мат. задачи. Контрольная работа по дисциплине Мат задачи энергетики студентка 2 курса группы Б. Элэ. Эс. 21. 61 Иванова Н. В

• Название: Контрольная работа по дисциплине Мат задачи энергетики студентка 2 курса группы Б. Элэ. Эс. 21. 61 Иванова Н. В
• Дата: 08.05.2023
• Размер: 183.18 Kb.
• Имя файла: мат. задачи.docx
• Тип: Контрольная работа; #1115023

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тверской государственный технический университет»

(ФГБОУВПО «ТвГТУ»)

Контрольная работа по

дисциплине «Мат. задачи энергетики»

Выполнила:

студентка 2 курса

группы

«Б.ЭЛЭ.ЭС.21.61»

Иванова Н.В.

Номер зачетной книжки

021183

Проверил: Крупнов А. В.

Тверь

2023

1.1. Известно, что максимум нагрузок энергосистемы наступает в период с 8:30 до 11:30. Какова вероятность того, что максимальная нагрузка будет наблюдаться в последние 30 минут указанного промежутка, если график нагрузок формируется случайным образом?

Решение: Промежуток времени от 8:30 ч до 11 ч 30 переведем в минуты. 3 часа=180 минут. Обозначим событие A – максимальная нагрузка энергосистемы будет наблюдаться в последний час промежутка с 8:30 до 11:30. представим в виде отрезка АВ длиной в 180 единиц, а промежуток времени от 11 ч 00 мин до 11 ч 30 мин - в виде отрезка СВ длиной в 30 единиц .

180



30

Вероятность того, что максимальная нагрузка будет наблюдаться в последние 30 минут указанного промежутка равна (A) =0,16

1.2 Территория подстанции представляет собой квадрат со стороной, равной d . В центре установлен стержневой молниеотвод, зона защиты которого ограничена окружностью с диаметром d (рис.1). Найдите вероятность попадания грозового разряда в незащищенную площадь подстанции.



Пусть событие A – попадание грозового разряда в незащищенную площадь подстанции. Вероятность события A найдем как геометрическую вероятность по формуле:



где – незащищенная площадь подстанции, – площадь подстанции. Вычислим нужные площади. Площадь подстанции рассчитывается как площадь квадрата со стороной d : =

Чтобы вычислить незащищенную площадь подстанции, нужно из площади всей подстанции вычесть защищенную площадь, т.е. площадь окружности диаметром d:

= -

Тогда искомая впероятность P(A) =
1.3 При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов; вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Определить вероятность того, что разрыва цепи не произойдет.

Решение. Пусть события А1, А2, А3 означают выход из строя соответственно первого, второго и третьего элементов. Их вероятности по условию соответственно равны: P (A1) = 0,2; P (A2) = 0,3; P (A3) = 0,4. Тогда вероятности противоположных событий A1, A2, A3 соответственно первый, второй и третий элемент не вышел из строя) равны:

P( )= 1 -P( )=0,8; P( )= 0,7; P( )=0,6

Событие А, состоящее в том, что разрыва цепи не произошло, есть совмещение независимых событий , . Следовательно, по формуле получаем:

P( )= P( ) P( ) P( )=0,8 0,6= 0,336

1.4 Завод изготавливает электромагнитные реле с вероятностью дефекта p1 = 0,1. Изделия проверяются контролером, который обнаруживает дефект с вероятностью p2 = 0,8, но может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефект с вероятность p3 = 0,3. Найти вероятности следующих событий:

À1 – реле будет забраковано ошибочно;

А2 - изделие с дефектом будет отгружено покупателю;

А3 - реле будет забраковано по любой причине.

Решение. Рассмотрим следующие события: В1 – реле имеет дефект;

Â2 – контролер обнаружит имеющийся дефект; В3 – контролер забракует реле, не имеющее дефекта.

По условию задачи P (B1) = p1 = 0,1; P (B2) = p2 = 0,8; PB1 (B3 ) = p3 = 0,3. Событие А1 по смыслу означает: «изделие не имеет дефекта и изделие будет забраковано контролером», т .е. A1 = B1 × B3.

Тогда P (A1 ) = P (B1 × B3 ) = P (B1 )× PB1 (B3 ) = (1- p1 )× p3 = 0,9×0,3 = 0,27.

Событие А2 по смыслу означает: «изделие имеет дефект и контролер не обнаружит дефект», т.е. A2 = B1 × B2 .

Тогда P (A2 ) = P (B1 )×P (B2 ) = p1 ×(1- p2 ) = 0,1×0,2 = 0,02, т.к. события B и B2 независимые.

Событие А3 по смыслу означает: «изделие имеет дефект и контролер обнаруживает дефект или изделие не имеет дефекта и контролер забракует изделие», т.е. A3 = B1 × B2 + B1 × B3

P(A3 ) = P (B1 × B2 + B1 × B3 ) = P (B1 )×P (B2 ) + P(B1 )×PB1 (B3 ) =

=P1 ×P2 + (1- p1 )× p3 = 0,1×0,8 + 0,9×0,3 = 0,35.

1.5. По линии связи передаются два сигнала A и В соответственно с вероятностями 0,72 и 0,28. Из-за помех 1 6 часть A-сигналов искажается и принимается, как В -сигналы, а 1 7 часть переданных В -сигналов принимается, как A-сигналы. Определите: 1) вероятность того, что на приемном пункте будет принят A-сигнал; 2) если известно, что принят A-сигнал, какова вероятность того, что он же и был передан?

 Пусть событие А - на приемном пункте появился А-сигнал. Введем гипотезы: НА - передан сигнал А, НВ - передан сигнал В. По условию P (Ha) = 0,72; P (Hb) = 0,28.

Вероятность того, что принят А-сигнал при условии, что он же послан, равна:

P(A/ )= 1- =

Вероятность того, что принят А-сигнал при условии, что послан В-сигнал, равна:

P(A/ )= 1-

Отсюда по формуле полной вероятности получаем

P(А)= Р( ) P(A/ )+Р( ) P(A/ )=0,27 +0,28 = 0,64

б) вероятность приема А-сигнала при условии, что он же был передан, найдем по формуле Байеса:

P( /A)= = =

1.6 Потребитель может заключить договор о поставке электроэнергии в одну из трех энергосбытовых компаний. Вероятности обращения в каждую зависят от их тарифной политики и равны соответственно 1 p , 2 p и 3 p . Вероятность того, что к моменту обращения потребителя лимиты мощности у поставщика будут исчерпаны, составляет для первой компании 4 p , для второй – 5 p , для третьей – 6 p . Какова вероятность, что договор на поставку электроэнергии будет заключен.

Решение. Рассмотрим следующие случайные события:

А- потребитель заключит договор о поставке электроэнергии

- потребитель направится в 1 компанию

потребитель направится в 2 компанию

– потребитель направится в 3 компанию

Ясно, что события -1, -2, -3 образуют полную группу событий и несовместны (мы считаем, что пассажир может направиться только в одну кассу). События -1, -2, —з являются гипотезами. Событие А может По формуле полной вероятности:

P(А)= Р( ) (A) +Р( ) )

(1- )+ (1- )+ (1- )

1.7 Имеются три пары измерительных приборов по 30 штук в каждой. Число стандартных приборов в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из случайно выбранной партии наудачу извлечены два прибора, оказавшимися стандартными. Найти вероятность того, что приборы были извлечены из третьей партии.

Решение. Обозначим через А событие — в каждом из двух испытаний была извлечена стандартный прибор.

Можно сделать три предположения (гипотезы): -1 — приборы извлекались из первой партии; -2 — приборы извлекались из второй партии; -3 —приборы извлекались из третьей партии.

Так как приборы извлекались из наудачу взятой партии, то вероятности гипотез одинаковы:

Р( )= Р( )= Р( )=

Найдем условную вероятность PH1 (A), т. е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены два стандартных прибора:

(А)= =

Найдем условную вероятность PH2 (А), т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (без возвращения) два стандартных прибора:

(А)= =

Найдем условную вероятность (А). Т. е. вероятность того,

что из третьей партии будут последовательно извлечены две стандартные детали:

(А)= =

Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна:

( ) =

1.8 Среди реле, выпускаемых заводом, бывает в среднем 2% дефектных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 25 реле двое из них будут неисправных. Каково наивероятнейшее число дефектных реле в рассматриваемой выборке из 25 деталей и какова его вероятность?

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждого из 25 реле на качество. Событие А - появление нестандартной детали; его вероятность Р = 0,02, тогда q = 0,98. Отсюда по формуле Бернулли находим:

P25 (2) = (0,2)^2× (0,98)^23 0,025.

Наивероятнейшее число нестандартных деталей в данной выборке вычисляется по формуле:

= [25 ¦ 0,02 + 0,02] = [1,24] = 1, а его вероятность равна

P25(1) = C1c × 0,02× (0,98)^24 0,012

1.9 Вероятность поражения линии электропередачи при грозовом разряде составляет 0,8. Найдите вероятность того, что после четырех разрядов произойдет: а) хотя бы одно поражение ЛЭП; б) не менее трех поражений; в) не более одного поражения.

Решение. Здесь n = 4, p = 0,8, q = 0,2. а) Найдем вероятность противоположного события - в серии из четырех разрядов нет ни одного поражения ЛЭП:

Отсюда находим вероятность хотя бы одного поражения:

(к≥1)=1-0,0016=0,9984

б) Событие В, заключающееся в том, что в серии из четырех разрядов произошло не менее трех поражений, означает, что было либо три поражения (событие С), либо четыре (событие D), т. е. В = С + D. Отсюда P (B) = P (C) + P (D); следовательно,

(к≥3)= (3) (4)= + =4× ×0.2+ = 0,8192

в) Аналогично вычисляется вероятность поражения не более одного раза: 

(к≥1)= (0) (1)= 0,0016+ +4× 0,2576

Задача 2.9. Результаты замеров мощности потребителя представлены в виде выборки:



Построить гистограмму и определить закон распределения, рассчитать выборочные: мат.ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение и оценить доверительные интервалы генерального мат.ожидания и среднеквадратического отклонения.

Решение:
п = 100

Для построения гистограммы вычислим относительные частот с шагом интервала h = 1,4 – это расстояние между точками).





Выборочные: мат.ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение


Доверительные интервалы генерального мат.ожидания и среднеквадратического отклонения

Математическое ожидание

Дисперсия неизвестна, объем выборки п = 100, доверительная вероятность  = 0,95

Исправленная дисперсия

= = ×3,5819=3,6181

=

- +

(n-1)=1,9842

6,15-1,9842 6,15+1,9842

5,7726

Среднеквадратическое отклонение

s

= = = =77,046

= = = =123,23

s

1,7049