]() ![]() ![]() б) сложные проценты: ![]() ![]() ![]() Задача 8. Вклад в размере 102 000 руб. помещен на депозит по ставке 11,5% годовых сроком на один год. Темп инфляции равен ![]() Решение: ![]() ![]() Задача 9. Депозит, в размере 102 000 руб. размещен под ![]() Решение: ![]() Задача 10. Годовой темп инфляции равен ![]() Решение: ![]() ![]() Задача 11. В течение первых двух лет темп инфляции был равен ![]() Решение: ![]() ![]() Задача 12. Темп инфляции за год равен ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() Задача 13. Два платежа в размере 102 000 руб. и 204 000 руб., должны быть выплачены через 6 лет и 7 лет соответственно. Стороны договорились заменить их одним платежом, который должен быть выплачен через 9 лет. Консолидация проводится по сложной ставке 11,5% годовых. Определите величину консолидированного платежа. Решение: ![]() ![]() ![]() По принципу финансовой справедливости А1 = А2 ![]() x = 395 009,88 руб. консолидированный платеж. Задача 14. Определите эффективную ставку i, эквивалентную номинальной годовой ставке 11,5% годовых, при сроке начисления 6 лет, проценты начисляются m = 6 раз в году. Решение: ![]() 1.2. Потоки платежей. Финансовые ренты Задача 15. Дан денежный поток ![]() Решение: а) Внутренняя норма доходности (IRR) – это такая ставка дисконтирования, при которой современная стоимость денежного потока равна нулю. ![]() ![]() Для вычисления IRR воспользуемся встроенной функцией ВСД() Excel. IRR = 100% ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() ![]() Задача 16. В течение 4 лет на банковский счет в конце каждого года поступают платежи в размере ![]() Решение: По условию рента годовая, с однократным начислением процентов, постнумерандо (платежи осуществляются в конце каждого периода). ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 17. В течение 4 лет в конце каждого месяца на банковский счет поступали денежные средства (размеры выплат – постоянны) в размере R/p, на которые k = 6 раз в году начислялись проценты по ставке 11% годовых. Наращенная сумма ренты составила S = 218 000 рублей. Определите величину ежемесячного платежа R/p и коэффициент наращения ренты. Решение: По условию рента постнумерандо, p-срочная, с кратным начислением процентов. ![]() где Sn,i – коэффициент наращения ренты; j – номинальная ставка процентов (i); m – число начислений процентов в году (k); p – количество выплат в течение года. ![]() ![]() ![]() Задача 18. Кредит в размере 36 300 руб., взятый под 11% годовых, заемщик должен погасить в течение 4 лет равными суммами в конце каждого месяца. Заёмщик обратился в банк с просьбой об изменении графика выплат: он хочет погашать кредит равными платежами в размере ![]() ![]() Решение: Рента постнумерандо, p-срочная, с однократным начислением процентов: ![]() Рента постнумерандо, годовая, с однократным начислением процентов: ![]() Согласно принципу финансовой справедливости А = А* ![]() ![]() Задача 19. Какую сумму необходимо положить на счет, чтобы в течение 4 лет в начале каждого квартала (p = 4) можно было бы снимать по 10 000 руб., если на остаток средств k = 6 раза в году начисляются проценты по ставке 11% годовых. Решение: Искомая величина является приведенной величиной А. Рента пренумерандо, p-срочная, с кратным начислением процентов: ![]() На счет необходимо положить 131 455,633 руб. Тема 2. Облигации Задача 20. Купонная облигация, номиналом 4 000 руб., дата выпуска 1.06.2013, дата погашения 1.06.2020, купонная ставка ![]() ![]() ![]() Решение: Поскольку купонный доход выплачивается больше одного раза в год: ![]() По условию до погашения облигации остался 1 год и 4 месяца, это 4/3 года. Сумму дисконтированных купонов можно посчитать через формулу суммы (m∙n = 4∙4/3 = 16/3) членов геометрической прогрессии по формуле: ![]() Отсюда получим ![]() ![]() При таком PV курс равен ![]() ![]() Задача 21. Купонная облигация, номиналом 4 000 руб., купонная ставка ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() CF1 = CF2 = CF3 = CF4 = CF5 = 4 000 ּ 0,08 = 320 руб. CF6 = 4 000 + 320 = 4 320 руб. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Дюрация – средний срок окупаемости вложений в облигацию 5,02 года. ![]() Точное значение доходности к погашению находим с помощью встроенной функцией ВСД() Excel. ![]() ![]() ![]() Доходность к погашению YTM = 8%. Если цена облигации вырастет на 10%, это составит 4 400 руб. ![]() ![]() ![]() Доходность к погашению YTM = 6,72% Если цена облигации вырастет на 10%, то доходность к погашению уменьшится на 1,28%. Задача 22. Бескупонная облигация номиналом 4 000 руб. и сроком погашения 6 лет продается по курсу 85,4. Целесообразна ли покупка облигации по текущему курсу, если норма доходности равна 7% годовых. Найдите доходность этой инвестиции. Решение: ![]() При таком PV курс равен ![]() ![]() ![]() ![]() Облигация обеспечивает инвестору 2,66% доходности. Задача 23. Имеются две облигации с номиналом 4 000 рублей, срок погашения первой облигации 6 лет, второй – 7 лет. Первая облигация с купоном 8% продается по курсу ![]() Решение: Найдем доходность к погашению по каждой облигации. Приближенное значение ![]() ![]() ![]() ![]() Я предпочту первую облигацию, потому что её доходность к погашению выше. Тема 3. Портфельный анализ Задача 24. Рассматриваются 2 ценные бумаги А и В. Известны возможные значения доходности этих бумаг ( ![]() ![]()
Решение: Для решения задачи будем применять Excel. Математическое ожидание: ![]() ![]() Среднее квадратическое отклонение: ![]() ![]() Коэффициент вариации: ![]() ![]() Вывод: ожидаемая доходность ценной бумаги В превышает доходность ценной бумаги А в 1,2 раза (19,35/16,1), и риск инвестирования в нее меньше в 0,56 раза (0,243/0,436). Следовательно, ценная бумага В является более предпочтительной, поскольку обладает лучшим соотношением риск/доходность. Задача 25. Известны характеристики трех ценных бумаг А, В и С: средние ожидаемые доходности ![]() ![]() Найти портфель максимальной доходности, риск портфеля не более 0,6.
Решение: Составим математическую модель задачи: ![]() ![]() Для вычисления воспользуемся надстройкой «Поиск решения» в Excel. ![]() Задача 26. Из двух ценных бумаг А и В (коэффициент корреляции доходностей равен -1) составить портфель минимального риска. Найдите ожидаемую доходность этого портфеля. Доходности и риски бумаг приведены в таблице:
Решение: Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него бумаг, то есть: ![]() Риск портфеля двух активов с корреляцией доходностей равной -1 означает, что переменные находятся в отрицательной линейной функциональной зависимости. ![]() Риск портфеля составит: ![]() Для вычисления воспользуемся надстройкой «Поиск решения» в Excel. ![]() Задача 27. В таблице приведены значения месячных доходностей акций компании Сбербанк за последние 12 месяцев, а также доходности рыночного индекса RTSI. Вычислите: 1) бэта-коэффициент ценной бумаги; 2) рыночный и собственный риск ценной бумаги; 3) постройте линию SML.
Решение: 1) Коэффициент бета – это статистический коэффициент, который характеризует движение отдельной акции относительно всего рынка в целом. ![]() где: β – коэффициент бета, мера систематического риска (рыночного риска); ri – доходность i-й акации (инвестиционного портфеля); rm – рыночная доходность; σ2m – дисперсия рыночной доходности. ![]() Бета ниже 0 - это сигнал к тому, что актив будет двигаться в противоположную от рынка сторону. 2) Рыночный риск = β-коэффициент ∙ Риск Индекса Рыночный риск = -0,539519 ∙ 0,0544 = -0,0293. Риск Индекса рассчитаем с помощью функции СТАНДОТКЛОН. Эффективность рассчитаем с помощью функции СРЗНАЧ. Собственный риск = ESS/(12-1), где ESS (Explained Sum of Squares) – объясненная с помощью регрессии сумма квадратов отклонений. Собственный риск = 0,024198843/(12-1) = 0,0022. ![]() 3) Прямая SML отражает идеальную зависимость между β и доходностью бумаг. Все точки, лежащие на прямой, соответствуют «справедливо» оцененным бумагам, а те, которые лежат выше/ниже этой линии, являются недооцененным/переоцененным. ![]() Тема 4. Производные финансовые инструменты Задача 28. Опцион put на продажу акции был куплен за С = 5 руб. Срок исполнения опциона 8 месяцев. Цена исполнения опциона Х = 305 руб. Рыночная цена акции на момент исполнения составила Sn = 295 руб. Какие действия предпримут покупатель и продавец опциона? Оцените доход (потери) продавца и покупателя опциона в данной ситуации. Решение: Опционы пут (put option) — это опцион на продажу определенного количества акций лицу, выписавшему опцион в будущем по определённой цене. Условие отказа от реализации опциона Х < Sn . Поскольку через 8 месяцев рыночная цена акций составит Sn = 295 руб., то Х > Sn (305 руб. > 295 руб.). Поэтому опцион реализуется по цене продажи акций 305 руб. – 5 руб. = 300 руб. Прибыль покупателя опциона равна: 300 руб. – 295 руб. = 5 руб. на акцию. Задача 29. Текущая цена акции равна 300 руб. Используя модель Блэка-Шоулза, найдите стоимость европейского опциона call с ценой исполнения 305 руб. и сроком исполнения 8 месяцев. Стандартное отклонение цены акции равно ![]() ![]() Решение: Опционы колл (call option) — на покупку актива. Опцион даёт право купить актив в будущем по определённой цене. Под теоретической ценой рыночного актива обычно понимается математическая модель, по которой можно количественно рассчитать экономическую основу рыночных цен актива. В качестве такого рода математической модели применительно к опционам наиболее значимой является модель Блэка–Шоулза. Модель Блэка—Шоулза для опциона колл: ![]() ![]() ![]() где: C - теоретическая стоимость опциона колл в момент t до истечения срока опциона (до экспирации); S – текущая рыночная цена актива; F – значение функции нормального распределения вероятностей для d1 и d2; K - цена исполнения опциона; r - безрисковая процентная ставка; T – t - время до истечения срока опциона; σ - волатильность доходности (квадратный корень из дисперсии) актива, изменчивость стоимости (цены), годовое стандартное отклонение цены актива опциона. ![]() ![]() ![]() Значения функции нормального распределения вероятности взяли по таблице функции Лапласа. Стоимость опциона call составит 29,61 руб. Задача 30. Текущая цена акции равна ![]() Решение: Вероятность, нейтральная к риску: ![]() ![]() Теперь можем составить ряд распределения цены акции к концу года: цена принимает значения S0ukd4-k, где k = 0, 1, 2, 3, 4 соответственно с вероятностями ![]() S0ukd4-k (k = 0) = 300 ∙ 1,10 ∙ 0,9094-0 = 204,822 руб. S0ukd4-k (k = 1) = 300 ∙ 1,11 ∙ 0,9094-1 = 247,8595 руб. S0ukd4-k (k = 2) = 300 ∙ 1,12 ∙ 0,9094-2 = 299,94 руб. S0ukd4-k (k = 3) = 300 ∙ 1,13 ∙ 0,9094-3 = 362,9637 руб. S0ukd4-k (k = 4) = 300 ∙ 1,14 ∙ 0,9094-4 = 439,23 руб. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При подсчете числа сочетаний применяли их свойства: ![]() ![]() Окончательно имеем:
Список использованных источников и литературы Брусов, П.Н. Финансовая математика: учебное пособие / П. Н. Брусов, П. Н. Брусов, Н.П. Орехова, С.В. Скородулина. - 3-е изд.; стер. – Москва : КНОРУС, 2017. - 224с. Брусов П.Н. Задачи по финансовой математике: учебное пособие / П. Н. Брусов, П. П. Брусов, Н. П. Орехова, С. В. Скородулина. - 4-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2017. - 286с. Ефимова М.Р. Финансовые расчеты. Практикум: учебное пособие / М. Р. Ефимова. – М.: КНОРУС, 2016. - 184 с. Кузнецов Г.В. Основы финансовых вычислений : учеб. пособие / Г.В. Кузнецов, А.А. Кочетыгов. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 407 с. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учеб.-справ. пособие. – 2-е изд. – М.: ИНФРА-М, 2016. – 408 с. Основы финансовых вычислений. Основные схемы расчета финансовых сделок : учебник / Ю.Ф. Касимов, Аль-М.С. Натор, А.Н. Колесников. — Москва : КноРус, 2017. — 328 с. Основы финансовых вычислений. Портфели активов, оптимизация и хеджирование : учебник / Ю.Ф. Касимов, Аль-М.С. Натор, А.Н. Колесников. — Москва : КноРус, 2017. — 322 с. Соловьев В.И. Финансовая математика: учебное пособие / В.И. Соловьев. – Москва: КНОРУС, 2016. – 176 с. – [Электронный ресурс] Шиловская Н.А. Финансовая математика : учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Н.А. Шиловская. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 202 с. |