Курс лекций по гидравлике. Курс лекций по гидравлике и гидромашинам 2011 Для бакалавров направления Технологическое образование
 Скачать 3.26 Mb.
|
|
1.5. Сила давления жидкости на стенку. Закон Архимеда. Сила давления жидкости на плоскую стенку Рассмотрим плоскую стенку, погруженную в жидкость под некоторым углом к свободной поверхности (рис.6). z M(x,z) g z 0 p 0 x 0 13 Рис.6. К задаче о силе давления на плоскую стенку Определим главный вектор сил давления на эту стенку и место его приложения, используя основное уравнение гидростатики. Ось x направим перпендикулярно линии, совпадающей с плоскостью стенки, а ось y направим вдоль плоскости стенки. Элементарная сила давления dF приложенная к бесконечно малой площадке dS определится как где - давление на свободной поверхности, - глубина расположения площадки dS относительно свободной поверхности. Равнодействующая сил давления равна по величине и противоположна по знаку реакции стенки от сил давления. Для ее отыскания проинтегрируем предыдущее выражение по всей площади S: Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно ости Ox и равен произведению площадки на координату ее центра тяжести C, то есть Следовательно, Здесь - глубина расположения центра тяжести площадки S относительно свободной поверхности. Последнюю формулу можно представить иначе O D h c x y y c y D F C p 0 h D 14 То есть, полная сила давления жидкости на плоскую стенку рана произведению площадки стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площадки. Центр давления (точка приложения силы F) найдем из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси Ox: Откуда Где - момент инерции площади S относительно оси Ox. Учитывая, что ( - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ox), находим Таким образом, точка приложения силы F расположена ниже центра тяжести на величину Сила давления на криволинейную поверхность Сила давления на криволинейную поверхность находится аналогично тому, как это было сделано для плоской поверхности. Плавание тел Плавание - это способность находиться во взвешенном состоянии в жидкой среде. Для нахождения условий равновесия проинтегрируем уравнения Эйлера по замкнутому объему. В результате получим главный вектор сил давления на погруженное в жидкость тело: То есть главный вектор сил давления численно равен весу жидкости в объеме, равном погруженному в нее телу и направлен вертикально вверх. Эту силу называют выталкивающей или архимедовой, а закон – законом Архимеда: 15 «На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненное телом, и приложенная в центр тяжести объема погруженной части тела». В зависимости от соотношения веса тела и выталкивающей силы возможно три случая: 1. - тело во взвешенном состоянии полностью погружено в жидкость. 2. - тело всплывает и частично погружено в жидкость. 3. - тело тонет. 1.6. Приборы для измерения параметров жидкости. 1.6.1. Приборы для измерения плотности жидкости Ареометр Плотномер ПЛОТ-3М предназначен для автоматического измерения плотности жидкостей и преобразования измеренных значений в аналоговый или цифровой сигнал. ПЛОТ-3М обеспечивает также измерение вязкости и температуры жидкостей. Плотнометр Плотномеры устанавливаются на трубопроводах в составе систем учета массы и определения качества жидкостей на объектах нефтеперерабатывающей, пищевой и химической промышленности. Плотномеры ПЛОТ-3М используются для измерения плотности следующих жидкостей: • товарная нефть 16 • светлые нефтепродукты • темные нефтепродукты • спирты • сжиженный углеводородный газ • растворители Наиболее эффективный способ определения плотности - с помощью электронных плотномеров, работа которых основана на измерении периода собственных колебаний полой U-образной трубки, заполненной исследуемой жидкостью. Компактность измерительной ячейки позволяет таким приборам иметь встроенный термостат на термоэлектрических элементах. Измерение плотности при помощи вибрационных плотномеров позволяет получать точные результаты при минимальной трудоемкости и незначительных временных затратах. В приборе осуществляется автоматическое преобразование полученных результатов в концентрацию, удельный вес и другие, связанные с плотностью показатели. Вибрационный измеритель плотности жидкости ВИП-2М 17 1.6.2. Приборы для измерения давления. Пьезометр . Служит для измерения пьезометрического напора. Представляет собой трубку, залитую определенной жидкостью с удельным весом . С одной стороны трубка сообщается с атмосферой, а другим концом соединяется с точкой замера давления (пьезометрического напора) (рис.7). Рис.7. Пьезометр Избыточное давление в точке М определяется по высоте столба жидкости и удельному весу жидкости в пьезометре или Жидкостные дифференциальные манометры и вакуметры Первые, как и пьезометры, измеряют избыточное давление, а вторые давление ниже атмосферного. На рис. 8 изображен дифференциальный жидкостный манометр. Рис.8. Жидкостный U-образный манометр и вакуметр Для измерения малых давлений используют чашечные наклонные микроманометры. Большие давления Р > 1 ата измеряют механическими манометрами (рис.9). М h п p 0 h р 1 Р в 18 Рис.9. Механический манометр 1.6.3. Приборы для измерения вязкозти жидкости (вискозиметры) Вискозиметр Гепплера Капиллярные вискозиметры Ротационный вискозиметр 19 Лекция 2. Гидродинамика. Основные понятия и определения Дифференциальные уравнения гидродинамики. Интеграл Бернулли План лекции: 1. Основные понятия гидродинамики 2. Дифференциальные уравнения гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение движения Эйлера. 3. Интеграл уравнений Эйлера (интеграл Бернулли). Теорема Бернулли. 4. Понятие о гидравлических потерях. Уравнение Бернулли с учетом гидравлических потерь. Примеры применения уравнения Бернулли. 2.5. Основные понятия гидродинамики Термин «гидродинамика» впервые ввел Даниил Бернулли в трактате «Гидродинамика» в 1783 году. Гидродинамика изучает закономерности движения жидкостей. Существует два подхода в описании движения жидкости: а) подход Лагранжа, б) подход Эйлера. В подходе Лагранжа описывается движение отдельных частиц жидкости в каждый момент времени. В подходе Эйлера, напротив, определяется не траектория каждой отдельной частицы, а поле скоростей всей массы жидкости. Таким образом, у Лагранжа декартовы координаты x(t),y(t),z(t) – это искомые функции, а время t – независимая переменная, а у Эйлера зависимые переменные - вектор скорости и давление, а декартовы координаты и время x,y,z,t – независимые переменные. В подавляющем большинстве задач используют подход Эйлера. Результатом решения по Эйлеру будут поля скорости и давления. Подход Лагранжа применяют для таких специфических задач как фильтрация, движение наносных грунтов. В гидравлике имеют дело только с полями скоростей и давлений, которые могут быть стационарными и нестационарными. Поле скоростей будет стационарным, если время t не входит в качестве аргумента. Течение, не зависящее от времени, называют установившимся. Напротив, если поле скоростей зависит от времени, то оно называется нестационарным, а течение – неустановившимся. Графически поле скоростей изображается с помощью линий тока – векторных линий, в каждой точке которых скорость направлена по касательной к линии и постоянна вдоль нее. Если же рассматривать совокупность линий тока, проведенных вокруг замкнутого контура, то они образуют поверхность, которая называется трубкой тока (рис.10). Если контур бесконечно мал, то трубка тока называется элементарной трубкой тока. 20 Рис. 10. Трубка тока 2.6. Дифференциальные уравнения гидродинамики. 2.6.1. Уравнение неразрывности Уравнение неразрывности выводится на основе фундаментального закона сохранения массы для элементарного объема сплошной среды. В соответствие с данным законом для любого индивидуального объема масса заключенной в нем жидкости остается постоянной, то есть, В случае, если плотность жидкости в элементарном объеме постоянна, то уравнение неразрывности примет вид или в векторной форме Уравнение неразрывности для элементарной трубки тока Выделим в потоке элементарную трубку тока переменного сечения, как показано на рис.11. Рис.11. Элементарная трубка тока Линия тока Поверхность тока I II I dS 1 u 1 II u 2 dx 2 dS 2 dx 1 21 В силу непроницаемости боковых стенок масса жидкости, поступившая через сечение I-I, равна массе жидкости, ушедшей через сечение II-II: Откуда Для трубки конечных размеров 2.6.2. Уравнение движения Эйлера. Уравнение движения выводится на основе 2-го закона Ньютона Для элементарного объема жидкой среды без учета сил трения в векторной форме уравнение движение имеет вид Это уравнение Эйлера для движущейся идеальной жидкости. Под идеальной жидкостью понимают жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение. Гидродинамическое уравнение Эйлера отличаются от аналогичного уравнения в гидростатике наличием в левой части субстанциональной производной вектора скорости. В декартовых координатах в компонентной форме это уравнение выглядят так: Если помимо сил давления учитывать и действие вязких сил, то уравнение движения принимает вид Последнее выражение называется уравнением Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. 2.7. Интеграл уравнения Эйлера (интеграл Бернулли). Для трубки тока идеальной жидкости при установившемся режиме течения уравнение Эйлера принимает вид 22 Пусть поле массовых сил потенциально, то есть существует такая функция П, градиент которой равен вектору массовых сил, то есть Например, в поле сил тяжести такая функция существует, и она выглядит следующим образом с точностью до аддитивной постоянной Тогда массовая сила через функцию П определится как Подставляя это выражение в уравнение Эйлера для трубки тока, получим или Интегрируя по l, получим Или, как принято в гидравлике вдоль трубки тока, Полученный интеграл носит название уравнения Бернулли. Константа интегрирования может быть найдена по известным значениям скорости и давления в каком-либо сечении трубки тока, например, во входном или выходном сечении. Все члены интеграла Бернулли имеют размерность длины и носят название скоростной высоты (напора), пьезометрической высоты (напора) и геометрической высоты, а сумма всех высот называется гидравлической высотой (напором). Теорема Бернулли При стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота (напор) равна сумме скоростной, пьезометрической и геометрической высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой трубки тока. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли Каждый член уравнения Бернулли является составляющей полной механической энергии. Так первый член этого уравнения можно интерпретировать как удельную кинетическую 23 энергию движущейся жидкости, отнесенную к единице массы. Второй член есть удельная потенциальная энергия давления. А третий член уравнения Бернулли z можно трактовать как удельную потенциальную энергию положения. Как видно, уравнение Бернулли по виду совпадает с основным уравнением гидростатики за исключением члена , что не удивительно, так как оба уравнения получены из 2-го закона механики Ньютона. Таким образом, уравнение Бернулли есть отражение закона сохранения механической энергии для движущейся идеальной жидкости применительно к трубке тока. 2.8. Понятие о гидравлических потерях. Уравнение Бернулли с учетом гидравлических потерь. Уравнение Бернулли показывает, что гидравлический напор вдоль трубки тока остается неизменным. Это условие справедливо, если не учитывать внутреннего трения, то есть вязкости жидкости. В действительности гидравлический напор постоянно убывает вдоль по потоку, поэтому необходимо к полному напору в сечении ниже по потоку добавить дополнительное слагаемое: Слагаемое , представляющее собой разность между гидравлическими напорами в сечениях I и II, называют гидравлическими потерями. Гидравлические потери есть следствие действия сил вязкости. Гидравлические потери зависят от многих факторов и прежде всего от геометрии каналов и характера течения жидкости. Различают местные гидравлические потери и потери напора по длине. В первом случае потери напора происходят на расстояниях порядка поперечных размеров потока. Во втором случае такие же потери происходят на длине, существенно большей поперечных размеров потока (рис.12). а) б) Рис.12. Гидравлические потери а) по длине, б) местные гидравлические потери Потери по длине имеют место только в каналах с постоянным поперечным сечением или меняющихся очень слабо. При резком изменении поперечных сечений в потоке 24 возникают, так называемые, отрывные циркуляционные зоны, которые являются причиной появления местных гидравлических потерь. С учетом гидравлических потерь уравнение Бернулли для трубки тока примет вид: Коэффициент учитывает неравномерность поля скорости в поперечном сечении. Применение уравнения Бернулли при решении задач 1. Определение скорости движения жидкости трубкой Пито (трубка полного напора) Трубка Пито служит для измерения скорости потока и устроена так, как показано на рисунке ниже Запишем уравнение Бернулли для трубки тока вдоль оси о-о от сечения I-I до сечения II-II. Тогда скорость найдется как 2. Давление на плоскую стенку Пусть на плоскую стенку натекает струя жидкости, как показано на рисунке. Запишем уравнение Бернулли для трубки тока вдоль оси для сечения 0 и 1. Откуда o o I II I II 0 1 25 То есть, повышение давления в критической точке равно скоростному напору. 3. Разрежение в карбюраторе Карбюратор – это техническое устройство для подготовки горючей смеси. Выполнен в виде сужающегося канала. Уравнение Бернулли для узкой части канала и выходного сечения имеет вид: Тогда разрежение, отнесенное к скоростному напору, найдется как Из уравнения неразрывности найдем соотношение между скоростями через отношение площадей узкого и широкого сечений: Тогда разряжение в виде разности высот дифференциального жидкостного манометра найдется как 4. Определить расход воды, если разность показаний пьезометров равна h. Дано: h = 200 мм, D = 150 мм, d=100 мм (см. рисунок) Решение Составим уравнение Бернулли для двух сечений 1 и 2. Показания пьезометров показывают разность геометрических и пьезометрических высот. Откуда получаем v 0 , p 0 v 1 , p 1 26 Расход вдоль трубы величина постоянная в силу условия неразрывности и определяется как где S – площадь поперечного сечения трубки. Тогда искомое расчетное выражение найдется как Лекция 3. Гидравлические потери. Истечение жидкости через насадки План лекции: 1.Гидравлические потери в трубах постоянного сечения. Уравнение Дарси-Вейсбаха, формула Пуазейля, закон сопротивления Блазиуса. 2. Местные гидравлические сопротивления: внезапное расширение трубопровода, сужение трубопровода, диафрагма с острыми кромками. 3. Истечение жидкости через малые отверстия и насадки. 3.1. Гидравлические потери в трубах постоянного сечения. Рассмотрим стабилизированное равномерное течение жидкости в трубе постоянного сечения. Под стабилизированным течением понимают течение, когда профили скорости в любом сечении совпадают. В этом случае ускорение отсутствует и Выделим участок в трубе диаметром d и длиной l и рассмотрим условие равномерного движения на этом участке (рис.13). Рис.13. Стабилизированное течение в трубе Их уравнения Бернулли для сечений 1 и 2 с учетом гидравлических потерь следует Так как помимо сил давления на выделенный объем действуют силы трения, то условие равномерного движения будет иметь вид: l d 1 2 1 2 27 Здесь – поверхностное трение (трение между жидкостью и стенкой). Из этого выражение получаем Для характеристики гидравлических потерь по длине вводят коэффициент гидравлического сопротивления, равный Подставляя это выражение в предыдущее, получим падение давления по длине за счет поверхностного трения Или падение полного напора по длине Последнее уравнение называется уравнением Дарси-Вейсбаха. Коэффициент сопротивления находится из эксперимента на основе теории подобия. В соответствии с теорией подобия для вязкой несжимаемой жидкости искомой переменной является коэффициент гидравлического сопротивления связанный с коэффициентом соотношением Экспериментально установлено, что коэффициент сопротивления зависит от числа Рейнольдса (Re), которое также выведено на основе теории подобия из уравнения движения. Таким образом, для решения задачи расчета падения напора по длине канала основное расчетное уравнение Дарси-Вейсбаха должно быть дополнено критериальным уравнением типа Режимы течения жидкостей. 28 Известно, что течение жидкости может иметь два режима: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме слои жидкости движутся, не перемешиваясь. Силы вязкости преобладают над силами инерции. Учитывая, что число Рейнольдса есть отношение сил инерции (числитель) к силам вязкости (знаменатель), оно должно определять характер течения. При достижении некоторого критического числа Рейнольдса (для труб варьируется между 2000 и 2300) течение становится хаотичным, с перемешиванием всей массы жидкости. В этом случае режим становится турбулентным. Силы инерции становятся существенно больше сил вязкости. С изменением режима течения меняется и гидравлическое сопротивление. Поэтому существует несколько критериальных уравнений для коэффициента гидравлического сопротивления. Так при ламинарном режиме течения критериальное уравнение имеет вид Если подставить это выражение в формулу Дарси-Вейсбаха, получим формулу Пуазейля из которой следует, что гидравлические потери пропорциональны средней скорости потока. Для турбулентного режима течения в круглых трубах зависимость от числа имеет следующий вид Это выражение носит название закона сопротивления Блазиуса. В этом случае то есть близко к квадрату скорости и поэтому говорят об области квадратичного закона сопротивления. Более сложные законы сопротивления позволяют учитывать наличие шероховатости поверхности, изогнутые участки и некруглость поперечного сечения. Соответствующие критериальные уравнения можно найти в гидравлических справочниках. 3.2. Местные гидравлические сопротивления Местные гидравлические сопротивления возникают в случае резкого изменения геометрии. Например, при резком расширении или сужении труб разного диаметра, наличии перегородок в виде шайб в трубопроводе, при истечении жидкости через насадки и т.д. Падение напора в этом случае определяется по формуле 29 где - коэффициент местного гидравлического сопротивления (определяется эмпирически). Рассмотрим несколько примеров местных гидравлических сопротивлений. 3.2.1. Внезапное расширение трубопровода. На рис.14 приведена схема течения с внезапным расширением трубопровода. Местное гидравлическое сопротивление возникает из-за отрыва потока и появления вихревых зон. Рис.14. Внезапное расширение трубопровода Это тот случай, когда можно определить гидравлической сопротивление на основе теоретических выкладок. Из закона сохранения импульса следует, что изменение импульса равно сумме приложенных сил. Это позволяет записать c учетом того, что , Или, поделив на площадь поперечного сечения и , получим Подставляя это выражение в уравнение Бернулли, заменив предварительно разность давлений на разность скоростей, окончательно получим Полученное выражение называется формулой Борда. Из формулы Борда можно получить выражение для коэффициента местного гидравлического сопротивления Откуда 3.2.2. Сужение трубопровода. p 2 p 1 30 При резком сужении поперечного сечения происходит отрыв потока, как перед сужением, так и после него. Потери напора могут быть вычислены по формуле аналогичной формуле Борда, то есть, где - площадь поперечного сечения перед сужением, - площадь поперечного течения за сужением с учетом сжатия потока. На рис.15 показаны различные типы сужений. Рис.15. Резкое сужение трубопровода Наименьшие потери имеют место в крайнем правом сужении (вариант III), благодаря плавному переходу широкой части в узкую. Отношение площади поперечного сечения за сужением и перед ним называют коэффициентом сжатия Для первого варианта сужения можно использовать следующую формулу для коэффициента сжатия. 3.2.3. Диафрагма с острыми кромками в трубе круглого сечения. Схема такого течения изображена на рис.16. Рис.16. Диафрагма в трубе круглого сечения В данном случае коэффициент сопротивления следует искать по справочнику в зависимости от соотношения проходных сечений труб и диафрагмы. Для данного типа геометрии коэффициент сопротивления слабо зависит от числа Рейнольдса, а I II III S 1 S 3 S 2 31 определяется только размерами поперечных сечений. Например, как показано в нижеследующей таблице, взятой из справочника (Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Госэнергоиздат, 1960). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2.9 2.8 2.67 2.53 2.4 2.25 0.2 2.27 2.17 2.05 1.94 1.82 1.69 3.3. Истечение жидкости через малые отверстия и насадки Основными параметрами, которые необходимо найти при решении задач на истечение, является скорость истечения и расход жидкости через отверстие. Рассмотрим процесс истечение жидкости из резервуара неограниченной емкости через малое отверстие, расположенное в тонкой стенке на глубине H 0 от свободной поверхности (рис.17). Отверстие считается малым, если , а стенка тонкой, если Рис.17. Истечение жидкости через малое отверстие Отверстие можно рассматривать как местное гидравлическое сопротивление. Запишем уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1: где - коэффициент гидравлического сопротивления отверстия. Обозначив перепад давлений через , получим где - коэффициент скорости. H 0 p 0 d 1 1 0 0 32 Для идеальной жидкости, в которой отсутствует внутреннее трение, . Тогда скорость истечения определяется известной формулой Торичелли: Таким образом, коэффициент скорости есть отношение скорости истечения вязкой жидкости к скорости истечения идеальной жидкости. Расход вычисляется по формуле где - коэффициент сжатия струи. Коэффициент сжатия учитывает кривизну линий тока из-за сужения струи в зоне отверстия. Произведение коэффициентов называют коэффициентом расхода. Все три коэффициента зависят как от формы кромок, так и от числа Рейнольдса . При числе . При малых числах Рейнольдса Истечение в затопленное пространство Если истечение происходит не в воздух, а в жидкость, то такое истечение называют истечением в затопленное пространство. На рис.18 показан пример подобного истечения. Рис.18. Истечение в затопленное пространство Запишем уравнение Бернулли для сечений 0 и 1, взяв за начало координат осевую линию, проходящую через отверстие: Если обе свободных поверхности открыты, то Гидравлическое сопротивление будет обуславливаться потерями в отверстии стенки из-за вихреобразования потока, то есть, местным сопротивлением . Разность геометрических высот при условии их постоянства соответственно равна Тогда скорость истечения определится как z 0 z 1 H 0 1 33 Соответственно расход найдется по формуле Истечение через насадки при постоянном напоре Насадком называют короткую цилиндрическую трубку, длина которого составляет 3-4 диаметра отверстия. Выделяют два режима течения: безотрывное (рис.19а) и отрывное (рис.19б). Рис.19. Истечение через насадки Если насадок меньше 3-х диаметров, то истечение можно считать как истечение через малое отверстие. При этом реализуется второй режим течения б). Для насадков большей длины истечение безотрывное (режим а). Отрывной пузырь локализуется возле передней кромки, а на выходе из насадка коэффициент сжатия становится равным единице. В этом случае коэффициент скорости становится равным коэффициенту расхода . Для больших чисел Рейнольдса При меньших числах Re можно пользоваться формулой Помимо цилиндрических насадков существуют и другие их формы: конический сходящийся, конический расходящийся, коноидальный. У последнего за счет гладкого профиля самый низкий коэффициент сопротивления Истечение жидкости при переменном напоре Рассмотрим опорожнение сосуда через донное отверстие. Истечение происходит при переменном напоре (рис.20). а б S h S 0 dh 34 Рис.20. Опорожнение сосуда через малое отверстие За малые промежутки времени течение можно считать установившимся и, следовательно, подчиняющемуся уравнению Бернулли. Тогда расход жидкости определится по формуле Количество жидкости, которое вытекло за время dt равно Откуда время опорожнения определится как Если , тогда Из формулы видно, что числитель – это объем сосуда, а в знаменателе – расход в начальный момент времени. Следовательно, время полного опорожнения в два раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре. 35 Лекция 4. Гидравлический расчет трубопроводов План лекции: 1. Расчет простого трубопровода. 2. Последовательное соединение трубопроводов. Напорно-расходная характеристика. 3. Параллельное соединение трубопроводов. Напорно-расходная характеристика при параллельном соединении. 4. Разветвленное соединение. Напорно-расходная характеристика. 5. Сложные сети, кольцевой трубопровод. 6. Трубопроводы с насосной подачей жидкости. Рабочая точка. 7. Неустановившееся течение жидкости. Гидравлический удар. 4.1. Простой трубопровод постоянного сечения. Напорно-расходная характеристика Если трубопровод не имеет ответвлений, то его называют простым. При расчете трубопроводов имеют место следующие задачи: 1. Заданы геометрические размеры трубопровода: длина l, диметр d и расход жидкости Q. Необходимо определить потребный напор. Потребным напором называют сумму пьезометрического напора у потребителя, потерь напора в трубопроводе и высоты, на которую поднимается жидкость. 2. Задан напор H, геометрические размеры l, d. Необходимо найти расход Q. 3. Заданы напор H, расход Q. Необходимо найти геометрические размеры трубопровода l, d. Рассмотрим простой трубопровод постоянного сечения, произвольно расположенный в пространстве, имеющий длину l, диаметр d и ряд местных сопротивлений (рис.21). Рис. 21. Простой трубопровод постоянного сечения Так как поперечное сечение трубопровода постоянно, то скорость в узле 1 и узле 2 равны между собой. Это позволяет записать уравнение Бернулли для узлов 1 и 2 в виде: Левая часть этого равенства представляет собой потребный напор, который необходимо определить, если заданы длина, диаметр трубопровода и потребный расход Q. Уравнение для потребного напора с учетом всех сопротивлений можно представить в виде: z 2 z 1 p 1 p 2 l, d 36 Порядок расчета I. Заданы: высота бугорков шероховатости труб, местные сопротивления. Найти потребный напор 1. По расходу и диаметру трубы находится средняя скорость течения . 2. Рассчитывается число Рейнольдса и определяется режим течения. 3. По формулам определяется гидравлическое сопротивление по длине и местные гидравлические сопротивления на каждом участке трубопровода. 4. Находятся суммарные гидравлические потери 5. Находится потребный напор II. Заданы: высота бугорков шероховатости труб, местные сопротивления. Найти расход . Задача решается методом последовательных приближений. 1. Задаются первым приближением для . 2. По и диметру трубопровода определяется скорость и число Рейнольдса. 3. Находится гидравлическое сопротивление трубопровода. 4. Вычисляется новое значение расхода 5. Сравнивается полученный результат с предыдущим. Если они различаются больше заданной точности, то расчет повторяется. III. Задано: потребный напор , расход , длина трубопровода. Найти диаметр трубы . 1. Задается ряд значений диаметра трубы из стандартного ряда труб. 2. По заданному расходу находят значение скорости и число Рейнольдса. 3. Определяют гидравлические потери и строят график зависимости потерь от диаметра 37 4. По заданным значениям потребного напора находится расчетные гидравлические потери 5. По графику находится ближайшее к значение и определяется необходимый диаметр трубопровода. 6. Напорно-расходная характеристика Напорно-расходная характеристика или просто характеристика - это зависимость гидравлических потерь от расхода . Здесь расход является независимой переменной, а гидравлические потери искомой функцией. Для построения характеристики необходимо использовать уравнение (2). Примерный вид напорно-расходной характеристики представлен на рис.22. Рис.22. Напорно-расходная характеристика простого трубопровода 4.2. Последовательное соединение трубопроводов. Напорно- расходная характеристика Если трубопровод состоит из участков с различным диаметром труб, соединенных последовательно, то такое соединение можно рассматривать как последовательное соединение простых трубопроводов. Очевидно, что расход по такому трубопроводу останется постоянным в соответствии с уравнением неразрывности (закон сохранения массы). Тогда можно записать (3) Полная потеря напора будет равна алгебраической сумме гидравлических потерь на каждом участке (рис.23) (4) Рис. 23. Последовательное соединение трубопроводов 1 2 M 3 N Q 38 Пусть нам известны характеристики каждого из участков сложного трубопровода: ( рис.24). Здесь знак суммы стоит из-за того, что помимо гидравлических потерь по длине, включены и местные гидравлические потери на рассматриваемом участке. Тогда, чтобы построить характеристику всего трубопровода, необходимо просуммировать ординаты всех графиков Верхняя кривая на рис. 4 является напорно-расходной характеристикой всего трубопровода. Напорно-расходная характеристика при последовательном соединении трубопроводов. Рис.24. Напорно-расходная характеристика при последовательном соединении трубопроводов 4. 3. Параллельное соединение трубопроводов. Напорно-расходная характеристика при параллельном соединении. На рис. 25 приведен пример параллельного соединения трубопроводов. При параллельном соединении расход в магистральном трубопроводе равен сумме расходов в каждой ветви, то есть, . (5) Рис.25. Параллельное соединение трубопроводов Q M N 1 2 3 39 Гидравлические потери на каждой из ветвей равны между собой (полная аналогия с параллельным соединением сопротивлений в электрической сети): , (6) и равны разности гидравлических высот между узлами m и n. Напорно-расходная характеристика при параллельном соединении простых трубопроводов строится на основе известных характеристик каждой из ветвей. Из уравнения (5) и (6) следует, что для построения суммарной характеристики необходимо сложить абсциссы характеристик каждой из ветвей (рис.26). Напорно-расходная характеристика при параллельном соединении трубопроводов. Рис. 26. Напорно-расходная характеристика при параллельном соединении трубопроводов Порядок расчета трубопровода, состоящего из последовательных и параллельных соединений a) Задан расход Q длина l и диаметр d труб каждой ветви. 1. Строится характеристика каждой ветви и находится суммарная характеристика всей сети. 2. По графику определяются суммарные гидравлические потери. 3. По основному уравнению определяется потребный гидравлический напор b) Задан потребный напор H длина l и диаметр d труб каждой ветви. Решается методом последовательных приближений. Задается первое приближение для расхода. Далее выполняются вычисления, как в пункте а). Если вычисленный потребный напор не совпал с заданным значением, то расчет выполняется с новым значением расхода. Q 40 4.4. Разветвленное соединение трубопроводов. Напорно-расходная характеристика Разветвленное соединение – это соединение нескольких простых трубопроводов в одной точке (рис. 27). Рис. 27. Разветвленное соединение простых трубопроводов Также как и при параллельном соединении трубопроводов, расход в магистрали равен сумме расходов в каждой ветви: Напор в точке М может быть найден как или Пусть . Это означает, что конечные точки 1,2 и 3 находятся на одном уровне с общим узлом М. Если , то напорно-расходная характеристика разветвленного трубопровода примет вид, как показано на рис.28. Рис. 28. Напорно-расходная характеристика разветвленного трубопровода Q M P 1 P 2 P 3 Q 41 Суммарную характеристику находят сложением абсцисс всех характеристик. Порядок расчета аналогичен тому, что изложен в разделе 4.3. 4.5. Сложные сети. Кольцевой трубопровод. Трубопроводная сеть часто имеет достаточно сложную структуру. Если существует возможность вычленить в ней участи с последовательным, параллельным или разветвленным соединением, то задачу расчета такой сети удобно проводить графоаналитическим методом. Алгоритм расчета сводится к следующему: 1. Сложный трубопровод разбивается на ряд участков, содержащих последовательное, параллельное или разветвленное соединение. 2. Для разветвленного участка строится напорно-расходная характеристика в виде: где - пьезометрический напор в конечной точке участка N и для всех остальных участков в виде: 3. Складываются характеристики каждой ветви по правилам для последовательных, параллельных или разветвленных трубопроводов. Суммирование ведется от конечной точки к начальной точке. 4. По полученной суммарной характеристике решается одна из двух задач: a) По заданному расходу, диаметрам находится потребный напор; b) По заданному потребному напору и диаметрам труб находится суммарный расход. Порядок расчета изложен в пункте 13.3. Кольцевой трубопровод представляет собой замкнутый контур с отбором жидкости в угловых точках (рис.29). Кольцевой трубопровод. Рис.29. Кольцевой трубопровод Q 0 Q А А В С Q С Q В 42 Расчет такого трубопровода существенно отличается от всех предыдущих. Поэтому целесообразно применить в данном случае универсальную методику численного метода, пригодную для любого типа трубопровода, которую можно назвать методом математического моделирования. Метод математического моделирования Математическое моделирование состоит в том, все закономерности движения жидкости, имеющие место в трубопроводной сети, математически формулируются для каждого узла сети в отдельности. В результате вся сеть описывается системой линейных уравнений, число которых равно числу узлов сети. Пусть мы имеем соединение двух трубопроводов в узле P (рис. 30). Рис.30. Схема соединение двух трубопроводов Связь между падением давления (напора) и расходом жидкости представим в виде линейной зависимости . (6) Здесь C- гидравлическая проводимость между двумя узлами. Уравнение (6) это известное уравнение Дарси-Вейсбаха. Коэффициент C называется коэффициентом Дарси. При ламинарном режиме гидравлическое сопротивление постоянно при любых , при турбулентном режиме и для местных гидравлических сопротивлений C зависит от расхода, а уравнение (6) является квазилинейным. Запишем уравнение неразрывности (закон сохранения массы) для узла P в виде: (7) Поставим в (7) значения расхода Q, выраженного через разность давлений с помощью уравнения (6). Получим или (8) Здесь - коэффициенты разностного уравнения (7). P W E Qw Qe 43 Уравнение (8) связывает значения давления в центральном узле P со значениями давления в соседних узлах. А уравнение (6) позволяет вычислить расход жидкости между соседними узлами. Помимо расчетных уравнений (6) и (8) должны быть известны условия однозначности – это давление и расход, либо давления в конечных узлах. Таким образом, система линейных уравнений (8) для давления, система уравнений (6) для расхода и условия однозначности есть математическая модель сети. Алгоритм решения 1. Задается первое приближение расхода на каждом участке сети и давление в каждом узле за исключением граничных узлов. 2. Вычисляются гидравлические проводимости для каждого участка сети. Например, для круглой трубы при ламинарном режиме течения уравнение для C имеет вид то есть, является константой и не зависит от расхода. Напротив, при турбулентном режиме движения жидкости гидравлическое сопротивление найдется как то есть, является функцией расхода. 3. Вычисляется новое значение давления в каждом узле . , (9) где - коэффициенты разностного уравнения и давление в узлах, соседних с центральным узлом, Уравнение (9) соответствует алгоритму под названием метода простых итераций, или метода последовательных приближений. В английской литературе он называется методом “step by step”, то есть, от узла к узлу. Это самый простой алгоритм решения системы линейных уравнений. Сходимость у него самая низкая из всех известных методов. 4. По вычисленным значениям давления находится расход на каждом участке (10) 5. По вычисленным значениям расхода вычисляется невязка уравнения неразрывности в каждом узле сети: Здесь - расходы для ветвей, сходящихся в узле . 44 6. Расчет прекращается, если невязка становится меньше выбранной точности. В противном случае итерации повторяются с пункта 2. На рис. 30 изображено простое последовательное соединение трубопроводов. Если же в узле P соединено несколько трубопроводов, то форма уравнений полностью сохраняется, например, если имеет место соединение четырех трубопроводов (рис.31a), то уравнение (9) примет вид Примечание Рис.31. Соединение четырех трубопроводов в одном узле Если вместо давления в узле E задан расход (рис.31b), то в уравнении (9) вместо слагаемого , чтобы удовлетворить уравнению неразрывности, надо поставить расход: 4.6. Трубопроводы с насосной подачей жидкости Все трубопроводные системы, рассмотренные выше, предполагали постоянное значение напора и расхода на входе в сеть. В то же время основным способом подачи жидкости является принудительная подача насосами. Насосы имеют свою расходно- напорную характеристику. Учет совместной работы насоса и трубопровода позволяет подобрать характеристики насоса и трубопровода таким образом, чтобы получить максимальный к.п.д. всей сети. Трубопровод с насосной подачей может быть разомкнутым, то есть когда жидкость перекачивается из одной точки в другую (рис.32а), или замкнутым (кольцевым), в котором циркулирует одно и то же количество жидкости (рис.32b). S N P W E a) S N P W Q E b) 45 Рис.32. Трубопроводы с насосной подачей Рассмотрим первоначально разомкнутый трубопровод (рис.12а). По этой схеме жидкость из нижнего резервуара с давлением на свободной поверхности p 0 перекачивается в верхний резервуар с давлением на свободной поверхности p 3 . Высота расположения насоса относительно нижней свободной поверхности равна H 1 , которая называется геометрической высотой всасывания. Трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу, называется всасывающим трубопроводом. Высота от оси насоса до верхней свободной поверхности называется геометрической высотой нагнетания. Составим уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе, то есть, для сечений 0 и 1 (рис. 12а): (7) Уравнение (7) является основным для расчета всасывающего трубопровода. Оно показывает, что для подъема жидкости на высоту H 1 при средней скорости жидкости v 1 и преодоления гидравлических потерь необходима разность давлений Если давление на свободной поверхности атмосферное, то давление на входе в насос ниже атмосферного. Разряжение на входе в насос всегда ограничено возможностью возникновения кавитации (появление газовых пузырьков из-за процесса парообразования в связи с пониженным давлением). Поэтому высота всасывания, как правило, не может превышать 7-8 метров. Запишем уравнение Бернулли применительно к напорному трубопроводу для сечения 2 и 3: (8) Левая часть уравнения (8) представляет собой энергию жидкости на выходе из насоса. Правая часть уравнения (8) показывает, куда расходуется напор, создаваемый насосом, а именно: на подъем жидкости на высоту, на преодоление гидравлических сопротивлений и давление на выходе из трубопровода . p 0 p 1 p 2 p 3 а) b) p 0 H 1 H 2 H 0 p 3 46 Для устойчивой работы насоса совместно с трубопроводом, очевидно, что напор, создаваемый насосом, должен быть равен потребному напору трубопровода, то есть, (9) На равенстве (9) основывается метод расчета трубопроводов с насосной подачей, который заключается в совместном построении в одном масштабе и на одном графике двух кривых: напора и характеристики насоса и нахождения их точки пересечения (рис. 33). Характеристикой насоса называется зависимость напора, создаваемого насосом, от его подачи при постоянной частоте вращения вала насоса. Рис. 33. Нахождение рабочей точки трубопровода с насосной подачей Точка пересечения двух характеристик называется рабочей точкой. Она соответствует такому режиму работы, когда весь напор, создаваемый насосом, реализуется в потребный напор трубопровода. Для замкнутого трубопровода (рис.32b) геометрическая высота подъема жидкости равна нулю ( ) . Тогда при потребный напор будет равен . С другой стороны напор, создаваемый насосом, равен и он весь уходит на преодоление гидравлических сопротивлений трубопровода. Таким образом, для замкнутого трубопровода справедливо то же равенство, что и для разомкнутого трубопровода. Замкнутый трубопровод обязательно должен иметь расширительный бачок (обычно у входа в насос, где давление имеет минимальное значение) для обеспечения устойчивой работы трубопровода. Давление на входе в насос при наличии расширительного бачка (рис.32b) найдется как . Расширительный бачок может включаться и в нагнетательную часть трубопровода как показано на рис. 32b штриховой линией. Н потр Н нас Н Q A 47 4.7. Гидравлический удар (гидроудар) Гидроудар – это скачок давления в какой-либо системе, заполненной жидкостью, вызванный крайне быстрым изменением скорости потока этой жидкости за очень малый промежуток времени. Может возникать вследствие резкого закрытия или открытия задвижки. В первом случае гидроудар называют положительным, во втором - отрицательным. Опасен положительный гидроудар. При положительном гидроударе несжимаемую жидкость следует рассматривать как сжимаемую. Гидравлический удар способен вызывать образование продольных трещин в трубах, что может привести к их расколу, или повреждать другие элементы трубопровода. Также гидроудары чрезвычайно опасны и для другого оборудования, такого как теплообменники, насосы и сосуды, работающие под давлением. Для предотвращения гидроударов, вызванных резкой переменой направления потока рабочей среды, на трубопроводах устанавливаются обратные клапаны. Явление гидравлического удара открыл Н.Е. Жуковский. Увеличение давления при гидравлическом ударе определяется в соответствии с его теорией по формуле: где - плотность жидкости в кг/м 3 , - средние скорости в трубопроводе до и после закрытия задвижки (запорного клапана) в м/с, c - скорость распространения ударной волны вдоль трубопровода. Жуковский доказал, что скорость распространения ударной волны c находится в прямо пропорциональной зависимости от сжимаемости жидкости, величины деформации стенок трубопровода, определяемой модулем упругости материала E, из которого он выполнен, а также от диаметра трубопровода. В зависимости от времени распространения ударной волны τ и времени перекрытия задвижки (или другой запорной арматуры) t, в результате которого возник гидроудар, можно выделить 2 вида ударов: • Полный (прямой) гидравлический удар, если t < τ • Неполный (непрямой) гидравлический удар, если t > τ При полном гидроударе фронт возникшей ударной волны движется в направлении обратном первоначальному направлению движения жидкости в трубопроводе. Его дальнейшее направление движения зависит от элементов трубопровода, расположенных до закрытой задвижки. Возможно неоднократное прохождения фронта волны в прямом и обратном направлениях. 48 При неполном гидроударе фронт ударной волны не только меняет направление своего движения на противоположное, но и частично проходит далее сквозь не до конца закрытую задвижку. Прямой гидравлический удар бывает тогда когда время закрытия задвижки t задв меньше фазы удара T, определяемой по формуле: Расчет гидравлического удара Здесь l - длина трубопровода от места удара до сечения, в котором поддерживается постоянное давление, c - скорость распространения ударной волны в трубопроводе, определяется по формуле Н.Е. Жуковского, м/с: где E - модуль объемной упругости жидкости, - плотность жидкости, - скорость распространения звука в жидкости, - модуль упругости материала стенок трубы, d - диаметр трубы, h - толщина стенок трубы. Для воды отношение зависит от материала труб и может быть принято: для стальных - 0.01; чугунных - 0.02; ж/б - 0.1-0.14; асбестоцементных - 0.11; полиэтиленовых - 1-1.45 Коэффициент k для тонкостенных трубопроводов применяется (стальные, чугунные, а/ц, полиэтиленовые) равным 1. Для ж/б труб k=1/(1+9.5a), где a = f/h. коэффициент армирования кольцевой арматурой (f - площадь сечения кольцевой арматуры на 1м длины стенки трубы). Обычно a = 0.015 − 0.05. Повышение давления при прямом гидравлическом ударе определяется по формуле: где - скорость движения воды в трубопроводе до закрытия задвижки. 49 Если время закрытия задвижки больше фазы удара (t задв >Т), такой удар называется непрямым. В этом случае дополнительное давление может быть определено по формуле: • Исходя из формулы Жуковского (определяющей увеличение давления при гидроударе) и величин, от которых зависит скорость распространения ударной волны, для ослабления силы этого явления или его полного предотвращения можно уменьшить скорость движения жидкости в трубопроводе, увеличив его диаметр. Способы предотвращения возникновения гидравлических ударов • Для ослабления силы этого явления следует увеличивать время закрытия затвора • Установка демпфирующих устройств (вентили, воздушные клапаны, колпаки, предохранительные клапаны, медленно закрывающиеся задвижки). 1. Наиболее простым примером возникновения гидравлического удара является пример трубопровода с постоянным напором и установившимся движением жидкости, в котором была резко перекрыта задвижка или закрыт клапан. Примеры 2.В скважинах систем водоснабжения гидроудар, как правило, возникает, когда ближайший к насосу обратный клапан расположен выше статического уровня воды более, чем на 9 метров, или ближайший к насосу обратный клапан имеет утечку, в то время как расположенный выше следующий обратный клапан держит давление. В обоих случаях в стояке возникает частичное разряжение. При следующем пуске насоса вода, протекающая с очень большой скоростью, заполняет вакуум и соударяется в трубопроводе с закрытым обратным клапаном и столбом жидкости над ним, вызывая скачок давления и гидравлический удар. Такой гидравлический удар способен вызвать образование трещин в трубах, разрушить трубные соединения и повредить насос и/или электродвигатель. 3.Гидроудар может возникать в системах объемного гидропривода, в которых используется золотниковый гидрораспределитель. В момент перекрытия золотником одного из каналов, по которым нагнетается жидкость, этот канал на короткое время оказывается перекрытым, что влечёт за собой возникновение явлений, описанных выше. |