Кто придумал и изучил арбелос? Многие известные исследователи занимались этой темой, в том числе Архимед, который совершил много прекрасных открытий за свою долгую жизнь, а будучи уже зрелым ученым, в 50 лет, он увлекся геометрией и не расставался с ней до конца своих дней. Цель - Используя исторический подход познакомиться с геометрической фигурой арбелосом и рассмотреть её свойства.
Задачи Арбелос - В своих занятиях геометрией Архимед много внимания уделял изучению свойств фигуры, носящей название арбелос, или скорняжный нож. Это название фигура получила из– за сходства с очертаниями ножа, использовавшегося скорняками для разделки кожи.
Если взять на прямой три последовательные точки A, B и C и построить три полуокружности с диаметрами AB, BC, AC, расположенные по одну сторону от прямой, то фигура, ограниченная этими полуокружностями, и является арбелосом.
Лемма - Даны две касающиеся окружности ω и ω1 и прямая CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую. Пусть B — точка касания окружностей, A — точка касания прямой и окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD.
Доказательство - Доказательство. Пусть O и O1 — центры окружностей ω и ω1 соответственно; тогда треугольники OEB и O1AB — равнобедренные и у них общий угол при основании O1BA. Следовательно, OEB = O1AB OE || O1A. O1ACD OECD E — середина дуги CD. Заметим, что в случае внешнего касания окружностей лемма тоже верна, а доказательство аналогично.
Задача - Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K — точка касания α и s1. Применим лемму к нашей конструкции; тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK проходит через точку A. Далее, P — вторая точка пересечения NK и s, R — точка пересечения CD и BP. N — точка пересечения высот в треугольнике ARB, так как APB = RCB = 90°, следовательно прямая RA проходит через точку M.
Задача - Окружность радиуса r касается изнутри окружности радиусом R. Найдите радиус третьей, которая касается обеих данных и прямой, проходящей через их центры.
Решение:
O2H2 = (R – x)2 – x2 = R2 – 2RX = R(R – 2x)
O1H2 = (r + x)2 – x2 = r2 + 2rx
О1О2 = R – r = HO2 + HO1
x (r – R) + Rr = *
x2(r – R)2 + R2r2 + 2xRr (r – R) =
(r2 + 2rx) (R2 – 2Rx)x2(r2 – 2rR + R2) +
R2r2 + 2xr2R –
2xrR2 = x2r2 – 2rRx2 + x2R2 + 4rRx2 =
4xR2r – 4xRr2
x2( r + R)2 = 4xRr (R – r)
x = |
Скачать 2.65 Mb.