Документ Microsoft Word (2). Краткая характеристика метода
 Скачать 49.46 Kb.
|
|
Краткая характеристика метода Метод квадратного корня применяется в том случае, когда матрица А симметричная, то есть: aij = aji (i, j = 1, 2, …, n). Кроме того, матрица должна быть невырожденной, то есть её определитель не должен равняться нулю (det(A)0). Таким образом, система будет иметь единственное решение. Метод квадратного корня дает большой выигрыш во времени по сравнению с другими методами (например, методом Гаусса), так как, во-первых, существенно уменьшает число умножений и делений (почти в два раза для больших n), во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов. Всего метод квадратных корней требует меньшее число операций умножения и деления (примерно в два раза меньше, чем метод Гаусса), а также n операций извлечения корня. Постановка задачиК решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Запишем еще раз систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными :  Совокупность коэффициентов (aij), неизвестных (хi) и свободных членов (bi) этой системы запишем в виде матриц A ,X и B    Используя понятие матрицы , систему уравнений (1.1.1) можно записать в матричном виде: Ax=b (2.2.1) Таким образом, задача состоит в том, чтобы вычислить столбец неизвестных, используя метод квадратного корня. Теоретическая основа метода квадратного корня для решения линейных системПусть дана симметричная система линейных уравнений в матричном виде : Ах=b К ee решению может быть применена идея разложения матрицы А в произведение двух матриц специального вида. Основанием для этого служит следующая теорема : Какова бы ни была матрица А с отличными от нуля глав-ными минорами:    ее всегда можно разложить в произведение двух треугольных матриц: A=BC, где В - левая треугольная матрица:  С - правая треугольная матрица:  Так как данная матрица симметрична , то она раскладывается на произведение двух взаимно транспонированных треугольных матрицА = Т Т’   Найдем элементы tij матрицы Т. Для этого перемножим T и T' между собой и приравняем полученное к исходной матрице: t211 = a11 , t11 t12 =a12 , … , t11 t1n = a1n , t212 + t222= a22 , … , t12 t1n + t22 t2n= a2n , ………………………………………………………… t21n + t22n +…+ t2nn = ann получим следующие формулы для определения tij  Далее, решение системы сводится к решению двух треугольных систем. Действительно, равенство равносильно двум равенствам: T'y=b и Tx=y. Запишем в развернутом виде системы   И из этих систем и последовательно находим     |