Курс лекций-Пчелкина ЮЖ. Курс лекций по математическому анализу Электронное учебное пособие

• Название: Курс лекций по математическому анализу Электронное учебное пособие
• Дата: 26.11.2018
• Размер: 1.67 Mb.
• Имя файла: Курс лекций-Пчелкина ЮЖ.pdf
• Тип: Курс лекций; #57755
• страница: 3 из 5

Глава 3
Интегрирование
§ 3.1. Первообразная и неопределѐнный интеграл.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F (x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. F
1
(x) = F
2
(x) + C.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают:
;
)
(
)
(
C
x
F
dx
x
f
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла:
1.
);
(
)
)
(
(
)
(
x
f
C
x
F
dx
x
f
2.
;
)
(
)
(
dx
x
f
dx
x
f
d
3.
;
)
(
)
(
C
x
F
x
dF
4.
;
)
(
wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
где u, v, w – некоторые функции от х.
5.
;
)
(
)
(
dx
x
f
C
dx
x
f
C

43
§ 3.2. Таблица основных интегралов.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций.
Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Интеграл
Значение
Интеграл
Значение
1
tgxdx
-ln cosx +C
9
dx
e
x
e x
+ C
2
ctgxdx
ln sinx + C
10
xdx
cos sinx + C
3
dx
a
x
C
a
a
x
ln
11
xdx
sin
-cosx + C
4 2
2
x
a
dx
C
a
x
arctg
a
1 12
dx
x
2
cos
1
tgx + C
5 2
2
a
x
dx
C
a
x
a
x
a
ln
2 1
13
dx
x
2
sin
1
-ctgx + C
6 2
2
a
x
dx
ln
C
a
x
x
2 2
14 2
2
x
a
dx
arcsin
a
x
+ C
7
dx
x
1
,
1 1
C
x
15
dx
x
cos
1
C
x
tg
4 2
ln
8
x
dx
C
x
ln
16
dx
x
sin
1
C
x
tg
2
ln
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций.
Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало.
Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

44
§ 3.3. Способ подстановки (замены переменных). Интегрирование по
частям
Теорема: Если требуется найти интеграл
dx
x
f
)
(
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(
Способ интегрирования по частям основан на известной формуле производной произведения: (uv) = u v + v u где u и v – некоторые функции от переменной х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем:
vdu
udv
uv
d
)
(
, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
vdu
udv
uv
или
vdu
uv
udv
;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

45
§ 3.4. Интегрирование элементарных дробей
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I.
;
1
b
ax
III.
;
2
c
bx
ax
N
Mx
II.
;
)
(
1
m
b
ax
IV.
n
c
bx
ax
N
Mx
)
(
2
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b
2
– 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
I.
ln
1
ln
1 1
C
b
ax
a
C
t
a
t
dt
a
b
ax
dx
II.
;
)
)(
1
(
1
)
1
(
1 1
)
(
1 1
C
b
ax
m
a
C
t
m
a
t
dt
a
b
ax
dx
m
m
m
m
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
C
p
q
p
x
arctg
p
q
Ap
B
q
px
x
A
p
q
p
x
dx
Ap
B
q
px
x
A
q
px
x
dx
Ap
B
dx
q
px
x
p
x
A
dx
q
px
x
Ap
B
p
x
A
dx
q
px
x
B
Ax
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 2
4 2
ln
2 4
2 2
ln
2 2
2 2
2
)
2
(
2
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

46
Тогда интеграл вида
n
c
bx
ax
dx
)
(
2
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде
n
s
u
du
)
(
2
. Сделаем преобразование:
n
n
n
n
s
u
du
u
s
s
u
du
s
du
s
u
u
u
s
s
s
u
du
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
2 2
1 2
2 2
2 2
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим:
;
)
)(
1
(
2 1
)
(
;
;
;
)
(
1 2
2 1
1 1
2 1
n
n
n
s
u
n
s
u
udu
v
du
du
u
u
s
u
udu
dv
;
)
(
2 2
1
)
)(
2 2
(
)
(
1 2
1 2
2 2
n
n
n
s
u
du
n
s
u
n
u
s
u
du
u
Для исходного интеграла получаем:
1 2
1 2
1 2
2
)
(
)
2 2
(
1
)
)(
2 2
(
)
(
1
)
(
n
n
n
n
s
u
du
n
s
s
u
n
s
u
s
u
du
s
s
u
du
)
(
)
2 2
(
3 2
)
)(
2 2
(
)
(
1 2
1 2
2
n
n
n
s
u
du
n
s
n
s
u
n
s
u
s
u
du
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл
s
u
du
2
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
n
n
n
n
n
n
n
n
s
u
du
a
Mb
aN
s
u
udu
a
M
a
a
du
s
u
N
a
b
u
M
a
a
b
ac
s
a
b
u
x
adx
du
b
ax
u
dx
b
ac
b
ax
N
Mx
a
dx
c
bx
ax
N
Mx
)
(
2 2
)
(
2 2
)
4
(
)
(
2
)
(
2
)
4
(
;
4
;
2
;
2
;
2
)
4
(
)
2
(
)
4
(
)
(
2 2
2 2
2 2
2
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки
t=u
2
+s приводится к табличному
n
t
dt
, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

47
§ 3.5. Интегрирование рациональных функций
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема: Если
)
(
)
(
)
(
x
P
x
Q
x
R
- правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей
(отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:
P(x) = (x - a) …(x - b) (x
2
+ px + q) …(x
2
+ rx + s)
), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
1 2
2 1
s
rx
x
S
x
R
s
rx
x
S
x
R
s
rx
x
S
x
R
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
b
x
B
b
x
B
b
x
B
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
P
x
Q
где A
i
, B
i
, M
i
, N
i
, R
i
, S
i
– некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A
i
, B
i
, M
i
, N
i
, R
i
, S
i
применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

48
§ 3.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
1.
Интеграл вида
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
.
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.
Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки
2
x
tg
t
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
2 2
1 2
2 1
2 2
sin
t
t
x
tg
x
tg
x
,
;
1 1
2 1
2 1
cos
2 2
2 2
t
t
x
tg
x
tg
x
;
1 2
;
2 2
t
dt
dx
arctgt
x
Таким образом:
)
(
1 2
1 1
,
1 2
)
cos
,
(sin
2 2
2 2
dt
t
r
dt
t
t
t
t
t
R
dx
x
x
R
2.
Интеграл вида
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
если функция R является нечетной
относительно cosx.
Подстановка t = sinx.
xdx
x
x
x
R
dx
x
x
R
cos cos
)
cos
,
(sin
)
cos
,
(sin
Функция
x
x
x
R
cos
)
cos
,
(sin может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
)
(
cos
)
(sin
)
cos
,
(sin
dt
t
r
xdx
x
r
dx
x
x
R

49
3.
Интеграл вида
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
если функция R является нечетной
относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t= cosx.
Тогда
)
(
sin
)
(cos
)
cos
,
(sin
dt
t
r
xdx
x
r
dx
x
x
R
4.
Интеграл вида
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
, если функция R четная относительно
sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка
t=tgx. Тогда
dt
t
r
dx
x
x
R
)
(
)
cos
,
(sin
5.
Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
n
m
x
n
m
n
m
x
n
m
dx
x
n
m
x
n
m
nxdx
mx
)
sin(
)
sin(
2 1
)
cos(
)
cos(
2 1
cos cos
n
m
x
n
m
n
m
x
n
m
dx
x
n
m
x
n
m
nxdx
mx
)
cos(
)
cos(
2 1
)
sin(
)
sin(
2 1
cos sin
n
m
n
m
n
m
n
m
dx
x
n
m
x
n
m
nxdx
mx
)
sin(
)
sin(
2 1
)
cos(
)
cos(
2 1
sin sin

50
§ 3.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим интеграл вида
dx
d
cx
b
ax
x
R
n
,
где n-натуральное число.
С помощью подстановки
t
d
cx
b
ax
n
функция рационализируется.
;
;
;
dt
ct
a
b
t
dx
ct
a
b
t
x
t
d
cx
b
ax
n
n
n
n
n
Тогда
)
(
,
,
dt
t
r
dt
ct
a
b
t
t
ct
a
b
t
R
dx
d
cx
b
ax
x
R
n
n
n
n
n
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

51
§ 3.9. Интегрирование биноминальных дифференциалов
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
x
m
(a + bx
n
)
p
dx, где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1)
Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
x
t
, где - общий знаменатель m и n.
2)
Если
n
m 1
- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
s
n
bx
a
t
, где s – знаменатель числа р.
3) Если
p
n
m 1
- целое число, то используется подстановка
s
n
n
x
bx
a
t
, где s – знаменатель числа р.
Подстановки Чебышева дают возможность нахождения интегралов от биноминальных дифференциалов и имеют большое практическое применение.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
Рассмотрим интегралы вида
dx
c
bx
ax
x
R
2
,
.
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:
2 2
m
u

52
Таким образом, интеграл
dx
c
bx
ax
x
R
2
,
приводится к одному из трех типов:
1)
;
)
,
(
2 2
du
u
m
u
R
2)
;
)
,
(
2 2
du
u
m
u
R
3)
;
)
,
(
2 2
du
m
u
u
R
Рассмотрим теперь некоторые способы решения таких интегралов.
1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида
du
u
m
u
R
)
,
(
2 2
подстановкой
t
m
u
sin или
t
m
u
cos сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Теорема: Интеграл вида
du
u
m
u
R
)
,
(
2 2
подстановкой
mtgt
u
или
mctgt
u
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Теорема: Интеграл вида
du
m
u
u
R
)
,
(
2 2
подстановкой
t
u
sin
1
или
t
u
cos
1
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)
1)
Если
а>0, то интеграл вида
dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
рационализируется подстановкой
a
x
t
c
bx
ax
2 2)
Если a<0 и c>0, то интеграл вида
dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
рационализируется подстановкой
c
tx
c
bx
ax
2

53 3)
Если a<0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители
a(x–x
1
)(x–x
2
), то интеграл вида
dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
рационализируется подстановкой
)
(
1 2
x
x
t
c
bx
ax
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
;
)
(
;
)
(
;
)
(
2 2
2
c
bx
ax
x
dx
III
dx
c
bx
ax
x
P
II
c
bx
ax
dx
x
P
I
n
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.
Далее делается следующее преобразование:
;
)
(
)
(
2 2
2
c
bx
ax
dx
c
bx
ax
x
Q
c
bx
ax
dx
x
P
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.
Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на
c
bx
ax
2
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты многочлена Q(x).
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

54
§ 3.10. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через
элементарные функции
К таким интегралам относится интеграл вида
dx
x
P
x
R
)
)
(
,
(
, где Р(х) - многочлен степени выше второй.
Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1)
dx
e
x
2
- интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))
2)
dx
x
dx
x
2 2
cos
;
sin
- интегралы Френеля (Жан Огюстен
Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики)
3)
x
dx
ln
- интегральный логарифм
4)
dx
x
e
x
- приводится к интегральному логарифму
5)
dx
x
x
sin
- интегральный синус
6)
dx
x
x
cos
- интегральный косинус

55
§ 3.11. Понятие определѐнного интеграла.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y
M m
0 a x i
b x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x
0
< x
1
< x
2
< … < x
n
Тогда x
1
– x
0
= x
1
, x
2
– x
1
= x
2
, … ,x
n
– x
n-1
= x
n
;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x
0
, x
1
]
m
1
, M
1
; [x
1
, x
2
]
m
2
, M
2
; … [x
n-1
, x
n
]
m
n
, M
n
Составим суммы:
S
n
= m
1
x
1
+ m
2
x
2
+ … +m
n
x
n
=
n
i
i
i
x
m
1
S
n
= M
1
x
1
+ M
2
x
2
+ … + M
n
x
n
=
n
i
i
i
x
M
1
Сумма
S
называется нижней интегральной суммой, а сумма
S
– верхней интегральной суммой.
Т.к. m
i
M
i
, то
S
n
S
n
, а m(b – a)
S
n
S
n
M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

56
x
0
<
1
< x
1
, x
1
< < x
2
, … , x
n-1
< < x
n
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
S
n
= f(
1
) x
1
+ f(
2
) x
2
+ … + f(
n
) x
n
=
n
i
i
i
x
f
1
)
(
Тогда можно записать: m
i
x
i
f(
i
) x
i
M
i
x
i
Следовательно,
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
i
i
x
M
x
f
x
m
1 1
1
)
(
n
n
n
S
S
S
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим max x
i
– наибольший отрезок разбиения, а min x
i
– наименьший. Если max x
i
0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если
n
i
i
i
n
x
f
S
1
)
(
, то
)
(
lim
1 0
max
S
x
f
n
i
i
i
x
i
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что
max x
i
0 и произвольном выборе точек
i
интегральная сумма
n
i
i
i
n
x
f
S
1
)
(
стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение:
)
(
b
a
dx
x
f
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Определение:
Если для функции f(x) существует предел
n
i
i
i
x
x
f
i
1 0
max
)
(
lim
,
)
(
b
a
dx
x
f
то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

57
Также верны утверждения:
b
a
n
i
i
i
x
dx
x
f
x
m
i
)
(
lim
1 0
max
b
a
n
i
i
i
x
dx
x
f
x
M
i
)
(
lim
1 0
max
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

58
§ 3.12. Свойства определенного интеграла
1)
;
)
(
)
(
b
a
b
a
dx
x
f
A
dx
x
Af
2)
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
2 1
2 1
3)
0
)
(
a
a
dx
x
f
4)
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
b
a
b
a
dx
x
dx
x
f
)
(
)
(
5)
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
b
a
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
)
(
)
(
)
(
6)
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,
b], то на этом отрезке существует точка такая, что
)
(
)
(
)
(
f
a
b
dx
x
f
b
a
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
M
dx
x
f
a
b
m
b
a
)
(
1
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число
[a, b], что если
b
a
dx
x
f
a
b
)
(
1
и = f( ), а a b, тогда
)
(
)
(
)
(
f
a
b
dx
x
f
b
a
Теорема доказана.

59 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
a
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8)
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
9) Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и
(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(

60
§ 3.13 Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть в интеграле
b
a
dx
x
f )
(
нижний предел а = const, а верхний предел
b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.
Обозначим
x
a
dt
t
f )
(
= Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.
)
(
)
(
x
f
dt
t
f
dx
d
x
a
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция
x
a
dt
t
f )
(
- первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то
C
x
F
dt
t
f
x
a
)
(
)
(

61
При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
a
a
C
a
F
dt
t
f
)
(
)
(
C
a
F )
(
0
)
(a
F
C
Тогда
)
(
)
(
)
(
a
F
x
F
dt
t
f
x
a
. А при х = b:
b
a
a
F
b
F
dt
t
f
)
(
)
(
)
(
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона –
Лейбница:
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
Теорема доказана.
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x)
b
a
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций.
Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

62
§ 3.14. Замена переменных. Интегрирование по частям
Пусть задан интеграл
b
a
dx
x
f )
(
, где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x =
(t). Тогда если
1) ( ) = а, ( ) = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [ , ]
3) f( (t)) определена на отрезке [ , ], то
b
a
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)]
(
[
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)]
(
[
a
F
b
F
F
F
t
F
dt
t
t
f
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
b
a
b
a
b
a
vdu
uv
udv
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

63
§ 3.15. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными
пределами. Интеграл от разрывной функции
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение: Если существует конечный предел
b
a
b
dx
x
f
)
(
lim
, то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале
[a, ).
Обозначение:
a
b
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
lim
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
c
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие
)
(
)
(
0
x
x
f
и интеграл
a
dx
x)
(
сходится, то
a
dx
x
f )
(
тоже сходится и
a
dx
x)
(
a
dx
x
f )
(

64
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие
)
(
)
(
0
x
f
x
и интеграл
a
dx
x)
(
расходится, то
a
dx
x
f )
(
тоже расходится.
Теорема: Если
a
dx
x
f )
(
сходится, то сходится и интеграл
a
dx
x
f )
(
В этом случае интеграл
a
dx
x
f )
(
называется абсолютно сходящимся.
Утверждение: Если в точке х = с функция либо неопределенна, либо разрывна, то
b
a
c
b
c
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
Если интеграл
b
a
dx
x
f )
(
существует, то интеграл
c
a
dx
x
f )
(
- сходится, если интеграл
b
a
dx
x
f
)
(
не существует, то
c
a
dx
x
f )
(
- расходится.
Утверждение:
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
c
b
a
b
c
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
Утверждение: Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке
[a, с], то
с
a
c
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

65
§ 3.16. Приложения определенного интеграла
Рассмотрим решения некоторых задач геометрии и физики, с практическим применением определенного интеграла.
1. Вычисление площадей плоских фигур. у
+
+
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).
Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула
b
a
dx
x
f
S
)
(
2. Нахождение площади криволинейного сектора.
= f( )
0
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид = f( ), где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
d
f
S
)
(
2 1
2 3. Вычисление длины дуги кривой.

66 y y = f(x)
S
i
y
i
x
i
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
n
i
i
n
S
S
1
. Тогда длина дуги равна
n
i
i
S
S
S
i
1 0
max lim
Из геометрических соображений:
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
S
2 2
2 1
В то же время
i
i
i
i
i
x
x
f
x
f
x
y
)
(
)
(
1
Тогда можно показать, что
b
a
n
i
i
x
dx
dx
dy
S
S
i
2 1
0
max
1
lim
Т.е.
b
a
dx
x
f
S
2
)
(
1
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем
dt
t
t
S
2 2
)
(
)
(
, где х = (t) и у = (t).
Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то
dt
t
Z
t
t
S
2 2
2
)
(
)
(
)
(
Если кривая задана в полярных координатах, то
d
S
2 2
, = f( ).
4. Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

67
Q(x i-1
)
Q(x i
) a x i-1
x i
b x
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х
i
разбиения отрезка [a,
b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x
i-1
, x
i
] функция
Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Обозначим их соответственно M
i
и m
i
. Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M
i
x
i
и m
i
x
i
здесь x
i
= x
i
-
x
i-1
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно
n
i
i
i
x
M
1
и
n
i
i
i
x
m
1
При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:
b
a
n
i
i
i
n
i
i
i
dx
x
Q
x
m
x
M
)
(
lim lim
1 0
1 0
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
b
a
dx
x
Q
V
)
(
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
5. Объем тел вращения.

68
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения. y = f(x) x
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса
)
(x
f
R
, то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:
b
a
dx
x
f
V
)
(
2 6. Площадь поверхности тела вращения.
М
i
B
А x
i х
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M
0
, M
1
, M
2
, … , M
n
. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x
i
и y
i
. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна P
i
. Эта площадь может быть найдена по формуле:
i
i
i
i
S
y
y
P
2 2
1
Здесь S
i
– длина каждой хорды.

69
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
S
2 2
2 1
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению
i
i
x
y
. Получаем:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
y
1 1
1
),
(
)
(
)
(
Тогда
i
i
i
x
f
S
)
(
1 2
i
i
i
i
i
x
f
y
y
P
)
(
1 2
2 2
1
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
n
i
i
i
i
i
n
x
f
x
f
x
f
P
1 2
1
)
(
1
)
(
)
(
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
n
i
i
i
i
x
n
i
i
i
i
i
x
x
f
f
x
f
x
f
x
f
P
i
i
1 2
0
max
1 2
1 0
max
)
(
1
)
(
2
lim
)
(
1
)
(
)
(
lim
Тогда
b
a
dx
x
f
x
f
P
)
(
1
)
(
2 2
- формула для вычисления площади поверхности тела вращения.

70