Математика, Часть 1, Вариант 5. КР, Таневский. Контрольная работа по дисциплине Математика Выполнил Таневский К. А. Группа пбт12 Вариант

• Название: Контрольная работа по дисциплине Математика Выполнил Таневский К. А. Группа пбт12 Вариант
• Анкор: Математика, Часть 1, Вариант 5
• Дата: 18.11.2021
• Размер: 33.19 Kb.
• Имя файла: КР, Таневский.docx
• Тип: Контрольная работа; #275380

Федеральное агентство связи

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Межрегиональный учебный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

по дисциплине: Математика

Выполнил: Таневский К. А.

Группа: ПБТ-12

Вариант: Вариант 5

Проверил: Агульник В. И.

Новосибирск, 2021
Задание 1

Найти пределы

а) б) в) .

а) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной x, т.е. на и используем очевидное равенство :



б) Имеем неопределенность вида . Раскроем её по правилу Лопиталя:



Используем первый замечательный предел



в) Преобразуем выражение под знаком предела, используя свойства логарифмической функции:



Используем второй замечательный предел .



Ответ:
Задание 2

Найти производные данных функций

;
а)

б) 

в)
Задание 3

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

. Используя результаты исследования, постройте её график.
Область определения, точки пересечения с осями, общие свойства.

Область определения функции – вся числовая ось, то есть . Несмотря на то, что у нас дробная функция, при любом x знаменатель будет больше или равен 1, так как за счет квадрата получается число неотрицательное и к нему прибавляется 1.

, точка (0,0) проходит через начало координат, поэтому является точкой пересечения графика и с осью Oy, и осью Ox.

При x < 0, y(x) < 0, то есть график находится в третьей четверти.

При x = 0, y(x) = 0, то есть график проходит через начало координат.

При x > 0, y(x) > 0, то есть график находится в первой четверти.

Данная функция не является периодической.

данная функция не является четной

Непрерывность и асимптоты.

Функция непрерывна на всей числовой оси. Следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты.

;



Следовательно, y = 0 – горизонтальная асимптота.
Монотонность (возрастание и убывание) и экстремумы (максимумы и минимумы).

Найдем производную:

Найдем нули производной (критические точки): ; Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.



Проверим значения знаменателя при x = 0,

, знаменатель не равен нулю.

Составим таблицу:

	возрастает	не критическая точка	возрастает

Функция монотонно возрастает на всей числовой оси, точек максимума или минимума не существует.
Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.





Либо , либо



Для решения уравнение 4 степени сделаем замену, пусть , тогда

Согласно теореме Виета

Вернемся к замене, число в квадрате не может быть отрицательным, поэтому нам подходит только



Знаменатель можно не проверять, он также .

Составим таблицу. т. п. – точка перегиба.

		т. п.		т. п.		т. п.
	вогнутость		выпуклость		вогнутость		выпуклость

График


Задание 4

Дана функция . Найти её частные производные.

Найдем частную производную по переменной x, рассматривая y как постоянную.



Найдем частную производную по переменной y, рассматривая x постоянную