Курс лекций-Пчелкина ЮЖ. Курс лекций по математическому анализу Электронное учебное пособие

• Название: Курс лекций по математическому анализу Электронное учебное пособие
• Дата: 26.11.2018
• Размер: 1.67 Mb.
• Имя файла: Курс лекций-Пчелкина ЮЖ.pdf
• Тип: Курс лекций; #57755
• страница: 1 из 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П.КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Ю.Ж. Пчелкина
Курс лекций по математическому анализу
Электронное учебное пособие
САМАРА
2011

УДК 517
Автор:
Пчелкина Юлия Жиганшевна
Пчелкина, Ю. Ж. Курс лекций по математическому анализу[Электронный ресурс]: электрон. учеб. пособие / Ю.Ж. Пчелкина; М-во образования и науки РФ, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева (нац. исслед. ун-т). – Электрон. текстовые и граф. дан.
(1,66 Mбайт). – Самара, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
Пособие представляет собой опорный курс лекций. Основными понятиями математического анализа являются понятия производной и интеграла. Для того чтобы сформулировать понятия производной и интеграла в достаточно универсальном виде, с применениями к возможно более широкому классу функций, этим понятиям предшествуют теория вещественных чисел, теория пределов, теория непрерывных функций.
Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров направления 010400.62,
«Прикладная математика и информатика», изучающих дисциплину «Математический анализ» в 1 и 2 семестрах.
Пособие разработано на кафедре прикладной математики.
© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2011

3
Оглавление
Глава 1. Введение в математический анализ ................................................. 6
§ 1.1. Некоторые понятия математической логики ......................................... 6
§ 1.2. Множества. Операции над множествами .............................................. 8
§ 1.3. Множество вещественных чисел ......................................................... 10
§ 1.4. Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности ........................................................................................ 12
§ 1.5. Монотонные последовательности ........................................................ 14
§ 1.6. Число е ................................................................................................... 15
§ 1.7 Предел функции в точке ........................................................................ 17
§1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности ........... 19
§1.9. Основные теоремы о пределах .............................................................. 20 1.10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми................. 21
§ 1.11.Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций ........................................................................... 23
Глава 2. Дифференциальное исчисление ..................................................... 24
§ 2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл ...... 24
§ 2.2. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции ............................ 26
§ 2.3. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно- степенной функции ......................................................................................... 27
§ 2.4. Производная обратных функций .......................................................... 28
§ 2.5 Понятие о дифференциале функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала............................... 29

4
§ 2.6. Формула Тейлора. Формула Маклорена .............................................. 31
§ 2.7. Теоремы о производных. ...................................................................... 33
§ 2.8. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. ........................... 35
§ 2.9. Производные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения производных высших порядков. ............................................... 36 2.10. Исследование функций с помощью производной. ............................... 37
Глава 3. Интегрирование ................................................................................ 42
§ 3.1. Первообразная и неопределѐнный интеграл. ...................................... 42
§ 3.2. Таблица основных интегралов. ............................................................ 43
§ 3.3. Способ подстановки (замены переменных). Интегрирование по частям .............................................................................................................. 44
§ 3.4. Интегрирование элементарных дробей ............................................... 45
§ 3.5. Интегрирование рациональных функций ............................................ 47
§ 3.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций ............... 48
§ 3.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций ..................... 50
§ 3.9. Интегрирование биноминальных дифференциалов ............................ 51
§ 3.10. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через ............. 54 элементарные функции................................................................................... 54
§ 3.11. Понятие определѐнного интеграла. .................................................... 55
§ 3.12. Свойства определенного интеграла ................................................... 58
§ 3.13 Теорема Ньютона-Лейбница ............................................................... 60
§ 3.14. Замена переменных. Интегрирование по частям .............................. 62
§ 3.15. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами.
Интеграл от разрывной функции ................................................................... 63
§ 3.16. Приложения определенного интеграла .............................................. 65

5
Глава 4. Числовые и функциональные ряды .............................................. 70
§ 4.1. Числовые ряды. Основные определения ............................................. 70
§ 4.2. Свойства числовых рядов ..................................................................... 71
§ 4.3. Критерий Коши. Сходимость рядов с неотрицательными членами .. 72
В следующих параграфах рассмотрим некоторые основные признаки, используемые при исследовании рядов на сходимость. §4.4. Признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами ........................... 73
§4.4. Признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами ... 74
§ 4.5. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера ....................... 75
§ 4.6. Радикальный и интегральный признаки Коши .................................. 76
§ 4.6. Знакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся числовых рядов. ...................................................... 77
§ 4.7. Функциональные последовательности ................................................ 80
§4.8. Функциональные ряды........................................................................... 81
§ 4.9. Свойства равномерно сходящихся рядов ............................................ 83
§ 4.10. Понятие степенного ряда .................................................................... 84
§ 4.11. Теоремы Абеля .................................................................................... 86
§ 4.12. Разложение функций в степенные ряды ............................................ 88
Библиографический список ............................................................................ 93

6
Глава 1
Введение в математический анализ
§ 1.1. Некоторые понятия математической логики
Суждение представляет собой законченную мысль, выраженную средствами естественного языка, и состоит из четырех элементов: квантор,
субъект, связка, предикат.
Пример:
Квантор
Субъект
Связка
Предикат
1
Все числа являются не рациональными
2
Некоторые натуральные числа
- четны
В последнем случае подразумевается связка “являются”. Логической связке может также соответствовать символ двоеточия. В первом случае обычно говорят также: “Все числа не являются рациональными”. Вместо термина предикат используют также термин свойство.
В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами
(классом субъектов и классом предикатов):
1)
Все являются (каждый из удовлетворяет свойству )
2)
Некоторые из являются
«Все», «каждый», «любой», «произвольный» называются универсальным
квантором или квантором общности. Обозначение квантора общности: .
«Некоторые из», «существует» - экзистенциальные кванторы .
Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме:
1)
2)

7
Кроме того, и предикат, и субъект в суждении могут быть и составными, в частности они сами могут оказаться суждениями. Для примера рассмотрим высказывание (суждение):
Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:
, где -класс субъектов,
,
- предикат,
, где
,
- предикат,
,
,
– предикат
(свойство)
.
Отрицание суждения строиться по следующим формальным правилам:
1. квантор заменяется на квантор
2. квантор заменяется на квантор
3. предикат заменяется на свое отрицание.
Так для суждения: отрицанием будет суждение:

8
§ 1.2. Множества. Операции над множествами
Неопределимыми понятиями теории множеств являются:
- множества: обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, . . .
- элементы множества: обозначаются малыми латинскими буквами a, b, c, ...
Неопределимыми отношениями теории множеств являются:
- принадлежность: элемент принадлежит множеству ,
,
- не принадлежит,
Все множества могут быть разделены на два типа:
- пустые множества,
- непустые множества.
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым,
∅
В общем случае множество задается правилом или законом на основании которого можно определить принадлежит ли данный элемент данному множеству или нет. Если же множество конечно, то его можно задать перечислением элементов.
Бесконечные множества записывают при помощи характеристического свойства.
Над множествами можно выполнять элементарные операции такие, как: объединение, пересечение и разность двух множеств, а также дополнение одного множества до другого, для наглядности перечисленные операции обычно иллюстрируют при помощи диаграмм (кругов) Эйлера–Венна (см.
Рис.(I.1, I.2, I.3, I.4 ).
Определение. Объединением двух множеств называется множество, такое, что каждый его элемент принадлежит хотя бы одному из двух данных множеств (рис. I.1):

9
Определение. Пересечением двух множеств называется множество, такое, что каждый его элемент принадлежит каждому из двух данных множеств (рис. I.2):
Определение. Разностью двух множеств называется множество, такое, что каждый его элемент принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B (рис. I.3):
Определение. Говорят, что множество A содержится во множестве B,
, если любой элемент из множества A будет принадлежать множеству
B (рис. I.4):
Определение. Пусть множество
, тогда дополнением множества A
до множества B будет называться множество:

10
§ 1.3. Множество вещественных чисел
Рассматривается множество
, для элементов которого определены следующие свойства:
1. Свойство упорядоченности
1.1. либо
, либо
, либо
1.2.
:
,
(свойство транзитивности)
1.3.
: или
2. Свойства операции сложения. Отображение из
2
в :
.
2.1.
:
(коммутативность)
2.2.
:
(ассоциативность)
2.3.
,
:
2.4.
противоположный элемент
:
2.5.
:
3. Свойства операций умножения. Отображение
3.1.
:
(коммутативность)
3.2.
:
(ассоциативность)
3.3.
3.4.
(обратный элемент ):
-1
3.5.
:
4. Связь операций
4.1.
(дистрибутивность)
4.2. Определение:
Свойства
5. Свойство Архимеда:

11
Cледствие из свойства Архимеда:
6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип
вложенных отрезков.
Определение: Отрезок или сегмент:
, где величина
– это длина отрезка.
Определение: Система отрезков
a
j
b
j
называется системой
вложенных отрезков, если k: [a
k+1
,b
k+1
] [a
k
,b
k
] .
Принцип вложенных отрезков: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков.
Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется
множеством вещественных чисел и обозначается . Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».
Определение: Система отрезков стягивается к 0, если
Лемма (Кантора): Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [a
k
,b
k
] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.
Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и
. Тогда
: a
n
x < y b
n
n: y – x b
n
- a
n.
Возьмем = y – x. Для него N, n > N: b
n
- a
n
< , что противоречит предыдущему неравенству.

12
§ 1.4. Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные
последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х n
, то говорят, что задана последовательность
x
1,
х
2
, …, х
n
= {x
n
}
Общий элемент последовательности является функцией от . x
n
= f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1)
Умножение последовательности на число: m{x
n
} = {mx
n
}, т.е. mx
1
, mx
2
, …
2)
Сложение (вычитание) последовательностей: {x
n
} {y
n
} = {x
n
y
n
}.
3)
Произведение последовательностей: {x
n
} {y
n
} = {x
n
y
n
}.
4)
Частное последовательностей:
n
n
n
n
y
x
y
x
при {y
n
} 0.
Определение. Последовательность {x
n
} называется ограниченной, если существует такое число
, что для любого n верно неравенство:
M
x
n
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку
Определение. Последовательность {x
n
}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число , что x
n
M.
Определение. Последовательность {x
n
} называется ограниченной снизу, если для любого существует такое число , что x
n
M
Определение. Число называется пределом последовательности {x
n
}, если для любого положительного существует такой номер
, что для всех выполняется условие:
n
x
a
Это записывается: lim x
n
= a.
В этом случае говорят, что последовательность {x
n
}сходится к а при

13
Свойство:
Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {x
n
} имеет два предела a и b, не равные друг другу. x
n
a; x
n
b; a b.
Тогда по определению существует такое число
, что
2 2
n
n
x
b
x
a
2 2
)
(
)
(
b
x
x
a
b
x
x
a
b
a
n
n
n
n
А т.к. - любое число, то
0
b
a
, т.е.
Теорема доказана.
Теорема. Если x
n
a, то
a
x
n
Доказательство. Из x
n
a следует, что
a
x
n
. В то же время:
a
x
a
x
n
n
, т.е.
a
x
n
, т.е.
a
x
n
Теорема доказана.
Теорема. Если x
n
a, то последовательность {x
n
} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

14
§ 1.5. Монотонные последовательности
Определение.
1) Если x
n+1
> x
n
для всех n, то последовательность возрастающая.
2) Если x
n+1
x
n
для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если x
n+1
< x
n
для всех n, то последовательность убывающая.
4) Если x
n+1
x
n
для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство.
Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность х
1
х
2
х
3
… х
n
x
n+1
…
Эта последовательность ограничена сверху: x
n
M, где М – некоторое число. Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого существует такое число , что x
N
> a - , где а – некоторая верхняя грань множества. Т.к. {x
n
}- неубывающая последовательность, то при
: а - < x
N
x
n
, x
n
> a - .
Отсюда: a - < x
n
< a + ; - < x
n
– a < или x
n
- a < , т.е. lim x
n
= a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Теорема доказана.

15
§ 1.6. Число е
Рассмотрим последовательность {x
n
} =
n
n
1 1
Если последовательность {x
n
} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 3
2 1
)]
1
(
)...[
2
)(
1
(
1 3
2 1
)
2
)(
1
(
1 2
1
)
1
(
1 1
1 1
1 3
2
или, что то же самое
n
n
n
n
n
n
k
n
n
k
n
x
n
1 1
2 1
1 1
!
1 1
1 2
1 1
1
!
1 1
1
!
2 1
1 1
Покажем, что последовательность {x
n
} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x n+1
и сравним его с выражением x n
:
1 1
1 1
1
)!
1
(
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
!
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
!
1 1
1 1
!
2 1
1 1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
n
n
k
n
x
n
Каждое слагаемое в выражении x
n+1
больше соответствующего значения x
n
, и, кроме того, у x
n+1
добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x
n
} возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x
n
< 3.
прогрессия
геометр
n
x
n
n
n
3 2
1 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
1 1
1
!
1
!
3 1
!
2 1
1 1
1 2
Итак, последовательность
n
n
1 1
- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
e
n
n
n
1 1
lim

16
Из неравенства
3 1
1
n
n
следует, что
. Отбрасывая в равенстве для {x n
} все члены, начиная с четвертого, имеем:
n
n
n
1 1
2 1
2 1
1
переходя к пределу, получаем
5
,
2 2
1 2
e
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно
2,71828…
Аналогично можно показать, что
e
x
x
x
1 1
lim
, расширив требования к х до любого действительного числа:
1
n
x
n
1 1
1 1
n
x
n
1 1
1 1
1 1
1
n
x
n
n
x
n
n
x
n
1 1
1 1
1 1
1 1
e
x
e
e
n
e
e
n
x
x
n
n
n
n
1 1
lim
;
1 1
1 1
lim
;
1 1
1
lim
1
Число е является основанием натурального логарифма.
,
ln log
x
e
е
т
y
x
x
y
e
Связь натурального и десятичного логарифмов.
Пусть х = 10
у
, тогда lnx = ln10
y
, следовательно lnx = yln10 у =
x
M
x
x
M
x
x
lg
1
ln
;
ln
10
ln ln lg
, где М = 1/ln10 0,43429…- модуль перехода.

17
§ 1.7 Предел функции в точке y f(x)
A +
A
A -
0 a - a a + x
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
(т.е. в самой точке функция может быть и не определена)
Определение. Число называется пределом функции при
, если для любого существует такое число
, что для всех х таких, что верно неравенство
Если
,
, то верно неравенство
Запись предела функции в точке:
A
x
f
a
x
)
(
lim
Определение. Если
A
1
при только при
, то
1 0
)
(
lim
A
x
f
a
x
- называется пределом функции в точке слева, а

18 если при только при
, то
2 0
)
(
lim
A
x
f
a
x
называется пределом функции в точке справа. у f(x)
А
2
А
1 0 a x
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке
, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А
1
и А
2
называются также односторонними пределами функции в точке
. Также говорят, что – конечный предел функции

19
§1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Определение. Число называется пределом функции при
, если для любого числа существует такое число
, что для всех , выполняется неравенство
)
(x
f
A
При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности. Записывают:
)
(
lim
A
x
f
x
Графически можно представить: y y
A
A
0 0 x x y y
A
A
0 0 x x
Аналогично можно определить пределы
A
x
f
x
)
(
lim для любого и
A
x
f
x
)
(
lim для любого

20
§1.9. Основные теоремы о пределах
Теорема 1.
C
C
a
x
lim
, где = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х a.
Теорема 2.
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
Теорема 3.
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
Следствие.
)
(
lim
)
(
lim
x
f
C
x
f
C
a
x
a
x
Теорема 4.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
при
0
)
(
lim
x
g
a
x
Теорема 5. Если вблизи точки
и
A
x
f
a
x
)
(
lim
, то
.
Аналогично определяется знак предела при
,
,
Теорема 6. Если вблизи точки и
A
x
u
x
g
a
x
a
x
)
(
lim
)
(
lim
, то и
A
x
f
a
x
)
(
lim
Определение. Функция называется ограниченной вблизи точки
, если существует такое число
, что вблизи точки
Теорема 7. Если функция имеет конечный предел при
, то она ограничена вблизи точки
Доказательство. Пусть
A
x
f
a
x
)
(
lim
, т.е.
A
x
f
)
(
, тогда
A
A
x
f
A
A
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
или
A
x
f
)
(
, т.е.
,
)
(
M
x
f
где
Теорема доказана.

21
1.10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х а, где а может быть числом или одной из величин , + или - , если
0
)
(
lim
x
f
a
x
Бесконечно малой функция может быть, только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х а имела предел, равный А,
необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + (x), где (х) – бесконечно малая при х
а ( (х)
0 при х
а).
1)
Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при
х а тоже бесконечно малая функция при х а.
2)
Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х а тоже бесконечно малая функция при х а.
3)
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х а.
4)
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Определение. Предел функции f(x) при х
а, где а - число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенство f(x) >M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0
< x - a < . Записывается
)
(
lim
x
f
a
x

22
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие
f(x) >M на f(x)>M, то получим:
,
)
(
lim
x
f
a
x
а если заменить на f(x), то:
)
(
lim
x
f
a
x
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом: a x a x a x
Определение. Функция называется бесконечно большой при х а, где а – число или одна из величин , + или - , если
A
x
f
a
x
)
(
lim
, где А – число или одна из величин , + или - .
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)
0 при х
а (если х
) и не обращается в ноль, то
)
(
1
x
f
y

23
§ 1.11.Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных
бесконечно малых функций
Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х
а. Будем обозначать эти функции , и соответственно.
Определение. Если
0
lim
a
x
, то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .
Определение. Если
const
A
A
A
a
x
,
0
,
lim
, то и называются бесконечно малыми одного порядка.
Определение. Если
,
1
lim
a
x
то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают

.
Определение. Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел
k
a
x
lim конечен и отличен от нуля.
Свойства эквивалентных бесконечно малых функций:
1) ,
1
lim
a
x
2) Если и , то ,
1 1
1
lim lim
a
x
a
x
3) Если , то ,
1 1
lim lim
a
x
a
x
4) Если
1
и
1
и
k
a
x
lim
, то и
k
a
x
1 1
lim или
1 1
lim lim
a
x
a
x

24