Теория вероятностей и мат статистика. Теория вероятностей. Контрольная работа по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
![]()
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант - Студентка гр. ____________ ____________________ Руководитель ________________________ _________ __________ оценка __________ дата Томск 2021 Оглавление Задача 1. Тема: «Нормальное распределение» 3 Задача 2. Тема: «Интервальные оценки» 3 Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» 4 Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона» 5 Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция» 6 Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия» 7 Задача 1. Тема: «Нормальное распределение» Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей? Решение Дано ![]() Срок службы должен оказаться в интервале ![]() ![]() Вероятность попадания величины X в заданный интервал ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() Ответ:число бесплатных ремонтов не превысит 2,275% проданных автомобилей при условии, что производитель даст гарантию на коробку передач на срок 24 месяца. Задача 2. Тема: «Интервальные оценки» С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин., а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью 0,9? Решение По условию: ![]() Для определения объема повторной выборки, необходимого для того, чтобы гарантировать определенную точность оценки генеральной средней, задаваемую предельной ошибкой выборки , при заданной надежности , используем формулу: ![]() По условию задачи доверительная вероятность равна ![]() ![]() Таким образом, объем повторной выборки приблизительно будет равен: ![]() Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого: ![]() Итак, чтобы с вероятностью 0,9 и точностью ![]() Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Уровень значимости 0,01. Решение Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная доля точно равна числовому значению. Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условиям задачи. ![]() ![]() Критическая область - правосторонняя Вычислим наблюдаемое значение статистики K по формуле: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() При заданных значениях: ![]() ![]() По таблице функции Лапласа найдем критическую точку для правосторонней критической области (при гипотезе ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона» С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X, заданную в виде сгруппированного статистического ряда, нормально распределенной с параметрами ![]() ![]()
Решение Для нахождения характеристик выборки от заданного интервального распределения признака X перейдем к дискретному распределению, выбирая в качестве значений признака ![]()
Выборочная средняя ![]() Выборочная исправленная дисперсия: ![]() Выборочное исправленное с.к.о: ![]() Сформулируем основную и альтернативную гипотезы. ![]() ![]() ![]() Используя данные интервального ряда и вычисленные значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() Число степеней свободы: ![]() ![]() ![]() Для уровня значимости ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция». По заданной таблице рангов найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0.05. Десять спортсменов-бегунов проранжированы по двум признакам: X — рост спортсмена, Y — скорость бега.
Решение Составим матрицу рангов и найдем сумму квадратов разностей рангов ![]()
Вычислим значение коэффициента Спирмена по формуле ![]() По шкале Чеддока связь между ростом спортсмена и скоростью бега умеренная ![]() ![]() Для проверки значимости найденного значения ![]() ![]() ![]() Вычислим наблюдаемое значение статистики: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как эмпирическое значение коэффициента корреляции Спирмена меньше критического: ![]() нулевую гипотезу отвергаем: между ростом спортсмена и скоростью бега не существует значимой ранговой корреляционной связи. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически незначим. Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия». Исследуется связь между общим весом некоторого растения (Y, %) и весом его семян (X, г) на основе выборочных данных.
Построить диаграмму рассеяния и определить по ней характер зависимости. Рассчитать выборочный коэффициент корреляции Пирсона, проверить его значимость при α = 0.05. Записать уравнение регрессии и дать интерпретацию полученных результатов. Решение Факторный признак Y — общий вес растения; результирующий признак X — вес его семян. Построим диаграмму рассеяния, изобразив в прямоугольной системе координат точки с координатами, соответствующими каждой паре наблюдений ![]() ![]() По виду диаграммы можно предположить, что существует линейная корреляционная связь между показателями. Оценим тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составим выборочные уравнения прямой регрессии. Для удобства проведем все необходимые предварительные расчеты в таблице.
Рассчитаем числовые характеристики выборки, используя итоговую строку расчетной таблицы и учитывая, что объем выборки ![]() Выборочные средние: ![]() ![]() ![]() Выборочные дисперсии: ![]() ![]() Выборочные среднеквадратические отклонения: ![]() ![]() Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле: ![]() Найдем уравнение линейной регрессии Y на X: ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем уравнение линейной регрессии X на Y: ![]() ![]() ![]() ![]() Второй способ. Выборочное уравнение прямой регрессии Y на X и X на Y имеет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим полученные значения: ![]() Окончательно получаем, что уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид: ![]() ауравнение прямой регрессии X на Y: ![]() Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому прямые регрессии на графике практически совпадают. ![]() Коэффициент регрессии ![]() ![]() ![]() ![]() Коэффициент корреляции ![]() ![]() ![]() ![]() Так как регрессивный анализ зависимости между признаками проводится по выборочным данным, необходимо проверить значимость выборочного коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу - величина коэффициента корреляции в генеральной совокупности равна нулю: ![]() Проверку нулевой гипотезы проводим с помощью критерия t – Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия t находим по формуле: ![]() По таблице Стьюдента с уровнем значимости ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() |