Кривые второго порядка. Кривые второго порядка
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САХАЛИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ТЕХНОСФЕРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Пак Светлана Викторовна Выпускная квалификационная работа Кривые второго порядка Направление подготовки: 01.03.02— Прикладная математика и информатика Научный руководитель: Южно-Сахалинск 2016 Актуальность темы Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения. Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе – тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту. Цели и задачи
Цели данной ВКР Задачи работы
Объектом исследования Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 равна длине данного отрезка PQ , причем PQ > F1F2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 равно длине данного отрезка PQ, причем PQ Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F. y2 = 2px. Линия γ, заданная уравнением, является линией второго порядка. Это уравнение можно записать в виде В этом случае говорят, что линия γ распадается на пару пересекающихся прямых: Аналогично линия х2 – а2 = 0, где а , распадается на пару параллельных прямых х – а =0 и х + а = 0. Мнимые точки плоскости. Если на плоскости заданна аффинная система координат, то любая точка М плоскости имеет координаты (х, у), которые являются действительными числами. Обратно, любые два действительных числа, взятые в определенном порядке, являются координатами некоторой точки плоскости. Таким образом, при заданной системе координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и элементами из множества R2 . Точка называется действительной (вещественной), если х и у – действительные числа, и мнимой, если хотя бы одно из них не является действительным числом Например, среди точек А(2, -5), В(3i, 5), С (0, 3+ ), D(- , 4) мнимыми являются точки B и C. . Общее уравнение линии второго порядка имеет вид: Коэффициенты a11, a12, a22 не равны одновременно нулю. a11x2+2a12xy+a22y2+2a10x+2a20y+a00=0 Направление, определяемое ненулевым вектором , называется асимптотическим направлением относительно линии γ, если прямая, параллельная вектору, либо имеет с линией не более одной общей точки, либо содержится в линии γ Точка С называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Линия, имеющая ровно один центр, называется центральной . Линия, имеющая бесконечно много центров, либо не имеющая ни одного центра, называется нецентральной. Отрезок прямой, соединяющий две точки линии γ, называется хордой. Множество d середин всех хорд неасимптотического направления есть прямая, называемая диаметром, сопряженным этим хордам. Диаметр линии второго порядка называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам.
Классификация линий второго порядка. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек a11x2+2a12xy+a22y2+2a10x+2a20y+a00=0 а12 ≠ 0 Пример х2 + 5у2 + 8ху - + - 8 = 0 Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек аˊ₁₀ , аˊ₂₀, аˊ₁₀ = - 1, аˊ₂₀ = 0 хˊ2 + 9уˊ2 - 2хˊ - 8 = 0 Оˊ(1, 0). хˊ = Х + 1, уˊ = Y, Х2 + 9Y2 - 9 = 0 Заключение В данной работе были рассмотрены основные положения, связанные с теорией кривых второго порядка.
второго порядка; Показано, что приведение кривых к каноническому виду значительно упрощает построение графиков. Полученные результаты могут быть применены для конкретных задач построения подобных кривых. |