Моделирование. УММ_МодПиОвМ. Краткое содержание 1 Введение. Основные определения и понятия
 Скачать 1.79 Mb.
|
|
г. Череповец, 2019 год УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ « МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ » направление: 22.03.02 Металлургия. форма обучения: заочная направление: 15.03.02 Технологические машины и оборудование. форма обучения: заочная Составитель: Болобанова Н.Л. к.т.н., доцент кафедры ММиТО 2 1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ № и наименование раздела (модуля) дисциплины Краткое содержание 1 Введение. Основные определения и понятия. Понятие модель и моделирование. Классификации моделей, используемых в технике. Идеальные и материальные модели. Масштабное и аналоговое моделирование. Стохастические и детерминированные модели. Основные свойства моделей: адекватность, точность, практическая ценность, гибкость. 2 Построение математической модели. Этапы создания модели: анализ требований, разработка модели, проведение эксперимента, оценка результатов моделирования согласно поставленной цели и задачи моделирования. Методы построения моделей: аналитический, экспериментальный и имитационный метод. Тестирование модели. Проверка адекватности и адаптация модели. Оптимизация. Критерии оптимальности. Условная и безусловная оптимизации. Целевая функция. 3 Экспериментально- статистические модели. Роль экспериментально-статистических моделей. Пассивный и активный эксперименты. Представление объекта исследования в виде «черного ящика». Факторное пространство и поверхность отклика. Математическое планирование эксперимента. Одномерная линейная регрессия и корреляция. 4 Моделирование на основе конечно- элементного анализа. Основные положения метода конечных элементов (МКЭ). Реализации МКЭ в системах инженерного анализа. Этапы начальной подготовки (препроцессор), получения решений (решатель) и обработки результатов моделирования (постпроцессор). Ошибки конечно-элементного анализа. Программные комплексы на основе МКЭ для расчета объектов и процессов металлургического производства. 5 Моделирование процессов обработки металлов давлением. Особенности применения программного комплекса DEFORM- 3D для моделирования процессов ОМД. Этапы моделирования теплового процесса. Этапы моделирования процесса ОМД на примере горячей прокатки металла на листовом стане. 2. ЛЕКЦИИ 2.1 Тематика лекций № раздела (модуля) Тема лекции 1 Введение. Основные определения и понятия. 2 Построение математической модели. 3 Экспериментально-статистические модели. 4 Моделирование на основе конечно-элементного анализа. 5 Моделирование процессов обработки металлов давлением. 2.2.Конспект лекций 3 Раздел 1. Введение. Основные определения и понятия Технический прогресс в сфере информационных технологий привел к существенному повышению роли математического моделирования. Математическое моделирование в металлургии позволяет ускоренно находить оптимальные решения при планировании производства и управлении. Для металлургической промышленности характерны следующие отличительные особенности. Во-первых, масштабы производства металлов и сплавов вывели металлургию по потреблению энергетических ресурсов на одно из первых мест среди других отраслей. Во- вторых, технологические процессы в металлургии, связанные с переработкой сырья и получению конечных продуктов, протекают при повышенных температурах. Инженеру- металлургу приходится решать широкий спектр задач – от подготовки шихты, выплавки металла, получения качественной готовой продукции до решения экологических проблем снижения уровня теплового и химического загрязнения окружающей среды. Металлургический агрегат является системой высокой категории сложности, многие параметры которой динамически изменяются в процессе эксплуатации, а важнейшие составные элементы (машины, крупные узлы) относятся к области индивидуального машиностроения, поскольку имеют уникальные конструктивные параметры. Современные металлургические агрегаты имеют высокую производительность: от сотен тысяч до нескольких миллионов тонн металла в год, в связи с чем их называют агрегатами большой единичной мощности. Большая единичная мощность определяет существенное влияние металлургических агрегатов на окружающую среду: атмосферу, воду и почву, в связи с чем один из главных критериев эффективности – экологическая безопасность производства. Высокая производительность и необходимость последовательной переработки большого количества сырьевых материалов, чугуна, стали и проката, наличие развитой сети подъемно-транспортных машин и механизмов, сложных систем их тепло- и энергоснабжения – все это определяет большие габариты и массу металлургических агрегатов. В результате крупные металлургические агрегаты оказываются настолько взаимозависимыми в масштабах предприятий и даже отдельного цеха, что вывод из строя морально устаревших установок представляет сложную, а порой и трудноразрешимую проблему. Поэтому преобладающий метод обновления оборудования и технологии в металлургическом производстве – реконструкция агрегатов, частичная, поэтапная замена устаревших машин и механизмов, что обуславливает параллельное функционирование установок разных поколений. Следствием указанных выше особенностей металлургических агрегатов являются значительные интервалы времени, разделяющие срок ввода их в действие и прекращение эксплуатации в связи с заменой на установки нового поколения. Сроки эксплуатации коксовых батарей, агломашин, доменных печей, сталеплавильных агрегатов и прокатных станов измеряются несколькими десятилетиями. Проведение экспериментальных исследований непосредственно в производственных условиях, особенно на крупногабаритных металлургических агрегатах, связано с большими трудностями, а в ряде случаев невозможно. Поэтому одним из основных инструментов исследования в металлургической промышленности является моделирование. Классификация моделей. В общем случае модель представляет собой материальный или идеальный объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования свойства. Модели имеют широкое назначение: обобщение представлений об объекте; исследование объектов (явлений); оптимизация технологических процессов; 4 использование в системах управления технологических процессов; использование в системах обучения; применение в системах искусственного интеллекта. В общем случае все модели, независимо от областей и сфер их применения, бывают трех типов: познавательные, прагматические и инструментальные. Познавательная модель – форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель обычно подгоняется под реальность и является теоретической моделью. Прагматическая модель – средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели. Инструментальная модель – средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные отражают существующие, а прагматические – хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи. Вся остальная классификация моделей выстраивается по отношению к объекту- оригиналу, методам изучения и т. п. Классификация моделей по степени абстрагирования модели от оригинала.По степени абстрагирования от оригинала (рис. 1) модели могут быть разделены на материальные (физические) и идеальные. Рис. 1. Схема классификации моделей по степени абстрагирования от объекта- оригинала К материальнымотносятся такие способы, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основными разновидностями физических моделей являются: - натурные; - квазинатурные; - масштабные; - аналоговые. Натурные– это реальные исследуемые системы, которые являются макетами и опытными образцами. Натурные модели имеют полную адекватность с системой- 5 оригиналом, что обеспечивает высокую точность и достоверность результатов моделирования; другими словами, модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования. Например, глобус – натурная географическая модель земного шара. Квазинатурные(от лат. «квази» – почти) – это совокупность натурных и математических моделей. Этот вид моделей используется в случаях, когда математическая модель части системы не является удовлетворительной или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с остальными частями, но их еще не существует либо их включение в модель затруднено или дорого. Масштабные модели – это системы той же физической природы, что и оригинал, но отличающиеся от него размерами. В основе масштабных моделей лежит математический аппарат теории подобия, который предусматривает соблюдение геометрического подобия оригинала и модели и соответствующих масштабов для их параметров. Примером масштабного моделирования являются любые разработки макетов домов, а порой и целых районов при проведении проектных работ при строительстве. Также масштабное моделирование используется при проектировании крупных объектов в самолетостроении и кораблестроении. Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т. п.). В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические системы, но наиболее широкое применение получили электрические и электронные аналоговые модели, в которых сила тока или напряжение является аналогами физических величин другой природы. Например, является общеизвестным, что математическое уравнение колебания маятника имеет эквивалент при записи уравнения колебаний тока. Например, электротепловая аналогия – метод расчета тепловых систем, сводящийся к расчету эквивалентных линейных электрических схем. Для этого тепловые величины (температура, количество теплоты, тепловой поток и др.) заменяются их электрическими аналогами (напряжение, заряд, ток и др.). Затем рассчитывается электрическая схема и находится искомая тепловая величина. Метод опирается на тождество математического аппарата теплофизики и электротехники: распространение тепла и электрического тока описывается одними и теми же дифференциальными уравнениями, при этом измерение электрических характеристик реальных объектов гораздо проще. Теория расчёта электрических цепей довольно хорошо изучена, существует много различных методов расчёта, а также компьютерных программ, выполняющих необходимые вычисления. Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое. Под интуитивным понимают моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования различного вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т. д., включающие совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми элементами. Знаковая модель может делиться на лингвистическую, визуальную, графическую и математическую модели. Модель лингвистическая, – если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, например, правила дорожного движения – языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах. Модель визуальная, – если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике. Например, на экране компьютера часто 6 пользуются визуальной моделью объектов, клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре. Модель графическая представима геометрическими образами и объектами, например, макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, классическим примером математического моделирования является описание и исследование основных законов механики и Ньютона средствами математики. Металлургические процессы происходят, как правило, при высоких температурах, опасных для человеческой жизни. Эксперименты на промышленных агрегатах сопряжены со значительными материальными затратами. Поэтому модели используют на всех стадиях создания и освоения новых технологий и реализующих их агрегатов, а также при совершенствовании существующих процессов, разработке способов управления агрегатами и обучении обслуживающего персонала. Стохастическая математическая модель строится в условиях неполноты знаний об объекте или его стадиях, в ней связи между входами и выходами объекта имеют вероятностный характер.Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а череззаконыраспределения их вероятностей.При построении стохастической математической модели применяются методы корреляционного и регрессионного анализа, другие статистические методы. Детерминированная математическая модель представляет совокупность алгебраических или дифференциальных уравнений, характеризующих причинно- следственные связи между входами и выходами объекта на основании известных законов сохранения массы, энергии, химических превращений и др. В комбинированных математических моделях сочетаются признаки стохастического и детерминированного моделирования, например процесс кристаллизации отливки описывается детерминированной моделью, а входящие в эту модель коэффициенты определяются стохастическими методами. Еще пример – процесс прокатки в клети описывается также детерминированной моделью, а коэффициент трения, входящий в эту модель, – стохастическим методом. Металлургические процессы отличаются большой сложностью. Часть из них требует расчета показателей деформации, формоизменения и энергосиловых параметров, например процесс прокатки, и базируется на математической теории пластичности, механике сплошных сред, теоретической механике, сопротивлении материалов. При этом одновременно протекают еще различные взаимосвязанные процессы: теплоперенос (теплопроводность, излучение, конвекция); газо- и гидродинамика (свободная и вынужденная конвекция) и др. Исследование, прогнозирование и управление металлургическими процессами невозможно без математических моделей, которые составляют основу математического обеспечения металлургических технологий. Математическое обеспечение металлургических процессов включает как математическое описание, так и программы на алгоритмических языках (или компьютерные модели), реализующие данные описания. Моделирование – это процесс работы с моделью по воспроизведению свойств объекта. Процесс построения математической модели и моделирование тесно связаны между собой. Фактически модель возникает в результате моделирования. К построению модели прибегают в тех случаях, когда использование объекта- оригинала по каким-либо причинам затруднено или невозможно. Такими причинами могут быть, например: слишком большой (Солнечная система) или слишком маленький размер объекта (молекула или атом); моделируемый процесс протекает слишком быстро (сгорание топлива в двигателе внутреннего сгорания) или слишком медленно (процесс возникновения жизни на Земле); 7 исследование объекта может оказаться опасным для окружающих (атомный взрыв); объект-оригинал может быть разрушен в процессе исследования (исследование прочностных характеристик конструкции самолета). Для одного и того же объекта можно создать множество различных моделей. Какую модель выбрать – зависит от цели моделирования, определяемой в соответствии с решаемой задачей. С другой стороны, одна и та же модель может представлять разные объекты. Например, математические модели процесса распространения инфекционной болезни и процесса радиоактивного распада являются одинаковыми с точки зрения их математического описания. Основные свойства моделей. Существует ряд общих требований к свойствам, которым должны удовлетворять модели: адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта; конечность – модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и свойств; полнота (информативность) – предоставление исследователю всей необходимой информации об объекте в рамках гипотез, принятых при построении модели; упрощенность – модель отображает только существенные стороны объекта; гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров; приемлемая для имеющегося времени и программных средств трудоемкость разработки модели. Вопросы для самоконтроля 1 Объясните смысл понятия модели и моделирования. 2 Каким требованиям должны удовлетворять модели? 3 На какие классы разделяются модели по степени абстрагирования модели от оригинала. 4 Опишите классификацию моделей по способу их представления. 5 Поясните термин «материальная (натурная) модель». 6 Объясните понятие «знаковая модель». Приведите примеры. 7 В чем заключается различие между детерминированными и стохастическими моделями? Литература 1 Кабаков З. К., Пахолкова М. А. Технология математического моделирования металлургических процессов: Курс лекций [Электронный ресурс]. Череповец, ЧГУ, 2012. 133 с. https://edu.chsu.ru/portal/site/95e4a28d-f652-4a26-9029-87b1982a4cc7/page/19d347de- 9987-4dfe-8f4c-4b092bb19d3d Раздел 2. Построение математической модели Процесс моделирования имеет итерационный характер и проводится в рамках ранее сформулированных целей и с соблюдением границ моделирования. Построение начинается с изучения (обследования) реальной системы, ее внутренней структуры и содержания взаимосвязей между ее элементами, а также внешних воздействий и завершается разработкой модели. Моделирование от постановки задачи до получения результатов включает следующие этапы: I. Анализ требований и проектирование. 1. Постановка и анализ задачи и цели моделирования. 2. Сбор и анализ исходной информации об объекте моделирования. 3. Построение концептуальной модели. 4. Проверка достоверности концептуальной модели. 8 II. Разработка модели. 1. Выбор среды моделирования. 2. Составление логической модели. 3. Назначение свойств модулям модели. 4. Задание модельного времени. 5. Верификация модели. III. Проведение эксперимента. 1. Запуск модели, прогон модели. 2. Варьирование параметров модели и сбор статистики. 3. Анализ результатов моделирования. IV. Подведение итогов моделирования согласно поставленной цели и задачи моделирования. Схема этапов моделирования представлена на рис. 1. Рис. 1. Схема создания модели Необходимо отметить, что при разработке конкретных моделей с определенными целями и границами моделирования необязательно должны выполняться все подэтапы. На первом этапе моделирования – «Анализ требований и проектирование» – формулируется концептуальная модель, строится ее формальная схема и решается вопрос об эффективности и целесообразности моделирования системы. Концептуальная модель (КМ) – это абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства элементов и причинно-следственные связи, присущие анализируемой системе и существенные для достижения целей моделирования. В таких моделях обычно в словесной форме приводятся сведения о природе и параметрах (характеристиках) элементарных явлений исследуемой системы, о виде и степени взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования системы. При создании КМ практически параллельно формируется область исходных данных (информационное пространство системы) – этап 9 подготовки исходных данных. На данном этапе выявляются количественные характеристики (параметры) функционирования системы и ее элементов, численные значения которых составят исходные данные для моделирования. Очевидно, что значительная часть параметров системы – это случайные величины. Поэтому особое значение при формировании исходных данных имеют выбор законов распределения случайных величин, аппроксимация функций и т. д. В результате выявления свойств модели и построения концептуальной модели необходимо проверить адекватность модели. На втором этапе моделирования – «Разработка модели» – происходит уточнение или выбор программного пакета моделирования. Выбор средств моделирования: программные и технические средства выбираются с учетом ряда критериев. Непременное условие при этом – достаточность и полнота средств для реализации концептуальной модели. Среди других критериев можно назвать доступность, простоту и легкость и корректность создания программной модели. После выбора среды проектирования концептуальная модель, сформулированная на предыдущем этапе, воплощается в компьютерную, т. е. решается проблема алгоритмизации и детализации модели. Модель системы представляется в виде совокупности частей (элементов, подсистем). В эту совокупность включаются все части, которые обеспечивают сохранение целостности системы, с одной стороны, а с другой – достижение поставленных целей моделирования (получения необходимой точности и достоверности результатов при проведении компьютерных экспериментов над моделью). В дальнейшем производится окончательная детализация, локализация (выделение системы из окружающей среды), структуризация (указание и общее описание связей между выделенными элементами системы), укрупненное описание динамики функционирования системы и ее возможных состояний. Для того чтобы выполнить подэтап «Задание модельного времени» введем понятие модельного времени. В компьютерной модели переменная, обеспечивающая текущее значение модельного времени называется часами модельного времени. Существует два основных подхода к продвижению модельного времени: продвижение времени от события к событию и продвижение времени с постоянным шагом. Третий этап – «Проведение эксперимента» – является решающим, на котором, благодаря процессу имитации моделируемой системы, происходит сбор необходимой информации, ее статической обработки в интерпретации результатов моделирования, в результате чего принимается решение: либо исследование будет продолжено, либо закончено. Если известен результат, то можно сравнить его с полученным результатом моделирования. Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а иногда и изменению модели. Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям моделирования (реальному объекту или процессу), значит, допущены ошибки на предыдущих этапах или входные данные не являются лучшими параметрами в изучаемой области, поэтому разработчик возвращается к одному из предыдущих этапов. Подэтап «Анализ результатов моделирования» представляет собой всесторонний анализ полученных результатов с целью получения рекомендаций по проектированию системы или ее модификации. На этапе «Подведение итогов моделирования согласно поставленной цели и задачи моделирования» проводят оценку проделанной работы, сопоставляют поставленные цели с полученными результатами и создают окончательный отчет по выполненной работе. В целом алгоритм создания модели иллюстрирует рис. 2. Проблемная ситуация возникает, как правило, когда изменяются внешние условия функционирования технологического объекта. Это означает изменение параметров либо на входе, либо на выходе (например, изменение состава перерабатываемого сырья, химического состава стали, повышение требований к качеству готовой продукции). Изменившиеся условия требуют адекватных изменений в технологическом объекте. Необходимо ответить 10 на вопрос о том, какие изменения в работе технологического объекта необходимы для достижения поставленной технологической цели при изменившихся условиях. Постановка цели – определение цели создания модели. Цели создания модели могут быть различными: – исследование – уточнение закономерностей, управляющих технологическим процессом; – прогнозирование поведения объекта – расчет выходных характеристик объекта по известным значениям входных величин; – оптимизация – поиск оптимальных условий работы технологических объектов; – оптимальное управление технологическим процессом (в результате поиска оптимальных условий найденные решения используются для управления технологическим процессом). Рис. 2. Алгоритм создания модели 11 Формулировка критериев – вводят критерии для оценки качества модели. Например, сумма квадратов отклонений наблюдаемых и предсказанных величин на выходе дает основания судить о том, насколько точно модель воспроизводит работу объекта моделирования. Если модель идеально точно прогнозирует наблюдаемый результат, то сумма квадратов отклонений стремится к нулю. Содержательный анализ и выбор типа модели – применяя методы системного подхода, необходимо определить границы моделируемой системы, выделить ее из внешней среды и определить ее входы и выходы. На следующем этапе системного анализа выявляется внутренняя структура объекта, определяются его элементы и связи этих элементов, образующие структуру моделируемого объекта. На данном этапе становится понятно, к какому классу в соответствии со своими свойствами принадлежит моделируемый объект. Завершением содержательного анализа является выбор метода построения модели. Здесь возможно три дальнейших направления. Аналитический метод, или структурный подход, используется для детерминированных систем с известной структурой внутренних связей. Экспериментальный метод, или эмпирический подход, применяется для стохастических систем, подверженных действию возмущений, которыми нельзя пренебречь. Характер и величина возмущений при этом неизвестны, и учесть их действие аналитически невозможно. Экспериментальный подход также является единственным выбором для систем, внутренняя структура которых недостаточно известна. Имитационный метод используется для некоторых классов систем и основан на воспроизведении с помощью ЭВМ развернутого во времени процесса функционирования системы с учетом взаимодействия с внешней средой. Проведение экспериментов с моделью на ЭВМ заключается в проведении многократных машинных прогонов с целью сбора, накопления и последующей обработки данных о функционировании системы. Имитационное моделирование позволяет исследовать модель реальной системы, чтобы изучать ее поведение путем многократных прогонов на ЭВМ при различных условиях функционирования реальной системы. После выбора метода построения модели содержание дальнейших шагов определяется выбранным методом. Составление формализованного описания – на данном этапе, используя установленную структуру связей объекта и применяя фундаментальные законы, создают математическое описание моделируемого объекта. Модель в этом случае представляет собой алгоритм вычислений, уравнение или систему уравнений различного вида. Выполняя расчеты согласно алгоритму, решая системы уравнений по заданным начальным условиям, можно рассчитать состояние выхода объекта. На этапе планирования эксперимента выбирается количество опытов, условия каждого опыта, т. е. сочетание факторов на входе системы в каждом проводимом опыте. Составляется план эксперимента. Выполнение эксперимента – выполнение запланированных опытов. Например, для системы с тремя входами х 1 , х 2 , х 3 и выходом у при постановке полного факторного эксперимента потребуется провести количество опытов 2 3 = 8. В этих опытах сочетания значений факторов на входе не повторяются. Значения на входах задают на двух уровнях, т. е. верхнем и нижнем, изменяя их в пределах выбранного диапазона. Например, температура в технологическом объекте может быть в пределах 1100…1300 °C. Для оценки влияния температуры на процесс проводят опыты либо при нижнем, либо при верхнем значении температуры из этого диапазона. Обозначив верхний уровень знаком плюс, а нижний уровень знаком минус, матрица планирования эксперимента будет соответствовать нижеприведенной таблица 1. Для ее построения выделяется три столбца, соответствующих факторам на входе, и столбец для выходной величины, которую обычно именуют откликом. В столбцах факторов 12 чередуются значения на верхнем и нижнем уровнях, причем в каждом правом столбце чередуются значения вдвое реже по сравнению с левым. В результате получается матрица эксперимента с неповторяющимися значениями факторов. Для исключения влияния возмущений и случайных ошибок (связанных, например, с погрешностями измерения отклика) опыты проводят в случайной последовательности, например, первым проводят опыт, условия которого соответствуют третьей строке матрицы, вторым по порядку проводят опыт с условиями, соответствующими восьмой строке, и т. д. Определение порядка проведения опытов называют рандомизацией. Каждый раз измеряют значение выходной величины (отклика) и записывают результат в соответствующую строку матрицы. Таблица 1 Матрица планирования эксперимента Обработка результатов полного факторного эксперимента подробно изложена в литературе и проводится в соответствии с известным алгоритмом. Полученная модель является полиномом первого порядка, содержащим свободный член и слагаемое, в котором присутствует коэффициент и значение фактора в первой степени. Очень важно, что при таком планировании эксперимента матрица планирования обладает свойством ортогональности, а это позволяет выделить влияние каждого фактора на отклик отдельно от остальных факторов. Таким образом, величины коэффициентов в уравнении показывают направление и силу влияния каждого фактора на отклик. Если коэффициент при данном факторе имеет положительный знак и большое значение, то увеличение этого фактора способствует увеличению отклика. Как в любой эмпирической модели, значения коэффициентов b 0 , b 1 показывают степень влияния данных факторов на выходную величину, но они не имеют явного физико-химического смысла, т. е. не объясняют, почему какие-то факторы оказывают большее действие на отклик по сравнению с другими. Имитационное моделирование применяется для создания моделей непрерывных, дискретных или дискретно-непрерывных систем. В непрерывных имитационных моделях переменные изменяются непрерывно, состояние моделируемой системы меняется как непрерывная функция времени, и, как правило, это изменение описывается системами дифференциальных уравнений. Соответственно продвижение модельного времени зависит от численных методов решения дифференциальных уравнений. В дискретных имитационных моделях переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени (наступления событий). Динамика дискретных моделей представляет собой процесс перехода от момента наступления очередного события к моменту наступления следующего события. 13 Поскольку в реальных системах непрерывные и дискретные процессы часто невозможно разделить, были разработаны непрерывно-дискретные модели, в которых совмещаются механизмы продвижения времени, характерные для этих двух процессов. Следует отметить, что имитационное моделирование применяется для систем плохо описываемых аналитически, а их экспериментальное изучение затруднено. Модель создается как моделирующий алгоритм, воспроизводящий работу моделируемого объекта в «ускоренном времени». Тестирование модели.Тестирование выполняется путем сравнения результатов моделирования с точным решением задачи теплопроводности, полученным при дополнительных упрощающих и допущениях. Задачами тестирования являются: исследование погрешности решения; проверка сходимости решения к точному. Проверка адекватности и адаптация модели. Термин «адекватность» означает соответствие. Для проверки адекватности модели объекту проводят специальные эксперименты на объекте по измерению выходных и входных параметров. Количество таких экспериментов значительно меньше, чем требуется при изучении объекта только экспериментальным путем. После оценки отличий результатов моделирования от экспериментальных данных принимается решение о дальнейшей адаптации модели к объекту. В зависимости от сроков разработки модели возможны три способа адаптации: 1) параметрический; 2) параметрический с дополнительной экспериментальной проверкой; 3) развитие модели. Если времени недостаточно для развития модели, то выбирают первый способ. Среди исходных данных выбирают параметр, изменением которого добиваются адекватности модели объекта. Следует отметить, что модель будет выдавать недостоверные данные при отклонении от условий эксперимента, по результатам которого выполнена адаптация модели. При представлении модели необходимо указать, что ее адаптация производилась по такому-то параметру, и привести значение параметра, при котором достигнута ее адекватность. Во втором способе проводят адаптацию модели так же, как и в первом. Затем для других условий проводят дополнительные эксперименты, которые используют для проверки адекватности модели при значении параметра, установленного ранее. Если адекватность будет доказана на основе дополнительных экспериментов, то достоверность модели существенно возрастет. В последнем способе возвращаются к этапу моделирования – разработке математического описания; находят самое «грубое» допущение; разрабатывают математическое описание, устраняющее это допущение; повторяют все последующие этапы моделирования, включая проверку адекватности. Оптимизация. Задача оптимизации заключается в определении наилучших(в некотором смысле) условий, значений. Подобного рода проблемы возникают: при управлении различными технологическими процессами, где необходимо достижение максимальной производительности при наилучшем качестве и минимальных затратах; при проектировании различных инженерных устройств, приборов, где требуется подобрать комбинацию параметров, соответствующую наивысшим эксплуатационным характеристикам проектируемого агрегата. Оптимизация – это выбор наилучшего решения из нескольких возможных вариантов. Эти варианты называются альтернативами. Признаки и предпочтения, по которым следует провести сравнительную оценку альтернатив и выбрать среди них наилучшую с точки 14 зрения поставленной задачи оптимизации, называются критерий оптимальности. Для того чтобы использовать результаты и вычислительные процедуры теории оптимизации на практике, необходимо прежде всего сформулировать рассматриваемую задачу на математическом языке, т.е. построить математическую модель объекта оптимизации. В большинстве реальных ситуаций дать исчерпывающее математическое представление оптимизируемой системы с учетом всех взаимосвязей ее частей, взаимодействий с внешним миром, всех целей ее функционирования бывает затруднительно или невозможно. Поэтому при построении математической модели необходимо, как правило, выделять и учитывать в дальнейшем только наиболее важные, существенные стороны исследуемого объекта с тем, чтобы было возможным его математическое описание, а также последующее решение поставленной математической задачи. При этом неучтенные в математической модели факторы не должны существенно влиять на окончательный результат оптимизации. На начальном этапе необходимо определить границы объекта оптимизации, так как невозможно учесть и описать все стороны большинства реальных систем. Выделив главные переменные, параметры и ограничения, следует приближенно представить систему как некоторую изолированную часть реального мира и упростить ее внутреннюю структуру. Может оказаться, что первоначальные границы объекта оптимизации выбраны неудачно. Это становится ясным при дальнейшем анализе системы и ее математической модели, при интерпретации результатов поиска оптимального решения, сопоставлении их с практикой и т.д. Затем необходимо выбрать управляемые переменные, т.е. следует провести различие между теми величинами, значения которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата (управляемыми переменными), и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами. Определение тех значений управляемых переменных, которым соответствует наилучшая (оптимальная) ситуация, и представляет собой задачу оптимизации. Величины, изменяемые при оптимизации, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называются параметрами оптимизации. Одни и те же величины в зависимости от выбранных границ оптимизируемой системы и уровня детализации ее описания могут оказаться либо управляемыми переменными, либо нет. В реальных условиях на выбор значений управляемых переменных, как правило, наложены ограничения, связанные с ограниченностью имеющихся ресурсов, мощностей и других возможностей. При построении математической модели эти ограничения обычно записывают в виде равенств и неравенств или указывают множества, которым должны принадлежать значения управляемых переменных. Ограничения – соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения параметров оптимизации. Функцию параметров оптимизации, выражающую количественно меру достижения цели оптимизации, принято называть целевой. Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости. Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех проектных параметрах и более поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма. Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения да или нет. Качественные 15 параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией параметров оптимизации. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. В качестве критерия оптимальности чаще всего бывает требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной и несколькими целевыми функциями. Следует отметить, что во многих случаях выбор критерия оптимизации не является очевидным и однозначным. Часто бывает трудно поставить в соответствие всей совокупности целей функционирования системы какой-либо один критерий. Выход из этого положения определяется в каждом конкретном случае. Например, из многих критериев, характеризующих различные цели оптимизации, выбирают один, считая его основным, а остальные – второстепенным. Далее второстепенные критерии либо не учитываются, либо учитываются частично с помощью дополнительных ограничений на управляемые переменные. Эти ограничения обеспечивают изменение второстепенных критериев в заданных диапазонах приемлемых значений. Другой путь состоит в формулировке комплексного критерия, т.е. целевой функции, включающей с разумно выбранными весовыми коэффициентами целевые функции, соответствующие различным целям. Математическая модель, даже адекватная реальному объекту и достаточно полно отражающая его свойства, может оказаться бесполезной для практического использования, если отсутствует необходимая информация о величинах, параметрах, переменных, входящих в эту модель. Таким образом, в процессе построения математической модели объекта оптимизации необходимо следить за тем, чтобы значения всех входящих в нее величин могли быть измерены. Возможно, что для определения некоторых из них потребуются самостоятельное исследование или сбор дополнительной информации. При математической формулировке задачи оптимизации целевую функцию выбирают с таким знаком, чтобы решение задачи соответствовало поиску минимума этой функции, поэтому формулировка общей задачи оптимизации записывается как f (x) → min, x ∈ Ω, где f (x)– целевая функция, Ω ∈ R n – множество возможных альтернатив, рассматриваемых при поиске решения задачи. Любую точку x ∈ Ω называют допустимым решением задачи математического программирования, а само множество – допустимым множеством. Точку x ∈ Ω , в которой целевая функция достигает своего наименьшего значения, называют оптимальным решением задачи. При отсутствии ограничений, накладывающихся на переменные, оптимизацию называют безусловной. При наличии ограничений – условная оптимизация. Если допустимое множество должно удовлетворять некоторым ограничениям, то множество допустимых решений сужается. Всю совокупность методов оптимизации можно разделить на два основных класса: теоретические и экспериментальные. Теоретические методы применяются в ситуациях, когда задача полностью определена с математической точки зрения и по своему характеру допускает применение одного из известных аналитических методов оптимизации (дифференциального или вариативного исчисления, линейного, целочисленного или динамического программирования и др.). Такие методы называют также аналитическими. Экспериментальные методы используются в условиях, когда функция отклика y(x) неизвестна и имеется возможность измерить значения y при различных комбинациях величин факторов x 1 , x 2 , …, xk. При поиске экстремума движение в пространстве управляемых параметров осуществляется шагами. От величины шага зависят многие параметры поиска: потери на поиск, точность нахождения точки экстремума, надежность поиска. Разработаны методы выбора оптимального шага поиска. 16 В зависимости от количества управляемых параметров различают методы одномерного и многомерного поиска. К одномерному поиску относятся метод последовательной дихотомии, метод поиска Фибоначчи, метод золотого сечения, метод перебора, метод деления пополам, метод хорд и пр. Методы многомерного поиска делятся на 2 группы: градиентные и неградиентные. Также методы оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков (рис. 3). Рис. 1. Методы безусловной оптимизации В методах нулевого порядка информация о производных не используется. Поиск экстремума осуществляется только на основе вычисления значений целевой функции. Такие методы называют методами прямого поиска. Методы первого порядка являются градиентными методами. В градиентных методах используются значения целевой функции и ее первых частных производных по управляемым параметрам. В методах второго порядка для поиска экстремума используются значения целевой функции, ее первых и вторых частных производных. Вопросы для самоконтроля 1 Перечислите основные этапы процесса построения математической модели. 2 Дайте определения концептуальной и математической постановкам задачи. 3 С какой целью применяется проверка адекватности модели? 4 Какие подходы к построению математической модели вам известны? В чем они заключаются? 5 Перечислите основные этапы цикла вычислительного эксперимента. 6 Что составляет основу вычислительного эксперимента? 17 7 В чем отличие и сходство лабораторного и вычислительного эксперимента? Литература 1 Кабаков З. К., Пахолкова М. А. Технология математического моделирования металлургических процессов: Курс лекций [Электронный ресурс]. Череповец, ЧГУ, 2012. 133 с. https://edu.chsu.ru/portal/site/95e4a28d-f652-4a26-9029-87b1982a4cc7/page/19d347de- 9987-4dfe-8f4c-4b092bb19d3d |