контрольная работа. контрольная работа 4 семестр. Контрольная работа по дисциплине Математика Студент курса группы зачет книжки

• Название: Контрольная работа по дисциплине Математика Студент курса группы зачет книжки
• Анкор: контрольная работа
• Дата: 29.04.2021
• Размер: 230.93 Kb.
• Имя файла: контрольная работа 4 семестр.docx
• Тип: Контрольная работа; #200001
• страница: 1 из 3

Кафедра математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:
Математика


Выполнил:

Студент курса группы

№ зачет. книжки:

Вариант

Подпись:________________________
Проверил:

Дата: ___________________________

Подпись:________________________

№ 1. Используя классическое определение вероятностей, найти решение задач

4. Из карточек с буквами А, Б, В, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?

Решение:

Выбираем 3 карточки из 4, порядок элементов имеет значение, поэтому общее число исходов события найдём по формуле размещений:



Число исходов, благоприятствующих слову «ДВА» - одно, поэтому .

По формуле классической вероятности имеем:


Ответ:

№ 2 Найти решения задач используя теоремы сложения и умножения вероятностей или формулы полной вероятности и Байеса

34. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4, из второй – 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадёт в сборную института, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

Решение:

Событие А – выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Студент может быть из 1- ой группы (гипотеза Н₁), из 2 – ой группы (гипотеза Н₂) и из 3 – ей группы (гипотеза Н₃). Вероятности этих гипотез соответственно равны:



Событие А может произойти с событиями Н₁, H₂ и H₃ с условными вероятностями:



Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле:







Для нахождения вероятности – студент был из первой группы, применим формулу Байеса:



Для нахождения вероятности – студент был из второй группы, применим формулу Байеса:



Для нахождения вероятности – студент был из третьей группы, применим формулу Байеса:



Следовательно, вероятнее, что студента из второй группы выберут.

Ответ: студента из второй группы выберут
№ 3. Повторные испытания
77. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени равна 0,002. Найти вероятность того, что за время откажут ровно три элемента.

Решение:

По условию задачи , , . Число велико, вероятность мала и рассматриваемые события независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:







№ 4 Найти решения задач на тему закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.
120. Автомобиль встретит 3 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Составить закон распределения случайной величины X – числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Обозначим вероятности:

– вероятность того, что светофор разрешает движение;

- вероятность того, что светофор запрещает движение.

Х - случайная величина числа светофоров, пройденных автобусом до первой остановки, возможные значения которой =0,1,2,3.

Случайная величина X = 0, если автомобиль попал на запрещающий сигнал на 1 светофоре, вероятность этого



Случайная величина X=1, если автомобиль проехал на 1 светофоре и попал на запрещающий сигнал на 2 светофоре, вероятность этого



Случайная величина X=2, если автомобиль проехал на 1 и 2 светофоре и попал на запрещающий сигнал на 3 светофоре, вероятность

этого



Случайная величина X = 3, если автомобиль проехал на 1, 2 и 3 светофоре:



Тогда ряд распределения величины Х:

Х	0	1	2	3
Р	0,5	0,25	0,125	0,0625

2) Математическое ожидание:



3) Дисперсия:





4) Среднее квадратическое отклонение:



Ответ: M(X)= 0,6875; D(X)=0,84; σ(X)=0,92

Х	0	1	2	3
Р	0,5	0,25	0,125	0,0625

№ 5 Случайная величина задана функцией распределения (интегральной функцией)

Найти:

а) дифференциальную функцию (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию;

в) вероятность попадания случайной величины в заданный интервал , то есть

130.

Решение:

а) Найдём плотность распределения вероятностей:


б) Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины :










в) Найдём вероятность попадания случайной величины в интервал :



Ответ: а)

б) ,

в)


№ 6 Математическая статистика

Выписать данные своего варианта (Вариант 151)

Составить интервальный вариационный ряд для фактора , найти его основные числовые характеристики (мода, медианна, выборочное среднее, эмпирическую дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса), построить графики гистограммы, полигона частот и кумуляты.

Проверить гипотезу о нормальном распределении фактора по критерию Пирсона при уровне значимости .

Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

Найти выборочный коэффициент корреляции и построить доверительный интервал для него.

Составить уравнение линейной регрессии и построить поле регрессии и линию регрессии на одном графике.

Для всех заданий уровень значимости один .

1	6,4	8,6
2	10,5	11,8
3	5,6	7,4
4	2,8	5,7
5	6,3	9,5
6	6,0	11,4
7	10,3	12,2
8	6,8	9,8
9	4,1	6,8
10	7,1	10,2
11	1,8	6,8
12	7,9	12,3
13	8,4	12,2
14	8,1	11,8
15	7,1	11,5
16	9,2	11,5
17	11,4	16,4
18	7,9	11,4
19	7,9	12,0
20	6,4	9,0
21	6,0	10,3
22	3,5	7,5
23	5,9	10,3
24	10,3	14,1
25	9,1	12,7
26	9,2	12,1
27	6,1	8,3
28	6,5	12,9
29	7,4	11,4
30	6,4	8,6
31	7,8	10,7
32	1,5	5,4
33	9,7	14,9
34	6,9	9,8
35	7,9	12,8
36	1,9	5,5
37	7,5	12,5
38	7,4	11,8
39	6,6	9,7
40	8,3	11,8
41	7,5	11,2
42	7,3	11,5
43	7,2	11,6
44	8,1	12,8
45	7,4	11,3
46	7,2	10,2
47	9,1	14,2
48	10,7	14,8
49	5,7	8,2
50	9,5	12,8

Решение. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг)

,

где , – соответственно наибольшее и наименьшее значения признака Х; n – объем выборки. Находим ; ; .

Тогда .

При этом шаг рассчитываем с той же точностью, с которой заданы исходные данные. Определим границы интервалов , где ..., и так до тех пор, пока не попадет в последний интервал.
Составим интервальный вариационный ряд.

№	Интервалы	Частота	Относительная частота
1	1,5-3	4	0,08
2	3-4,5	2	0,04
3	4,5-6	3	0,06
4	6-7,5	19	0,38
5	7,5-9	11	0,22
6	9-10,5	8	0,16
7	10,5-12	3	0,06
	Сумма	50	1

Частота – число значений признака Х, попадающих в i-й интервал (столбец 3). При этом сумма частот должна равняться объему выборки,

Относительная частота попадания вi-й интервал служит оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i-му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна единице: .

Для вычисления выборочных характеристик составим расчетную таблицу:

№
1	2,25	4	9	-5,01	25,1001	100,4004
2	3,75	2	7,5	-3,51	12,3201	24,6402
3	5,25	3	15,75	-2,01	4,0401	12,1203
4	6,75	19	128,25	-0,51	0,2601	4,9419
5	8,25	11	90,75	0,99	0,9801	10,7811
6	9,75	8	78	2,49	6,2001	49,6008
7	11,25	3	33,75	3,99	15,9201	47,7603
Сумма		50	363			250,245

Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда.

Выборочное среднее .

Выборочная дисперсия .

Выборочное среднее квадратическое отклонение .

По данным интервального ряда построим гистограмму. По оси OXоткладываем интервалы, по оси OY –соответствующие им частоты.


По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения:

, .

Имеем, во-первых: ,

что близко к ; и, во-вторых, , что близко к . Таким образом, оценка найденных параметров не противоречит сделанному предположению о виде распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра aи , которые равны , :

.

Итак, функция плотности вероятности теоретического закона распределения имеет вид

Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты. Сначала найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы, используя формулу:

,

где значения найдем по прил. 1.

Теоретические частоты будем находить как , округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в таблице:

№	Интервал
1				0,0287	1	4
2				0,0434	2	2
3				0,2156	11	3
4				0,256	13	19
5				0,2326	12	11
6				0,1442	7	8
7				0,0735	4	3
	сумма			1,00	50	50

Сумма теоретических частот должна быть равна 50.

Между теоретическими и наблюдаемыми частотами есть расхождение, которое можно объяснить либо случайными причинами (например, недостаточным числом наблюдений), либо тем, что сделан неверный выбор закона распределения. Проверим это с помощью критерия Пирсона:

.

Результаты расчетов приведены в таблице.