Контр по матем. Кнтр3 Ряды_задачи и примеры. Контрольная работа ряды I. Числовые ряды 0109. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. Найти предел
 Скачать 1.35 Mb.
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «РЯДЫ» I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 01-09. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. Найти предел𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 →∞ 𝑢 . Применяя необходимое условие сходимости, исследовать сходимость (ряд расходится / сходимость не определена) этого ряда. 01. 1 3 4 7 4 3 2 n n n 02. 1 2 2 2 12 5 6 n n n 03. 1 3 3 3 11 3 2 n n n 04. 1 3 3 4 12 5 6 n n n 05. 1 3 4 5 4 2 3 n n n 06. 1 3 4 6 12 5 6 n n n 07. 1 4 5 1 2 5 n n n 08. 1 2 8 12 5 6 n n n 09. 1 3 3 1 9 5 n n n П. 1 2 4 10 12 5 6 n n n 11-19. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью интегрального признака Коши исследовать сходимость (ряд сходится / расходится) этого ряда. 11. 1 (2𝑛 + 5) 12. 1 (3𝑛 − 5) , 13. 1 (4𝑛 + 6) 14. 1 (2𝑛 − 6) , 15. 1 (3𝑛 + 4) , 16. 1 (4𝑛 − 5) 17. 1 (2𝑛 + 3) , 18. 1 (3𝑛 − 4) , 19. 1 (4𝑛 + 3) , П. 1 (3𝑛 − 7) 21-29. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью признака сравнения с обобщенным гармоническим рядом исследовать сходимость (ряд сходится / расходится) этого ряда. 21. 1 2 2 8 12 5 6 n n n 22. 1 3 3 8 12 5 6 n n n 23. 1 3 4 8 12 5 6 n n n 24. 1 2 8 12 5 6 n n n 25. 1 2 4 8 12 5 6 n n n 26. 1 3 5 8 12 5 6 n n n 27. 1 4 6 8 12 5 6 n n n 28. 1 2 2 7 2 2 7 n n n 29. 1 3 3 7 2 2 7 n n n П. 1 3 4 7 2 2 7 n n n 31-39. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость (ряд сходится / расходится / сходимость не определена) этого ряда. 31. 1 2 ! 3 2 n n n 32. 1 2 3 2 n n n 33. 1 ! 2 n n n 34. 1 7 3 ! 4 n n n 35. 1 5 5 n n n 36. 1 6 ! 5 n n n 37. 1 2 ! 3 4 n n n 38. 1 2 4 2 n n n 39. 1 ! 5 6 n n n П. 1 4 3 ! 2 n n n 41-49. Исследовать сходимость (ряд сходится абсолютно / сходится условно / расходится) лейбницевского ряда. Если ряд сходится, оценить приближенное значение его суммы с помощью третьей и четвертой частичных сумм. 41. 1 3 5 1 1 ) 1 ( n n n 42. 1 7 6 1 1 ) 1 ( n n n 43. 1 3 4 1 1 ) 1 ( n n n 44. 1 4 3 1 1 ) 1 ( n n n 45. 1 6 5 1 1 ) 1 ( n n n 46. 1 7 4 1 1 ) 1 ( n n n 47. 1 3 1 1 ) 1 ( n n n 48. 1 7 4 1 1 ) 1 ( n n n 49. 1 5 9 1 1 ) 1 ( n n n П. 1 7 3 1 1 ) 1 ( n n n II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 51-69. Исследовать знакопостоянство и сходимость степенных рядов в зависимости от х. 51. ∑ ( ) ( !) ∞ 52. ∑ ( ) ! ∞ 53. ∑ ( ) ! ∞ 54. ∑ ( ) ! ∞ 55. ∑ ( ) ! ∞ 56. ∑ ( ) ! ∞ 57. ∑ ( ) ! ⋅ ∞ 58. ∑ ( ) ! ∞ 59. ∑ ( ) ! ∞ П. ∑ ( ) ! ∞ П. ∑ !( ) ∞ 61. ∑ ( ) ∞ 62. ∑ ( ) ∞ 63. ∑ ( ) √ ∞ 64. ∑ ( ) √ ∞ 65. ∑ ( ) ∞ 66. ∑ ( ) ∞ 67. ∑ ( ) ∞ 68. ∑ ( ) ∞ 69. ∑ ( ) ∞ П. ∑ ( ) √ ∞ 71-79. Разложить функции в ряд МакКлорена по степеням х (до второй степени включительно), используя последовательное дифференцирование. 71. 𝑦 = 72. 𝑦 = √ 73. 𝑦 = ln( 1 − 𝑥 − 6𝑥 ) 74. 𝑦 = 2𝑥 cos − 𝑥 75. 𝑦 = ( ) 76. 𝑦 = 77. 𝑦 = √ х 78. 𝑦 = ln(1 + 𝑥 − 6𝑥 ) 79. 𝑦 = (𝑥 − 1) sin(5𝑥) П. 𝑦 = ( ) 81-89. Разложить подынтегральную функцию в степенной ряд (представить четыре первых ненулевых члена), используя таблицу разложения некоторых элементарных функций. Приближенно найти значение определенного интеграла и оценить ошибку полученного значения, используя представленные слагаемые (или записать результат с точностью Δ=10 -5 , если вычисления более точные). 81. ∫ 𝑒 𝑑𝑥 , 82. ∫ 𝑥 sin 𝑑𝑥 , 83. ∫ ln( 1 + 𝑥 /2)𝑑𝑥 , 84. ∫ 𝑥 1 + 𝑑𝑥 , 85. ∫ / , 86. ∫ 𝑥 cos( 2𝑥)𝑑𝑥 , 87. ∫ ( ) 𝑑𝑥 , 88. ∫ ( / ) , 89. ∫ 𝑥𝑒 / 𝑑𝑥 , П. ∫ sin( 2𝑥 )𝑑𝑥 , П. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда ∑ . Найти предел 𝐴 = lim → 𝑢 . Применяя необходимое условие сходимости, исследовать сходимость (ряд расходится/ сходимость не определена) этого ряда. 𝟔𝒏 𝟒 + 𝟓 𝟏𝟐𝒏 𝟐 − 𝟏𝟎 𝒏 𝟏 = 6 ∙ 1 + 5 12 ∙ 1 − 10 + 6 ∙ 16 + 5 12 ∙ 4 − 10 + 6 ∙ 81 + 5 12 ∙ 9 − 10 + 6 ∙ 16 + 5 12 ∙ 16 − 10 + ⋯ = = + + + + ⋯ = 𝟓, 𝟓𝟎 + 𝟐, 𝟔𝟔 + 𝟓, 𝟎𝟏 + 𝟖, 𝟒𝟕 + ⋯ 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→ 𝟔𝒏 𝟒 + 𝟓 𝟏𝟐𝒏 𝟐 − 𝟏𝟎 = lim → 𝑛 6 + 5 𝑛 𝑛 12 − 10 𝑛 = lim → 𝑛 6 + 5 𝑛 12 − 10 𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ при 𝑛 → ∞: 𝑛 → ∞, 5 𝑛 → 0, 10 𝑛 → 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ∞ > 0 Необходимое условие сходимости числового ряда заключается в том, что если ряд сходится, то его слагаемые убывают (по модулю), стремясь к нулю. Как следствие, если слагаемые ряда НЕ стремятся к нулю (соответствующий предел не равен нулю или не существует), то ряд расходится. Для исследуемого ряда предел НЕ существует, значит слагаемые ряда НЕ стремятся к нулю и ряд расходится. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью интегрального признака Коши исследовать сходимость (ряд сходится / расходится) этого ряда. (𝟑𝒏 − 𝟕) 𝟑 𝒏 𝟏 = (−4) + (−1) + 2 + 5 + ⋯ = − 1 64 − 1 + 1 8 + 1 125 + ⋯ = = −𝟎, 𝟎𝟏𝟓 − 𝟏, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 + ⋯ Интегральный признак Коши (для знакопостоянных числовых рядов) заключается в том, что числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом первого рода (по неограниченному промежутку интегрирования) от соответствующей неразрывной убывающей функции действительного аргумента. Для применения этого признака надо: перейти в общей формуле членов ряда от дискретных значений n = 1, 2, 3… к непрерывному аргументу 𝑥 ∈ 𝑅; убедиться в неразрывности этой функции на множестве 𝑥 ∈ [1; ∞), либо выбрать начальное значение диапазона, обеспечивающее неразрывность и убывание интегрируемой функции; составить несобственный интеграл и решить вопрос о его сходимости; перенести вывод о сходимости/расходимости интеграла на исходный ряд. 1 (3𝑛 − 7) → 1 (3𝑥 − 7) Рассмотрим уравнение 3𝑥 − 7 = 0 ⇒ 𝑥 = = 2 < 3 (это ближайшее превосходящее точку разрыва натуральное число) – на диапазоне 𝑥 ∈ [3; ∞) у функции разрывов нет, она убывающая. 1 (3𝑥 + 7) 𝑑𝑥 = lim → 𝑑𝑥 (3𝑥 − 7) = (3𝑥 − 7) = 𝑡 ⇒ 𝑑𝑡 = 3𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 3 ; 𝑥 = 3 ⇒ 𝑡 = 2; 𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑡 = 3𝑏 − 7 = = lim → 1 3 𝑑𝑡 𝑡 = lim → − 1 6 𝑡 = lim → − 1 6 ((3𝑏 − 7) − 2 ) = при 𝑏 → +∞: (3𝑏 − 7) → +∞ (3𝑏 − 7) → +0 = 1 24 < ∞ Несобственный интеграл СХОДИТСЯ к значению < ∞, значит и исходный числовой ряд сходится. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью признака сравнения с обобщенным гармоническим рядом исследовать сходимость (ряд сходится / расходится) этого ряда. 𝟕𝒏 𝟒 − 𝟐 𝟐𝒏 𝟑 + 𝟕 𝒏 𝟏 = 5 9 + 7 ∙ 16 − 2 16 + 7 + 7 ∙ 81 − 2 54 + 7 + 6 ∙ 256 − 2 128 + 7 + ⋯ = 𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟒, 𝟕𝟖 + 𝟖, 𝟐𝟔 + 𝟏𝟏, 𝟑𝟔 + ⋯ Предельный признак сравнения рядов (для числовых знакопостоянных рядов) заключается в том, что ряды ∑ 𝑢 (исходный) и ∑ 𝑣 (эталонный) сходятся или расходятся одновременно, если 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 → существует, но не равен нулю. Сходимость обобщенного гармонического ряда ∑ определяется по значению параметра p: при p > 1 ряд сходится, а при p ≤ 1 ряд расходится. Для применения признака сравнения надо: составить эталонный ряд в виде обобщенного гармонического ряда, игнорируя несущественные для сходимости /расходимости факторы в записи общего члена ряда; решить вопрос о сходимости/расходимости эталонного ряда; доказать, что исходный и эталонный ряды эквивалентны по сходимости/расходимости; перенести вывод о сходимости/расходимости эталонного ряда на исходный ряд. 1. Проведем предварительные условные упрощения до получения ряда эталонного вида: 7𝑛 − 2 2𝑛 + 7 → 7𝑛 2𝑛 = 7𝑛 2 → 𝑛 = 1 𝑛 , 𝑝 = −1 < 1 − Предполагаемый эталонный ряд РАСХОДИТСЯ. 2. Составим и рассмотрим предел отношения общих членов исходного и эталонного рядов: 𝐴 = lim → 𝑢 𝑣 = lim → 𝑢 ∙ (𝑣 ) = lim → 7𝑛 − 2 2𝑛 + 7 ∙ (𝑛) = lim → 7𝑛 − 2 (2𝑛 + 7)𝑛 = = lim → 𝑛 7 − 2 𝑛 𝑛 2 + 7 𝑛 = lim → 7 − 2 𝑛 2 + 7 𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ при 𝑛 → ∞: 2 𝑛 → 0, 7 𝑛 → 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 7 2 > 0 < ∞ – предел существует, но не равен нулю, значит исходный и вспомогательный эталонный ряды действительно эквивалентны по сходимости/расходимости. Учитывая, что эталонный ряд расходится, делаем вывод, что исходный ряд ∑ тоже расходится. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Найти первые четыре элемента знакопостоянного ряда. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость (ряд сходится / расходится / сходимость не определена) этого ряда. 𝟐𝒏! 𝟑𝒏 𝟒 𝒏 𝟏 = 2 ∙ 1! 3 ∙ 1 + 2 ∙ 2! 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3! 3 ∙ 3 + 2 ∙ 4! 3 ∙ 4 + ⋯ = 2 3 + 4 48 + 12 243 + 48 768 + ⋯ = 𝟎, 𝟔𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟔 + ⋯ Признак Даламбера (для знакопостоянных рядов) заключается в рассмотрении предела 𝐷 = lim → . Если оказывается, что D > 1 – ряд расходится, D = 1 – сходимость/расходимость не определена, D < 1 – ряд сходится. 𝐷 = lim → 𝑢 𝑢 = lim → (𝑢 ∙ 𝑢 ) = lim → 2(𝑛 + 1)! 3(𝑛 + 1) ∙ 3𝑛 2𝑛! = (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1)𝑛! 𝑎 = 𝑎𝑎 = = lim → 𝑛 𝑛 + 1 (𝑛 + 1)𝑛! 𝑛! = lim → 𝑛 𝑛 + 1 (𝑛 + 1) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ при 𝑛 → ∞: 1 𝑛 → 0 ⇒ 𝑛 𝑛 + 1 = = 𝑛 𝑛 1 + 1 𝑛 → 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ∞ > 1 – ряд ∑ 𝟐𝒏! 𝟑𝒏 𝟒 𝒏 𝟏 расходится. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Исследовать сходимость (ряд сходится абсолютно / сходится условно / расходится) лейбницевского ряда. Если ряд сходится, оценить приближенное значение его суммы с помощью третьей и четвертой частичных сумм. (−𝟏) 𝒏 𝟏 𝟏 √𝒏 𝟑 𝟕 𝒏 𝟏 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟒𝟑 + 𝟎, 𝟔𝟐𝟒 − 𝟎, 𝟓𝟓𝟐 + ⋯ По признаку Лейбница (для знакочередующихся рядов), если члены ЗЧР уменьшаются по модулю и стремятся к нулю, то такой ЗЧР сходится, причем сумма ряда не превосходит его первого члена. Для вопроса о сходимости надо рассматривать предел общего члена ЗЧР (по модулю), а для оценки суммы (если слагаемые демонстрируют убывание по модулю) – частичные суммы. lim → 1 √𝑛 = lim → 𝑛 = 0 – по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов ряд сходится. Так как слагаемые ряда ∑ (−1) √ устроены несложно, легко заметить, что они убывают, начиная с первого, и для оценки значения суммы ряда можно использовать его любые частичные суммы. 𝑆 = 1 − 0,743 + 0,624 = 0,881 ⇒ 𝑆 = 𝑆 − 0,552 = 0,329. 𝑆 ∈ (min{𝑆 , 𝑆 } ; max{𝑆 , 𝑆 }) ⇒ 𝑺 ∈ (𝟎, 𝟑𝟐𝟗; 𝟎, 𝟎𝟖𝟏) Для решения вопроса о характере сходимости ЗЧР рассмотрим аналогичный знакопостоянный ряд (из модулей членов ЗЧР). Если знакопеременный ряд сходится одновременно со своим знакопостоянным аналогом, он называется «абсолютно сходящимся», а если исходный ряд сходится, но знакопостоянный аналогичный ряд расходится – эта сходимость «условная»: 𝑛 = 1 𝑛 , 𝑝 = 3 7 < 1 – вспомогательный знакопостоянный ряд является обобщенным гармоническим рядом (см. предыдущие примеры) с параметром 𝑝 = < 1 , он РАСХОДИТСЯ. Значит, исходный ряд ∑ (−𝟏) 𝒏 𝟏 𝟏 𝒏 𝟑 𝟕 𝒏 𝟏 сходится (по признаку Лейбница для ЗЧР), при этом он сходится условно. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Исследовать сходимость ряда ∑ ( ) Решение о сходимости/расходимости этого ряда затруднено наличием в его слагаемых тригонометрической функции, которая приводит к немонотонному изменению слагаемых. Заметим, что −1 ≤ cos 𝑛 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ (2 + cos 𝑛) ≤ 3 – ограниченная величина, не стремящаяся к нулю, как сомножитель, она не должна влиять на сходимость ряда. 1. Предварительно-поисковый «прямой проход» от начала к концу. Имея гипотезу о расходимости исходного ряда, на основании локального признака сходимости рядов мы можем в разумных пределах уменьшать слагаемые ряда. Так как проблемный фактор находится в знаменателе дроби, исключим его из записи с увеличением (от этого все слагаемые только уменьшатся) и далее упростим ряд до эталонного вида, заменяя постоянные множители единицей, а постоянные слагаемые – нулём: 𝑛 + 3 𝑛 (2 + cos 𝑛) ≥ увеличение знаменателя приводит только к уменьшению слагаемых и общей суммы ряда ≥ 𝑛 + 3 𝑛 ∙ 3 → 𝑛 𝑛 = 1 𝑛 , 𝑝 = 1 ≤ 1 – предполагаемый эталонный ряд является обобщенным гармоническим рядом (см. предыдущие примеры) с параметром 𝑝 = 1 , он, подтверждая гипотезу, РАСХОДИТСЯ. 2. Доказательный «обратный проход». Опираясь на предварительныые результаты, имеем: 2.1. По предельному признаку сравнения, надо рассмотреть предел 𝐴 = lim → 𝑢 𝑣 = lim → 𝑛 + 3 3𝑛 1 𝑛 = lim → (𝑛 + 3)𝑛 3𝑛 = lim → 𝑛 1 + 3 𝑛 3𝑛 = lim → 1 3 1 + 3 𝑛 = = при 𝑛 → ∞ 3 𝑛 → 0 = 1 3 > 0 < ∞ – этот предел существует, но не равен нулю, значит вспомогательный ∑ и эталонный ∑ ряды действительно эквивалентны по сходимости/расходимости и вспомогательный ряд РАСХОДИТСЯ. 2.2. Так как исходный ряд ∑ 𝒏 𝟐 𝟑 𝒏 𝟑 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒏) 𝒏 𝟏 превосходит расходящийся вспомогательный ряд, делаем вывод, что он тоже расходится. Ответ: выделенные элементы в решении. ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ Б.М.В. ДЛЯ МНОЖИТЕЛЕЙ (ПРИ 𝜶 → 𝟎) 1. sin α α 2. Tg α α 3. arcsin α α 4. arctg α α 5. (1 − cos α) α 6.(e α − 1)α и (𝑎 α − 1)α ⋅ ln 𝑎 7. Ln(1 + α) α и log (1 + α) α ⋅ log e = α 8. ((1 + α) − 1)𝑘 ⋅ α(при 𝑘 > 0), например √1 + α − 1 α П. Исследовать сходимость ряда ∑ 2 sin √ с помощью радикального признака Коши для знакоположительных рядов. По радикальному признаку Коши, если предел 𝐾 = lim → 𝑢 существует и его значение строго меньше 1, то ряд ∑ 𝑢 – сходящийся, если 𝐾 = lim → 𝑢 > 1, этот ряд – расходящийся, при 𝐾 = lim → 𝑢 = 1 – решение (по этому критерию) не принимается. 𝐾 = lim → 𝑢 = lim → 2 sin 1 𝑛√𝑛 = lim → 2 sin 1 𝑛 = перейдем к непрерывному аргументу = = lim → 2 sin 1 𝑥 = при 𝑥 → ∞ α = 1 𝑥 → 0 sin α α = lim → 2 𝑥 = = ∞ ∞ − неопределенность = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ по правилу Лопиталя, при неопределенности lim → 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) = lim → 𝑢 (𝑥) 𝑣 (𝑥)⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = lim → 2 ∙ ln2 3 2 𝑥 = ∞ ∞ = = по правилу Лопиталя = lim → 2 ∙ ln 2 3 4 𝑥 = lim → 4ln 2 ∙ 2 √𝑥 3 = +∞ > 1. Так как 𝐾 = lim → 𝑢 > 1, ряд ∑ 𝟐 𝒏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒏 𝟏 𝒏√𝒏 𝒏 𝟏 – расходящийся. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Исследовать знакопостоянство и сходимость степенного ряда ∑ ( ) ! в зависимости от x. 1. Выражение для произвольного члена ряда (с номером n) 𝑢 = ( ) ! обращается в нуль при 𝑥 = 𝑥 = 2, это – центр диапазона сходимости ряда. 2. Уточним области, где степенной ряд демонстрирует знакопостоянство или знакочередование членов. При 𝑥 < 𝑥 = 2 ⇒ (𝑥 − 2) < 0 ⇒ (𝑥 − 2) = (−1) |𝑥 − 2| – ряд будет демонстрировать знакочередование членов. При 𝑥 ≥ 𝑥 = 2 ⇒ (𝑥 − 2) ≥ 0 ⇒ (𝑥 − 2) = |𝑥 − 2| > 0 – ряд будет демонстрировать знакопостоянство членов. 3. Сделаем попытку найти радиус сходимости ряда через предел: 𝑅 = lim → 𝑎 𝑎 = lim → 9 7𝑛! ∙ 7(𝑛 + 1)! 9 = (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1) ∙ 𝑛! 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = lim → 𝑛 + 1 9 = ∞ – такой результат говорит, что ряд сходится (для знакочередующегося ряда – сходится абсолютно) независимо от того, каково значение x. 4. Сформулируем выводы, начиная с зоны знакопостоянства рядов: При 𝒙 ≥ 𝒙 𝟎 = 𝟐 получатся сходящиеся знакопостоянные ряды. При 𝒙 = 𝒙 𝟎 = 𝟐 ⇒ 𝑢 = 0 – сходящийся к нулю знакопостоянный ряд ∑ 0. При 𝒙 < 𝒙 𝟎 = 𝟐 получатся ЗЧР, имеющие сходящиеся знакопостоянные аналоги в точках, симметричных данным относительно 𝑥 = 2 , то есть абсолютно сходящихся ЗЧР. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Исследовать знакопостоянство и сходимость степенного ряда ∑ !( ) в зависимости от x. 1. Выражение для произвольного члена ряда (с номером n) 𝑢 = !( ) обращается в нуль при 𝑥 = 𝑥 = −3, это – центр диапазона сходимости ряда. 2. Уточним области, где степенной ряд демонстрирует знакопостоянство или знакочередование членов. При 𝑥 < 𝑥 = −3 ⇒ (𝑥 + 3) < 0 ⇒ (𝑥 + 3) = (−1) |𝑥 + 3| – ряд будет демонстрировать знакочередование членов. При 𝑥 ≥ 𝑥 = −3 ⇒ (𝑥 + 3) ≥ 0 ⇒ (𝑥 + 3) = |𝑥 + 3| ≥ 0 – ряд будет демонстрировать знакопостоянство членов. 3. Сделаем попытку найти радиус сходимости ряда через предел: 𝑅 = lim → 𝑎 𝑎 = lim → 𝑛! 19 ∙ 19 (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1) ∙ 𝑛! 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 lim → 19 𝑛 + 1 = 0 – такой результат говорит, что ряд сходится ТОЛЬКО при 𝑥 = 𝑥 = −3. 4. Сформулируем выводы, начиная с зоны знакопостоянства рядов: При 𝒙 > 𝒙 𝟎 = −𝟑 получатся расходящиеся знакопостоянные ряды. При 𝒙 = 𝒙 𝟎 = −𝟑 ⇒ 𝑢 = 0 – сходящийся к нулю знакопостоянный ряд ∑ 0. При 𝒙 < 𝒙 𝟎 = −𝟑 – расходящиеся ЗЧР. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Исследовать знакопостоянство и сходимость степенного ряда ∑ ∙( ) √ в зависимости от x. 1. Выражение для произвольного члена ряда (с номером n) 𝑢 = ∙( ) √ обращается в нуль при 𝑥 = 𝑥 = −5, это – центр диапазона сходимости ряда. 2. Уточним области, где степенной ряд демонстрирует знакопостоянство или знакочередование членов. При 𝑥 < 𝑥 = −5 ⇒ (𝑥 + 5) < 0 ⇒ (𝑥 + 5) = (−1) |𝑥 + 5| – ряд будет демонстрировать знакочередование членов. При 𝑥 ≥ 𝑥 = −5 ⇒ (𝑥 + 5) ≥ 0 ⇒ (𝑥 + 5) = |𝑥 + 5| > 0 – ряд будет демонстрировать знакопостоянство членов. 3. Сделаем попытку найти радиус сходимости ряда через предел: 𝑅 = lim → 𝑎 𝑎 = lim → 6 7√𝑛 ∙ 7√𝑛 + 1 6 = [𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 ] = lim → 1 6 ∙ 𝑛 𝑛 + 1 = 1 6 – предел существует и не равен нулю, критические для сходимости ряда точки равноудалены от 𝑥 = −5 на расстояние 𝑅 = . 4. Теперь системно рассмотрим все выявленные диапазоны и критические точки, начиная с области знакопостоянства членов ряда 𝑥 ≥ 𝑥 = −5 4.1. При 𝒙 > 𝒙 𝟐 = −𝟒 𝟓 𝟔 ⇒ (𝑥 + 5) > 𝑅 = получаются расходящиеся знакопостоянные ряды. Например, при 𝑥 = 0 > 𝑥 = −4 имеем знакопостоянный расходящийся ряд ∑ ∙ √ → = ∑ √ → 4.2. При 𝒙 = 𝒙 𝟐 = −𝟒 𝟓 𝟔 получается ряд ∑ √ = ∑ √ − это знакопостоянный обобщенный гармонический ряд с показателем степени 𝑝 = ≤ 1, он расходится. 4.3. При 𝒙 ∈ −𝟓; −𝟒 𝟓 𝟔 ⇒ 0 < (𝑥 + 5) < 𝑅 = – знакопостоянный ряд сходится. 4.4. При 𝒙 = 𝒙 𝟎 = −𝟓 – в центре диапазона сходимости знакопостоянный ряд сходится к нулю. 4.5. При 𝒙 ∈ −𝟓 𝟏 𝟔 ; −𝟓 ⇒ − < (𝑥 + 5) < 0 – такие значения x приводят к ЗЧР, у которых имеются сходящиеся знакопостоянные аналоги (см. п. 4.3), значит, это абсолютно сходящиеся ЗЧР. 4.6. При 𝒙 = 𝒙 𝟏 = −𝟓 𝟏 𝟔 имеем ряд ∑ √ = ∑ ( ) √ Знакоположительный аналог этого ЗЧР (см. п. 4.2) расходится, что исключает его <– знакочередующиеся ряды –><– знакопостоянные ряды –> 𝑥 = −5 1 6 𝑥 = −5 𝑥 = −4 5 6 абсолютную сходимость. Однако, lim → √ = 0, то есть слагаемые убывают, стремясь к нулю, а значит, (по теореме Лейбница для ЗЧР) этот ряд сходится. Заключаем, что здесь – условно сходящийся ЗЧР. 4.7. При 𝒙 < 𝒙 𝟏 = −𝟓 𝟏 𝟔 ⇒ (𝑥 + 5) < − – эти значения x удалены от 𝑥 = −5 более, чем на 𝑅 = в зону знакочередующихся рядов, а это значит, что (по следствию из теоремы Абеля) здесь наблюдаются расходящиеся ЗЧР. Ответ: выделенные элементы в решении. П. Разложить функцию 𝑦 = ( ) в ряд МакКлорена по степеням x (до второй степени включительно), используя последовательное дифференцирование. Будем использовать запись ряда Тейлора 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 ) ∙ (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 ) ∙ (𝑥 − 𝑥 ) 2 + 𝑓 (𝑥 ) ∙ (𝑥 − 𝑥 ) 6 + ⋯ при 𝑥 = 0, и только до второй степени, то есть 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓 + 𝑓 ∙ 𝑥 + 𝑓 ∙ 1. 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 = 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(0) = ( ) = 𝑒 . 2. 𝑓 (𝑥) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ⇒ 𝑓 = 𝑓 (0) = ( ) ( ) = 2𝑒 . 3. 𝑓 (𝑥) = [ ( ) ( )](𝟏 𝒙) 𝟐 ( )[ (𝟏 𝒙)] (𝟏 𝒙) 𝟒 = ( ) ( ) ( ) ⇒ 𝑓 = 𝑓 (0) = 𝑒 (1 − 𝑥) + 2𝑒 (2 − 𝑥) (1 − 𝑥) = 5𝑒 В итоге получаем подстановкой найденных числовых коэффициентов: 𝒚 = 𝒆 (𝒙 𝟐) 𝟏 − 𝒙 ≈ 𝒆 𝟐 + 𝟐𝒆 𝟐 ∙ 𝒙 + 𝟓𝒆 𝟐 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 Ответ: выделено в решении. Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды Правила разложения 1. Разложения справедливы не только для = 𝑥, но и для таких выражений, как = −𝑥, = 2𝑥, = 𝑥 , = 5𝑥 , = 𝑥 , = 3√𝑥, = √𝑥 и т.п., при этом область сходимости будет другой, её надо выявлять по критическим значениям для и связи с х, с учётом области определения разлагаемых функций. 2. Для знакочередующихся рядов оценкой погрешности, вносимой при обрезании разложения, является первое отброшенное слагаемое, а сумма ряда лежит между двумя соседними частичными суммами. 3. Для оценки погрешности, вносимой при обрезании разложения в знакопостоянных рядах, используется наибольшее значение отбрасываемого слагаемого на [0; x]. Формулы разложения 1. e = 1 + 1! + 2! + 3! + ⋯ + 𝑛! + ⋯ = 𝑛! , 𝑥 ∈ (−∞; ∞) 2. sin = − 3! + 5! − 7! + ⋯ + (−1) (2𝑛 − 1)! + ⋯ = (−1) (2𝑛 − 1)! , 𝑥 ∈ (−∞; ∞) 3. cos = 1 − 2! + 4! +. . . + (−1) (2𝑛)! +. . . = (−1) (2𝑛)! , 𝑥 ∈ (−∞; ∞) 4. ln( 1 + ) = − 2 + 3 − 4 +. . . + (−1) 𝑛 +. . . , 𝑥 ∈ (−1; 1) 5. (1 + ) = 1 + 𝑚 + 𝑚(𝑚 − 1) 2! + 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) 3! + ⋯ + 𝑚! (𝑚 − 𝑛)! 𝑛! + ⋯ = = 𝑚! (𝑚 − 𝑛)! 𝑛! , 𝑥 ∈ (−1; 1) В частности, 5.1. √1 + = 1 + 2 − 2 ∙ 4 + 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 − 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 + ⋯ 5.2. √1 − = 1 − 2 − 2 ∙ 4 − 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 − 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 + ⋯ 5.3. 1 √1 + = 1 − 2 + 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 4 − 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 + 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 + ⋯ 5.4. 1 √1 − = 1 + 2 + 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 4 + 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 + 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 + ⋯ 5.5. 1 1 + = 1 − + − + − + ⋯ 5.6. 1 1 − = 1 + + + + + + ⋯ 6. arctg = − 3 + 5 − 7 +. . . + (−1) 2𝑛 + 1 +. . . = (−1) 2𝑛 + 1 , 𝑥 ∈ [−1; 1] 7. arcsin = + 1 2 ⋅ 𝑥 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 + 1 ⋅ 3 ∙ 5 2 ⋅ 4 ∙ 6 ⋅ 7 +. . . + 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (2𝑛 − 1) 2 ⋅ 4 ⋅. . .⋅ 2𝑛 ⋅ 2𝑛 + 1 +. . . = = 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (2𝑛 − 1) 2 ⋅ 4 ⋅. . .⋅ 2𝑛 ⋅ 2𝑛 + 1 , 𝑥 ∈ [−1; 1] П. Разложить подынтегральную функцию в степенной ряд (представить четыре первых ненулевых члена), используя таблицу разложения некоторых элементарных функций. Приближенно найти значение определенного интеграла ∫ 𝑑𝑥 , и оценить ошибку полученного значения, используя представленные слагаемые (или записать результат с точностью ∆=10 -5 , если вычисления более точные). 1. Получим разложение для трансцедентного сомножителя подынтегральной функции: sin(2𝑥 ) = [ = 2𝑥 ] = sin 𝛼 = [по разложению №2] = 𝛼 − 𝛼 3! + 𝛼 5! − 𝛼 7! + ⋯ = 2𝑥 − 8𝑥 6 + 32𝑥 120 − 128𝑥 5040 + ⋯ 2. С учетом рационального множителя для подынтегральной функции имеем разложение: sin(2𝑥 ) 𝑥 = 1 𝑥 2𝑥 − 8𝑥 6 + 32𝑥 120 − 128𝑥 5040 + ⋯ = 2𝑥 − 8𝑥 6 + 32𝑥 120 − 128𝑥 5040 + ⋯ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙 𝟐 ) 𝒙 𝒅𝒙 𝟎,𝟏 𝟎 = 2𝑥 − 8𝑥 6 + 32𝑥 120 − 128𝑥 5040 + ⋯ 𝑑𝑥 , = = 𝑥 − 8𝑥 6 ∙ 6 + 32𝑥 120 ∙ 10 − 128𝑥 5040 ∙ 14 + ⋯ = = 10 − 8 ∙ 10 6 ∙ 6 + 32 ∙ 10 120 ∙ 10 − 128 ∙ 10 5040 ∙ 14 + ⋯ = ЗЧР позволяет оценивать погрешность округления по первому отброшенному слагаемому. Слагаемые, начиная со второго, меньше 10 и могут быть отброшены с заменой на указание погрешности. = 10 ± 10 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 ± 𝟏𝟎 𝟓 Ответ: выделено в решении. П. Найти приближенное решение задачи Коши (т.е. частное решение, соответствующее указанному начальному условию) y=f 1 (x) в виде первых слагаемых ряда Тейлора (до третьей степени включительно) для дифференциального уравнения 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 при начальном условии 𝑦(0) = 2 Решение будем искать в виде 𝑦 ≈ 𝑦 + 𝑦 ∙ 𝑥 + ! 𝑥 + ! 𝑥 , где 𝑦 = 2 по начальному условию и 𝑦 = 3 ∙ 0 − 3 ∙ 2 = −6 – подстановка начального условия в дифференциальное уравнения. Остальные коэффициенты находим после дифференцирования: 𝑦 = (𝑦 ) = 3 − 3𝑦 ⇒ 𝑦 = 3 − 3 ∙ (−6) = 21 𝑦 = (𝑦 ) = (3 − 3𝑦 ) = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = −3 ∙ 21 = −63 Подставляя все коэффициенты, получаем: 𝒚 𝟏 ≈ 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝟏𝒙 𝟐 𝟐 − 𝟔𝟑𝒙 𝟑 𝟔 Ответ : выделено в решении. П. Для дифференциального уравнения 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 при начальном условии 𝑦(0) = 2 найти приближенное решение y=f 2 (x) задачи Коши методом Эйлера на отрезке [0; 1] (в табличном представлении с равномерным разбиением отрезка на 10 шагов): Заполняем таблицу: столбцы номера точек i и значений х определяются изначально; значение у 0 – по начальному условию; у 0 ’ – подстановкой в дифференциальное уравнение; 𝛥 𝑦 = 𝑦′ ∙ 0,1 (умножением производной на величину шага), – это позволяет перейти к заполнению строки №1, начиная с 𝑦 = 𝑦 + 𝛥 𝑦 … Ответ: зависимость f 2 (x)=y(x) в столбцах таблицы. П. Для дифференциального уравнения 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 при начальном условии 𝑦(0) = 2 найти точное аналитическое решение y=f 3 (x) Сначала найдём общее решение указанного дифференциального уравнения, потом уточним значение произвольной константы в нём, соответствующее начальному условию, для получения ответа на поставленный вопрос. 1 способ (линейная замена для нахождения общего решения дифференциального уравнения) Так как решаемое дифференциальное уравнение имеет вид 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦), решим его заменой 𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 ⟹ 𝑝 = 3 − 3𝑦 ⟹ из этого равенства алгебраически выразим 𝑦′ ⟹ 𝑦 = 3 − 𝑝 3 Подставляя p и 𝑦 в исходное дифференциальное уравнение, получаем 3 − 𝑝 3 = 𝑝 ⟹ −𝑝 = 3𝑝 − 3 = 3(𝑝 − 1) ⟹ 𝑝 = −3(𝑝 − 1) Заменяя производную отношением дифференциалов 𝑝 = , разделяем переменные: 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 3(𝑝 − 1) ⟹ 𝑑𝑝 𝑝 − 1 = −3𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑝 𝑝 − 1 = −3 𝑑𝑥 ln(𝑝 − 1) = −3𝑥 + 𝐶 ⟹ 𝑝 − 1 = e ⟹ [𝐶 = e ] ⟹ 𝑝 = 𝐶 e + 1 Проведя обратную замену, получаем общее решение дифференциального уравнения (частное решение, соответствующее начальному условию, будет получено позже): 3𝑥 − 3𝑦 = 𝐶 e + 1 ⟹ [𝐶 = −𝐶 /3] ⟹ 𝑦 = 𝐶e + 𝑥 − 1/3 2 способ (показательная замена для нахождения общего решения дифференциального уравнения) Перенося слагаемое в левую часть уравнения, получаем ЛНДУ 1 порядка с правой частью специального вида 𝑦 + 3𝑦 = 3𝑥. 1. 𝑦 + 3𝑦 = 0 – вспомогательное ЛОДУ решается заменой 𝑦 = 𝑒 ⟹ 𝑦′ = 𝜆𝑒 𝜆𝑒 + 3𝑒 = 0 ⟹ (𝜆 + 3)𝑒 = 0 ⟹ 𝜆 + 3 = 0 ⟹ 𝜆 = −3 𝑦 ЛОДУ общ = 𝐶𝑒 2. Частное решение ЛНДУ ищем в виде многочлена 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 ⟹ 𝑦 = 𝐴 𝑦 + 3𝑦 = 𝐴 + 3(𝐴𝑥 + 𝐵 ) = 3𝐴𝑥 + (𝐴 + 3𝐵) = 3𝑥 Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней, получаем условия 3𝐴 = 3 𝐴 + 3𝐵 = 0 ⟹ 𝐴 = 1 𝐵 = − 1 3 ⟹ 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑥 − 1 3 3. Общее решение ЛНДУ получается сложением известных частей (и полностью совпадает с результатом, полученным первым способом): 𝑦 = 𝑦 ЛОДУ общ + 𝑦 = 𝐶e + 𝑥 − 1 3 3 способ (метод Бернулли для нахождения общего решения дифференциального уравнения) В уравнении 𝑦 + 3𝑦 = 3𝑥 сделаем замену 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⇒ 𝑦 = 𝑢 𝑣 + 𝑢𝑣 : 𝑢 𝑣 + 𝑢𝑣 + 3𝑢𝑣 = 3𝑥 𝑢 𝑣 + 𝑢(𝑣 + 3𝑣) = 3𝑥 I. 𝑣 + 3𝑣 = 0 ⟹ = −3𝑣 ⟹ ∫ = −3 ∫ 𝑑𝑥 ln 𝑣 = −3𝑥 + 𝐶 (𝐶 = 0) ⟹ 𝑣 = 𝑒 II. 𝑢 𝑒 = 3𝑥 ⟹ 𝑢 = 3𝑥𝑒 ⟹ 𝑢 = ∫ 3𝑥𝑒 𝑑𝑥 = = по частям 𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣̅ = 3𝑒 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣̅ = 𝑒 = = 𝑢𝑑𝑣̅ = 𝑢𝑣̅ − 𝑣̅𝑑𝑢 = 𝑥𝑒 − 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑒 3 + 𝐶 𝑦 = 𝑥𝑒 − 𝑒 3 + 𝐶 ∙ 𝑒 = 𝑥 − 1 3 + 𝐶𝑒 – общее решение дифференциального уравнения совпало с результатами, полученными другими способами. Получим решение задачи Коши с учетом начального условия 𝑦(0) = 2 2 = 0 − 1 3 + 𝐶𝑒 ∙ ⟹ 𝐶 = 7 3 ⟹ 𝒚 = 𝟕 𝟑 𝒆 𝟑𝒙 + 𝒙 − 𝟏 𝟑 Ответ: выделено в решении. П. Привести все данные по результатам решения дифференциального уравнения 𝑦 + 3𝑦 = 3𝑥 при начальном условии 𝑦(0) = 2 в сводной таблице с шагом по аргументу х h=0,1 (аналитические зависимости – в виде числовых подстановок аргумента х), учитывая два десятичных разряда. Изобразить все три зависимости на одном графике. Сравнить результаты, полученные двумя приближенными методами, с точным (аналитическим) решением. i x y 1 y 2 y 3 0 0 2 2 2 1 0,1 1,49 1,40 1,50 2 0,2 1,14 1,01 1,15 3 0,3 0,86 0,77 0,92 4 0,4 0,61 0,63 0,77 5 0,5 0,31 0,56 0,69 6 0,6 -0,09 0,54 0,65 7 0,7 -0,66 0,56 0,65 8 0,8 -1,46 0,60 0,68 9 0,9 -2,55 0,66 0,72 10 1 -4,00 0,73 0,78 В диапазоне 𝑥 ∈ (0; 0,4) первое приближенное решение (в виде ряда МакКлорена) ближе к точному, чем решение методом Эйлера. Ответ: таблица, графики и вывод в решении. |