Курс лекций-Пчелкина ЮЖ. Курс лекций по математическому анализу Электронное учебное пособие
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
§ 4.9. Свойства равномерно сходящихся рядов Теорема (о непрерывности суммы ряда). Если члены ряда 1 ) ( n n x u - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b]. Теорема (о почленном интегрировании ряда). Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. ] , [ , ; ) ( ) ( 1 1 b a dx x u dx x u n n n n Теорема (о почленном дифференцировании ряда). Если члены ряда 1 ) ( n n x u сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных 1 ) ( n n x u сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. 1 1 ) ( ) ( n n n n dx x du x u dx d На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. 84 § 4.10. Понятие степенного ряда На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Определение. Степенным рядом называется ряд вида 0 2 2 1 0 n n n n n x a x a x a x a a Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера. Действия со степенными рядами: 1) Интегрирование степенных рядов. Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: 0 ) ( n n n x a x f , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда: C x n a dx x a dx x a dx x f n n n n n n n n n 0 1 0 0 1 ) ( 2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле: 0 1 0 0 ) ( n n n n n n n n n x na x a dx d x a dx d x f 3) Сложение и вычитание степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами: 0 0 0 ) ( n n n n n n n n n n x b a x b x a 4) Умножение степенных рядов. Произведение двух степенных рядов выражается формулой: 0 0 0 n n n n n n n n n x с x b x a 85 Коэффициенты с i находятся по формуле: 0 1 1 1 1 0 b a b a b a b a c n n n n n 5) Деление двух степенных рядов выражается формулой: 0 0 0 n n n n n n n n n x q x b x a Для определения коэффициентов q n рассматриваем произведение 0 0 0 n n n n n n n n n x a x b x q , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений: 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 b q b q b q a b q b q b q a b q b q a b q a n n n n 86 § 4.11. Теоремы Абеля Теорема 1. Если степенной ряд 0 2 2 1 0 n n n n n x a x a x a x a a сходится при x = x 1 , то он сходится и притом абсолютно для всех 1 x x . Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то , 1 k x a n n где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: n n n n n n x x k x x x a x a 1 1 1 Из этого неравенства видно, что при x 1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии 1 x x по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд n n x a сходится, а значит ряд n n x a сходится абсолютно. Теорема доказана. Таким образом, если степенной ряд n n x a сходится в точке х 1 , то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 1 х с центром в точке х = 0. Следствие. Если при х = х 1 ряд расходится, то он расходится для всех 1 x x 87 Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что R x ряд абсолютно сходится, а при всех R x ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости. Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле: n n n a a R 1 lim Теорема 2. Если степенной ряд n n x a сходится для положительного значения х=х 1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри ) ; ( 1 1 x x 88 § 4.12. Разложение функций в степенные ряды Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции. Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора). Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов. Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд. Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач. Рассмотри разложение в ряд некоторых элементарных функций. 89 1) Функция f(x) = e x . Находим: f(x) = e x , f(0) = 1 f (x) = e x , f (0) = 1 …………………… f (n) (x) = e x , f (n) (0) = 1 Тогда: 1 0 , )! 1 ( ! ! 3 ! 2 1 1 1 3 2 x n n x e n x n x x x x e Пример: Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1. e n e )! 1 ( 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 1 Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003 Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451 Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553 На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора. Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда. 2 4 6 8 10 1. 25 1. 5 1. 75 2 2. 25 2. 5 2. 75 90 2) Функция f(x) = sinx. Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0 f (x) = cosx = sin( x + /2); f (0) = 1; f (x) = -sinx = sin(x + 2 /2); f (0) = 0; f (x) = -cosx = sin(x + 3 /2); f (0)=-1; ………………………………………… f (n) (x) = sin(x + n/2); f (n) (0) = sin( n/2); f (n+1) (x) = sin(x + (n + 1) /2); f (n+1) ( ) = sin( + (n + 1) /2); Итого: 1 2 1 2 ) 1 2 ( 2 2 1 2 1 5 3 )! 1 2 ( cos )! 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )! 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 sin n n n n n n n x n x n f x R x R n x x x x x На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения. Рис. 1. Два члена разложения Рис. 2. Четыре члена разложения Рис. 3. Шесть членов разложения Рис. 4. Десять членов разложения Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра - 10 - 5 5 10 - 4 - 2 2 4 - 10 - 5 5 10 - 4 - 2 2 4 - 10 - 5 5 10 - 4 - 2 2 4 - 10 - 5 5 10 - 4 - 2 2 4 91 а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется. Для примера вычислим значение sin20 0 Предварительно переведем угол 20 0 в радианы: 20 0 = /9. Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения: 341854 , 0 000043 , 0 007078 , 0 348889 , 0 9 ! 5 1 9 ! 3 1 9 9 sin 20 sin 5 3 0 В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420. На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002. 3) Функция f(x) = cosx. Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим: 2 2 2 2 ) 2 2 ( 1 2 1 2 2 4 2 )! 2 2 ( cos )! 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )! 2 ( ) 1 ( ! 4 ! 2 1 cos n n n n n n n x n x n f x R x R n x x x x 1 2 3 4 5 0. 344 0. 346 0. 348 92 4) Функция f(x) = (1 + x) (где - действительное число) ; ) 0 ( ; ) 1 ( ) ( 1 f x x f ); 1 ( ) 0 ( ; ) 1 )( 1 ( ) ( 2 f x x f ………………………………………………….. ) 1 )...( 2 )( 1 ( ) 0 ( ; ) 1 ))( 1 ( )...( 2 )( 1 ( ) ( ) ( ) ( n f x n x f n n n Тогда: ) ( ! ) 1 )...( 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 2 x R x n n x x x n n 1 0 ; ) 1 ( )! 1 ( ) )...( 1 ( ) ( ) 1 ( 1 n n x n n x R Если в принять = n, где n- натуральное число и f (n+1) (x)=0, то R n+1 =0, тогда n n x x n n x n x ! 2 ) 1 ( ! 1 1 ) 1 ( 2 (бином Ньютона). 5) Функция f(x) = ln(1 + x). f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0; f (x) = x 1 1 ; ; 1 ) 0 ( f ; ) 1 ( 1 ) ( 2 x x f ; 1 ) 0 ( f ; ) 1 ( ) 2 ( 1 ) ( 3 x x f ; 2 ) 0 ( f ……………………………………… ; ) 1 ( )! 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( n n n x n x f ; )! 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( n x f n n Итого: ); ( ! )! 1 ( ) 1 ( ! 3 2 1 2 1 ) 1 ln( 1 1 3 2 x R x n n x x x x n n n ) ( ) 1 ( 3 2 ) 1 ln( 1 1 3 2 x R x n x x x x n n n где ; 1 )! 1 ( ! ) 1 ( ) ( 1 1 n n n x n n x R 93 Библиографический список 1. Архипов Г.И., Садовничий В.А. Лекции по математическому анализу //М.: Дрофа, 2004. – 640 с. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А. Математический анализ. Часть 1 //М.: Издательство Проспект, 2007. – 660 с. 3. Ильин В.А., Садовничий В.А. Математический анализ. Часть 2 //М.: Издательство Проспект, 2004. – 357 с. 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1 //М.: Физматлит, 2005. – 645 с. 5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2 //М.: Физматлит, 2006. – 464 с. 6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа // М.: Наука, 1985. – 384с. 7. Райков Д.А. Одномерный математический анализ //М.: Высшая школа, 1982. –416 с. 8. Райков Д.А. Многомерный математический анализ //М.: Высшая школа, 1989. –272 с. |