Курс лекций по электротехнике Барнаул, 2000
 Скачать 1.86 Mb.
|
|
Цепи с параллельным соединением. При параллельном соединении электроприемников (рис. 1.8) все они находятся под одинаковым напряжением U.  Обозначим сопротивления отдельных электроприемников через r1, r2, r3, их проводимости - соответственно через g1, g2, g3, а токи— через I1, I2, I3. Общий ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов, потребляемых отдельными электроприемниками:  Эквивалентная проводимость разветвленной цепи равна сумме проводимостей отдельных ее ветвей:  В частном случае, когда цепь содержит два параллельно включенных сопротивления r1 и r2, эквивалентное сопротивление rэ, удобно определять по формуле, вытекающей из выражения (1.19):  Умножив уравнения (1.17) на U, получим  Из изложенного следует что мощность, расходуемая в разветвленной цепи, равна сумме мощностей, потребляемых отдельными приемниками или одним эквивалентным приемником. Проводимость эквивалентного приемника равна сумме проводнмостей всех параллельно включенных электроприемников. Токи в этих приемниках так же, как и мощности, распределяются всегда пропорционально проводимостям. При включении нескольких генераторов для совместной параллельной работы (рис. 1.9) они соединяются между собой одноименными зажимами, а к общим узловым точкам присоединяется внешняя цепь (нагрузка).  При этом э.д.с. всех генераторов будут иметь одинаковое направление относительно их общей нагрузки. Расчет смешанной цепи с одной э.д.с. Основная задача расчета электрических цепей — определить токи и мощности в различных элементах цепи (генераторах, электроприемниках и линиях, соединяющих источники энергии с потребителями), а также напряжения на отдельных элементах исследуемой цепи. Исходными данными для расчета обычно являются заданные Э.Д.С., действующие в этой цепи, и характеристики (параметры) различных элементов цепи, т. е. либо их сопротивления, либо номинальные напряжения и мощности. При условии постоянства (по величине и направлению) действующих в цепи э.д.с. и неизменности сопротивлений, образующих эту цепь, картина распределения напряжений, токов и мощностей в данной схеме может быть только одна, т. е. задача имеет однозначное решение. Если электрическая цепь представляет собой сочетание последовательно и параллельно включенных сопротивлений (смешанная схема соединений) и при этом имеет один источник питания (одну э.д.с), то она рассчитывается в следующем порядке: 1) путем последовательного упрощения схемы находят общее сопротивление цепи; 2) по закону Ома определяют общий ток; 3) находят распределение токов и напряжений в схеме. Методику расчета подобных цепей поясним на числовом примере. Пример 1.1. Рассмотрим цепь, изображенную на рис 1.10. Исходные данные: U = 240 В, r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, r3 = 60 Ом, r4 = 9 Ом, r5 = 30 Ом, r6 = 4 Ом, r7 = 2 Ом. Найти распределение токов в схеме. Решение. Определяем эквивалентное сопротивление между точками А В:  Складывая последовательно соединенные сопротивления rABи r4,получаем сопротивление  Сопротивление r' в свою очередь оказывается соединенным параллельно сопротивлением r5:  Общее сопротивление цепи  Общий ток  Напряжение между точками С и D  Токи в сопротивлениях r' и r5:  Напряжение между точками А и В  Токи в сопротивлениях r1, r2 и r3.  Во избежание встречающихся ошибочных представлений необходимо обратить внимание на следующее. В электрической цепи всегда устанавливается ток I такой величины, при которой приложенное к этой цепи напряжение Uполностью уравновешивает (компенсирует) потери напряжения во всех последовательно включенных элементах цепи. Изменение величины сопротивления любого участка электрической схемы неизбежно влечет за собой изменение как общего тока, так и токов, протекающих в отдельных элементах этой схемы. Так, например, изменение величины или отключение сопротивления r3в схеме рис, 1.10 вызывает изменение величин всех токов. Метод контурных токов. При расчете сложных цепей с большим числом узловых точек предпочтителен метод контурных токов, который позволяет освободиться от составления уравнений по первому закону Кирхгофа и тем самым значительно сократить общее число совместно решаемых уравнений. Сущность этого метода поясним на рис. 1.13, на котором представлена сложная цепь с узловыми точками А, В, С, D. Заданную схему разбиваем на три смежных контура /, //, /// с произвольно выбранными направлениями токов. Если считать, что в каждом из этих контуров протекает свой контурный ток (I/, I//, I///), то в ветвях, являющихся общими для двух смежных контуров, протекающие токи равны алгебраической сумме двух контурных токов (в ветви АВ протечет ток 12 = I// - I/, в ветви ВС - ток 15= I/ - 1///и в ветви DB - ток I4= I//-I///. Применяя к отдельным контурам второй закон Кирхгофа, получим систему с числом уравнений, равным числу контурных токов :  Эти уравнения можно представить в виде, более удобном для их совместного решения:  Определив контурные токи I/, I//, I///, нетрудно найти токи в смежных ветвях АН, ВС и ОН. 1.4. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Сложными называются разветвленные электрические цепи с несколькими источниками питания. Универсальным методом анализа и расчета сложных цепей является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа соответственно для узловых точек и замкнутых контуров. Однако при значительном числе ветвей и узловых точек использование этого метода усложняется необходимостью совместного решения большого числа уравнений. В этих и некоторых других случаях может оказаться целесообразным применение иных методов расчета, основанных на тех же законах Кирхгофа. В зависимости от конфигурации расчетной схемы и поставленной задачи следует применять тот метод расчета, который в данном случае является наиболее эффективным. Непосредственное применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей. Все э.д.с, токи и сопротивления любой цепи связаны между собой уравнениями, выражающими законы Кирхгофа. Эти уравнения могут быть записаны, если известны не только величины э.д.с. и токов, но и их направления. Если известными являются величины э.д.с. и их направления, а так же величины сопротивлений сложной цепи, то, применяя законы Кирхгофа, можно составить столько независимых уравнений, сколько различных неизвестных токов имеется в этой цепи. Однако для составления этих уравнений необходимо предварительно задаться произвольными направлениями неизвестных токов, которые принято считать положительными. Если в результате решения составленной системы уравнений найденная величина тока имеет знак «плюс», то это означает, что его направление совпадает с ранее выбранным положительным направлением. В противном случае фактическое направление тока противоположно выбранному положительному направлению. Для получения требуемого числа независимых уравнений следует применить первый закон Кирхгофа ко всем узловым точкам, кроме одной, т. е. составить (n—1) уравнений, если число узлов равно n. Недостающие уравнения должны быть составлены по второму закону Кирхгофа так, чтобы каждое следующее уравнение не могло быть получено из предыдущих. Расчет сложной цепи при помощи уравнений Кирхгофа проводят в следующей последовательности:  1) пo возможности упрощают расчетную схему (заменив, например, несколько параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением); 2) наносят на схеме известные направления э.д.с; 3) задаются произвольными положительными направлениями токов; 4) составляют уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узловых точек схемы, кроме одной; 5) составляют недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа, обходя замкнутые контуры по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом э.д.с. и токи, совпадающие с направлением обхода, принимаются положительными, а э.д.с. с. и токи, противоположные (т. е. встречные) этому направлению, — отрицательными; 6) решают составленную систему уравнений и определяют неизвестные токи. Если некоторые значения токов получаются со знаком «минус», то это означает, что они имеют направления, обратные тем, которые были условно приняты для этих токов в начале расчета. Необходимо отметить следующее: если в результате расчета сложной цепи фактическое направление тока в энергопреобразующем устройстве (электрической машине или аккумуляторе) совпадает с направлением его э.д.с, то это свидетельствует о том, что рассматриваемое устройство работает в качестве источника электроэнергии, а не электроприемника. Если направление тока обратно направлению э.д.с, то это означает, что устройство является электроприемником. Для пояснения сказанного на рис. 1.11 приведена схема разряда (а) и заряда {6) аккумулятора. В схеме (а) аккумулятор работает как генератор, в схеме (б) он является потребителем электрической энергии. В отдельных случаях могут быть заданы лишь некоторые значений э.д.с, токов и сопротивлений. Общее число неизвестных величин должно соответствовать возможному числу независимых уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы. В таких случаях приходится в начале расчета задаваться положительными направлениями не только неизвестных токов, но и неизвестных э.д.с. (или напряжений). Фактические направления этих э.д.с, напряжений и токов находятся в зависимости от полученного знака ( + или —) у каждой из величин, найденных в результате решения составленной системы уравнений. Пример 1.2. Найти токораспределенне в схеме, изображенной на рис. 1.12,а. Исходные данные: E1=72 в, Е2= 48 в, r1=3 ом, r2=4 ом, r3 = 6 Ом, r4= 10 ом, r5= 15 ом.  Решение. Предварительно упрощаем схему и находим эквивалентное сопротивление, заменяющее сопротивления: r3, r4, r5:  На упрощенной схеме (рис. 12. б) наносим заданные положительные направления э.д.с, Е1, и Е2 и произвольно намечаем направления неизвестных токов I1, I2, и I3. Применяя к этой схеме законы Кирхгофа, составляем три уравнения:  Решая эту систему уравнений, находим:  Полученный отрицательный знак у величины тока 12означает, что в действительности этот ток направлен в противоположную сторону. Ток 13распределяется между параллельными ветвями r4и r5; обратно пропорционально этим сопротивлениям. Пример 1.3. Найти токораспределение в схеме, изображенной на рис. 1.13. Исходные данные: Е1, = 10 В, Е2 = 10 В, Е3= 110 В, E4 = 120 В, r1 = 5 Ом, r2 = 3 Ом, r3=8 Ом, r4 = 4 Ом, r5 = 3 Ом, r6= 4 Ом, r7=5 Ом, r8 = 6 Ом.  Решение. Подставив в уравнения (1.23) известные значения э.д.с. и сопротивлений цепи и решая совместно эти уравнения, находим  Значения действительных токов в рассматриваемой цепи:  Метод узлового напряжения. Рассматриваемый метод расчета целесообразно применять к схеме (рис. 1.14), имеющей несколько параллельных ветвей, сходящихся в двух узловых точках, а также к, электрическим цепям, которые в результате несложных преображений могут быть приведены к схеме с двумя узлами.  Примем направления токов во всех ветвях одинаковыми — от узла В к узлу А. Напряжение UABмежду точками А и В назовем узловым напряжением. Применим к ветви с э.д.с. E1 второй закон Кирхгофа:  откуда  Аналогичным путем получим:  По первому закону Кирхгофа  или  Произведение Ekgkдля k-й ветви следует брать со знаком минус, если направление э.д.с. Ek противоположно принятому направлению тока (например, для второй ветви, рис. 1.14). Определив узловое напряжение UABпо формуле (1.24), нетрудно найти значения токов в отдельных ветвях схемы по формулам (а) -(д). Пример 1.4. Найти токораспределенис в схеме, представленной на рис. 1.14, Исходные данные: E1 =60 В, Е2= 50 В, Е4 - 100 В, r1=5 Ом, г2 = 25 Ом, r3 = 50 Ом, r4 = 10 Ом, r5 = 25 Ом. Решение. Узловое напряжение  Проверка:  2.1. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 1. Переменными э.д.с., напряжениями и токами называют э.д.с, напряжения и токи, периодически изменяющиеся во времени. Для мгновенного значения периодической величины, например, э.д.с, можно записать:  где Т- период или время полного цикла изменения э.д.с, к - целое число. Мгновенные значения электрических величин в цепях переменного тока обозначают строчными буквами. 2. Среди периодических э.д.с. и токов наибольшее распространение получили синусоидальные э.д.с. и токи. Мгновенное значение синусоидальной величины, например, тока, записывается так:  где Im - амплитудное значение тока, ω- угловая частота, f- частота изменения тока, связанная с периодом соотношением:  3. Синусоидально изменяющаяся величина характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и начальной фазой. Фазой называется аргумент синуса, фаза определяет состояние синусоидально изменяющейся величины в данный момент времени. Величину аргумента синуса при t=0 называют начальной фазой. На графиках начальную фазу отсчитывают от ближайшего к точке с координатой t = 0 перехода синусоидальной функции через ось абсцисс от отрицательных значений к положительным. При таком порядке отсчета положительная начальная фаза направлена в положительную сторону оси абсцисс, а отрицательная - в обратную сторону (рис.2.1 б и 2.1 а). Обозначается начальная фаза буквой "кси" Для синусоидального тока, изображенного на рисунке 2.2 при различных значениях начальной фазы, можно написать следующие выражения мгновенных значений:  4. Если на одном графике изображаются для совместного рассмотрения две синусоидальные функции, то разность их начальных фаз называют углом сдвига фаз или просто сдвигом фаз (φ). При сопоставлении напряжений и токов чаще всего определяют сдвиг фаз, вычитая из начальной фазы напряжения начальную фазу тока:  Определение сдвига фаз поясняется рисунком 2 .  5. Для оценки величин синусоидально изменяющихся тонов, э.д.с. и напряжений нельзя применять их средние значения, так как среднее за период значение любой синусоидальной величины равно нулю. В качестве оценки этих величин вводится так называемое действующее значение тока, э.д.с. или напряжения, например:  Можно показать, что если переменная величина, в данном случае ток изменяется по синусоидальному закону, то  то есть действующее значение тока равно максимальному, деленному на корень из двух. Главное преимущество действующего значения синусоидально изменяющейся величины в том, что оно не зависит от времени, следовательно, его удобно изображать на графиках, с его помощью легко проводить всевозможные расчеты. Большинство электроизмерительных приборов сконструировано так, что они фиксируют именно действующие значения синусоидальных токов и напряжений. 6. Синусоидальные токи, э.д.с. и напряжения можно изображать векторами. Это значительно проще, чем изображение с помощью синусоид. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся с одинаковой частотой токи, напряжения и э.д.с. и представленных в определенном порядке, называют векторной диаграммой. Ток и напряжение, представленные на рисунках 2.1, 2.2 в виде синусоид, изображены на рисунке 2.3 с помощью векторов.  При построении векторных диаграмм положительные углы отсчитываются по направлению против часовой стрелки. 7. Индуктивные катушки и конденсаторы оказывают сопротивление протекающим по ним переменным токам. В этих сопротивлениях не происходит превращения электрической энергии в тепловую. Поэтому в отличие от активных сопротивлений их называют реактивными. Реактивное сопротивление индуктивной катушки называется индуктивным сопротивлением, обозначается XL, и вычисляется по формуле:  где L- индуктивность катушки, Г(генри). Реактивное сопротивление конденсатора называется емкостным сопротивлением, обозначается Хси вычисляется по формуле:  где С - емкость конденсатора в фарадах. 8. Известно, что в активном сопротивлении напряжение совпадает с током по фазе. Если ток, текущий по сопротивлению на рисунке 2.4а задан выражением  то напряжение на этом сопротивлении изменяется по закону:   Синусоиды тока и напряжения, а также их векторная диаграмма представлена на рис.2.4 б, в. В катушке индуктивности напряжение опережает ток по фазе на угол 90°. Если ток катушки задан выражением:  то напряжение на катушке изменяется по закону:  Схема цепи, синусоиды тока и напряжения, также их векторная диаграмма приведены на рисунке 2.5.  В конденсаторе напряжение отстает от тока по фазе на угол 90° Если ток, протекающий через конденсатор, задан выражением:  то напряжение на конденсаторе изменяется по закону:  Схема цепи, синусоиды тока и напряжения, а также их векторная диаграмма приведены на рисунке 2.6.  9. Так как в цепях переменного тока с активными и реактивными элементами токи и напряжения сдвинуты друг относительно друга по фазе, то активные и реактивные сопротивления и проводимости можно складывать только квадратично. При последовательном соединении элементов (рисунок 2.7а) полное сопротивление цепи определяется по формуле:  при параллельном соединении элементов (рисунок 2.7 б) полная проводимость цени определяется по формуле:  где g, b- соответственно активная и реактивная проводимость цепи.  10. Пусть необходимо построить векторные диаграммы токов и напряжений для схем, представленных на рисунке 2.7. На схеме рис. 2.7а все сопротивления соединены последовательно, поэтому за основу для построения векторной диаграммы можно принять ток, являющийся общим элементом для сопротивлений. В произвольном направлении в определенном масштабе откладывают вектор тока I (рисунок 2.8а). Известно, что вектор напряжения на активном сопротивлении совпадает с током по фазе, поэтому откладывают в выбранном масштабе вектор Urсовпадающим по направлению с током.  Так как индуктивное напряжение опережает ток по фазе на угол 90°, то из конца вектора Ur, откладывают вектор ULвыбранном масштабе и повернутым относительно тока на угол π/2 против часовой стрелки. Так как емкостное напряжение Ucотстает по фазе от тока на угол 90°, то из конца вектора ULоткладывают вектор Uc. В выбранном масштабе и повернутым относительно тока на угол π/2 по часовой стрелке. Так как напряжение на входе схемы Uсогласно второго закона Кирхгофа не может быть ничем иным, как суммой падений напряжении в цепи, то  Поэтому вектор, соединяющий начало Urи конец, Ucесть вектор сетевого напряжения U. Векторная диаграмма для цепи по рисунку 2.8 б строится точно так же, но так как все элементы схемы соединены параллельно, то начинают построение с единого для всех сопротивлений элемента -напряжения U. Угол сдвига по фазе φ(фи) между током и напряжением находят из треугольника сопротивлений или треугольника проводимостей.  Например, для схемы на рисунке 2.7 тангенс угла сдвига по фазе между сетевым напряжением и током равен:  11. Пример. Дана схема, изображенная на рисунке 2.9. Напряжение на зажимах цепи изменяется по закону:  Определить: показание амперметра, закон изменения тока в цепи, построить векторную диаграмму. 11.1. Определяют реактивные сопротивления. Индуктивное сопротивление:  Емкостное сопротивление:  11.2. Так как все элементы цепи на рисунке 2.9 соединены последовательно, то по ним протекает один и тот же ток. Определяют его по закону Ома как частное от деления напряжения на зажимах цепи на полное сопротивление цепи. 11.2.1. Амперметр показывает действующее значение тока, поэтому необходимо воспользоваться действующим значением приложенного напряжения:  11.2.2. Полное сопротивление цепи определяют исходя из следующих соображений. Напряжения на активных сопротивлениях цепи совпадает по фазе, следовательно, активное напряжение цепи  откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают  Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе противоположны по фазе, следовательно, реактивное напряжение цепи  откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают  Известно, что активное и реактивное сопротивление цепи с последовательным соединением параметров складываются квадратично, следовательно, полное сопротивление электрической цепи находят по выражению:  11.2.3. Показание амперметра:  11.3. Прежде, чем написать закон изменения тока в цепи, можно построить векторную диаграмму, из которой можно определить, опережает или отстает ток по фазе от приложенного напряжения. На векторной диаграмме должны быть представлены в векторной форме все токи и напряжения, реально существующие в цепи. Из рисунка 2.9 видно, что по всем элементам цепи протекает один и тот же ток. На всех сопротивлениях он вызывает падения напряжений, сумма которых равна сетевому напряжению (согласно второму закону Кирхгофа). Как правило, векторная диаграмма отроится для действующих значений токов и напряжений. Ток рассчитан в п. 11.2.3. Определим величины падений напряжений на сопротивлениях:  Выбирают масштабы для тока и напряжения. Пусть, например, в 1 см. содержится 0,1 А, и в 1 см, - 2 В. Построение векторной диаграммы для цепи с последовательным соединением элементов удобнее начать с вектора тока. От произвольной точки плоскости в произвольном направлении откладывают вектор тока I (рисунок 2.10) Напряжение на активном сопротивлении r1 совпадает по фазе с током, поэтому вектор Urсовпадает по направлению с вектором тока I. Напряжение на катушке UL, опережает ток по фазе на 90° . Из конца вектора Urlоткладывают вектор Ulпод углом 90°, причем, угол отсчитывают от вектора тока против часовой стрелки. Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол девяносто градусов. Поэтому от конца вектора UL. откладывают вектор Ucпод углом 90° по отношению к вектору тока, причем, угол отсчитывается по часовой стрелке.  Напряжение на сопротивлении r2совпадает с током по фазе. Поэтому от конца вектора ULоткладывают вектор UI, параллельно вектору тока. Направления векторов Ur2и /должны совпадать. Так как по второму закону Кирхгофа можно записать:  то, соединяя начало вектора Ur1 с концом вектора Ur2, получают вектор сетевого напряжения U. Из рисунка 2.10 видно, что вектор сетевого напряжения отстает по фазе от вектора тока, следовательно, полное сопротивление цепи носит активно-емкостный характер. 11.4. Известно, что в линейных электрические цепях ток изменяется по синусоидальному закону, если по этому же закону изменяется питающее напряжение. По условию  Вектор тока опережает вектор сетевого напряжения на угол fi, следовательно, закон изменения тока в цепи по рисунку 2.10 можно написать так:  Определим численное значение угла fi:  «Минус» свидетельствует о том, что вектор напряжения является отстающим по фазе. Это равнозначно утверждению: вектор тока является опережающим по фазе. Поэтому в формулу закона изменения тока величина угла войдет со знаком «плюс».  2.2. АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ При выборе трансформаторов, сечения кабелей, выключающей аппаратуры и т. п. необходимо знать, на какой ток они должны быть рассчитаны. Для этого недостаточно, если известны только напряжение и активная мощность Р, следует еще определить cosφнагрузки. При наличии нескольких приемников энергии с различным cos φ эти расчеты существенно усложняются. Для облегчения подобных расчетов введены две вспомогательные величины: полная S = UIи реактивная Q = UIsinφ = UIмощности. Соотношения между ними и активной мощностью наглядно показывает треугольник мощностей. Чтобы построить его, можно взять треугольник напряжений и все стороны его умножить на ток I (рис. 2.11). Полученный таким путем треугольник мощностей будет подобен треугольнику напряжений. Его гипотенуза будет изображать полную мощность S, а катеты — активную Р и реактивную Q мощности. Соотношения между ними  Па щитках генераторов и трансформаторов указывается пол мощность. Изоляция генераторов и трансформаторов рассчитывается определенное номинальное напряжение, а сечение проводов обмоток — определенный номинальный ток. Тем самым отдельно ограничивай напряжение и ток, причем эти ограничения не зависят от сдвига фаз fiмежду напряжением и током. Таким образом, произведение действующих значений напряжения и тока определяет полную номинальную мощность Sн генератора, трансформатора и других устройств переменного тока. Как показано выше, активная мощность Р = SHcosφ. Следовательно, значение допустимой активной мощности при неизменной полной мощности уменьшается с уменьшением cosφ.  Рис.2.11 Построение треугольника мощностей: а- треугольник напряжений, б - треугольник мощностей Единицей полной мощности служит вольт-ампер (ВА) и киловольт-ампер (кВА). Это изменение наименования упрощает указания мощности в каталогах, расчетах и т. п.: достаточно написать, например, 500 кВА, чтобы тем самым показать, что рассматривается полная, а не активная мощность. Понятие реактивной мощности Qиспользуется для расчета полной мощности установки, например, при определении мощности трансформатора, необходимого для промышленного предприятия. Различные приемники электроэнергии потребляют как активную, так и реактивную мощности. Полная мощность, на которую должен быть установлен трансформатор, определяется на основании суммы активных мощностей всех приемников ΣР и суммы их реактивных мощностей ΣQпо формуле:  Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр) и киловольт-амперах реактивных (кВАр). Условно принято считать реактивную емкостную мощность отрицательной, в соответствии с чем конденсаторы нужно считать генераторами реактивной мощности Qc, а индуктивные приемники Qi— ее потребителями. При наличии среди приемников конденсаторов и индуктивных катушек общая полная мощность установки  Посредством емкостной реактивной мощности, компенсирующей индуктивную мощность электродвигателей, повышается cos φ промышленных предприятий. |