КУРСОВАЯ РАБОТА: Гармонические полиномы. Курсовая Работа.Гамзатов М.В. 3К1ГР. Курсовая работа Гармонические полиномы

• Название: Курсовая работа Гармонические полиномы
• Анкор: КУРСОВАЯ РАБОТА: Гармонические полиномы
• Дата: 22.05.2020
• Размер: 88.36 Kb.
• Имя файла: Курсовая Работа.Гамзатов М.В. 3К1ГР.docx
• Тип: Курсовая; #124680
• страница: 1 из 2

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Дагестанский государственный университет»

Факультет математики и компьютерных наук

Кафедра дифференциальных уравнений

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Гармонические полиномы»

по дисциплине функциональный анализ

Выполнил:

студент 3 курса очной формы обучения

по направлению 01.03.01 – Математика

Гамзатов Мадрид Велибегович

Научный руководитель:

Кандидат физ-матем. наук,доцент

Рагимханов Вадим Римиханович

Работа допущена к защите:

Научный руководитель__________

«__»____________20__г.

МАХАЧКАЛА – 2019

Содержание

Введение…………………………………………….. 3.

1. 
   Оператор Лапласа в сферической системе координат… 4.
   
2. 
   Оператор Лапласа-Бельтрами на сфере и его свойства.
   

Сферические и шаровые функции…………………8.

3. 
   Выражение сферических функций в сферической системе координат. Уравнение Лежандра……………………..14.
   
4. 
   Ортогональность сферических функций и функций Лежандра…………………………………………….19.
   
5. 
   Заключение…………………………………………..22.
   

Введение

В математике (общей алгебре) многочлен от нескольких переменных над полем называется гармоническим, если лапласиан этого многочлена равен нулю.

Избранная схема изложения основывается на использовании элементарных свойств оператора Лапласа–Бельтрами на единичной сфере и связи собственных функций этого оператора — сферических функций с шаровыми функциями — однородными гармоническими многочленами. Для исследования поведения решений уравнения Лежандра в окрестностях особых точек привлекаются факты из аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с правильными особенностями.

§1. Оператор Лапласа в сферической системе координат

Естественно перейти в задаче к сферической

системе координат



и вектором

-угол между осью и проекцией вектора

на плоскость ,отсчитываемый от оси .

При этом , , ,

, (2)

(при ρ = 0 не определяются однозначно).

Выведем уравнение Лапласа в сферической системе координат. Поскольку

,

то для этого следует получить выражения в сферической системе для и , где – скалярное, а – векторное поля в Ω.

Если – некоторая функция в Ω, то через будем обозначать выражение функции в сферической системе

(3)

Итак, нам нужно получить выражение через .

Обозначим через ортонормированный базис исходной декартовой системы . Пусть

(4)

- некоторое векторное поле в ( – вектор-функция на ),

- координаты в базисе .

Каждой точке , , со сферическими координатами поставим в соответствие подвижный ортонормированный репер (тройку взаимно ортогональных единичных векторов):



(5)



Легко видеть, что эти векторы – единичные касательные векторы соответственно к координатным линиям



Разложим вектор по ортонормированному базису (5)

(6)

– координаты в базисе (5) или, как мы их будем называть, координаты вектора в сферической системе.

В силу ортонормированности репера (5)



, (7)

,

Где - декартовы координаты , выраженные кк скалярные функции в сферической системе.

2^⸰. Получим выражение координат вектора ∆_u = grad u, u € С¹ (Ω), в сферической системе. Дифференцируя (3) последовательно по p, , , имеем



()



Поскольку { , , } –координаты ∆_u в декартовой системе, в силу (7) получаем

= , = , (8)

3^⸰. Пусть теперь – гладкое векторное поле в Ω. Получим выражение в сферической системе, т.е. выражение этой функции через

Пусть теперь — гладкое векторное поле в Ω. Получим выражение в сферической системе, т.е. выражение этой функции через . Для этого сначала выразим , , , где u — произвольная гладкая функция в Ω, через , , . Это легко сделать, рассматривая соотношения (8) как систему линейных уравнений относительно величин , , . Учитывая то, что матрица такой системы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной матрице является транспонированная к ней, получаем

,





Используя эти выражения, мы получаем (выполняя на последней стадии суммирование по столбцам и тождественные преобразования)

( ( (9)

Остаётся последнее слагаемое здесь выразить через . Для этого обратимся к соотношениям (7). Умножим первое из них на , второе — на , сложим их. В результате получим



Используя это соотношение, окончательно получаем

(10)

Это и есть выражение дивергенции векторного поля в сферической системе координат.

4◦. Теперь уже легко выписать выражение оператора Лапласа в сферической системе. Используя (10), тождествоc и (9), находим

(11)

где мы обозначили

(12)

Итак, в сферической системе оператор Лапласа представляет собой сумму оператора 2-го порядка по радиальной переменной и оператора 2-го порядка по угловымпеременным , поделённого на ρ². Оператор называют оператором Лапласа–Бельтрами на единичной сфере в R³.

§2. Оператор Лапласа-Бельтрами на сфере и его свойства.

Сферические и шаровые функции

Обозначим через – единичную сферу в с центром в начале координат.

Определение 1. Через – целое, обозначим пространство функций раз непрерывно дифференцируемых на

с фере

Это означает следующее. Для любой точки возьмем какую-нибудь декартову систему с началом в точке O , причем такую, что ось направлена по вектору При этом плоскость параллельна касательной плоскости к в точке . Обозначим

формулы перехода к новой

системе и введем в рассмотрение функцию – выражение функции в новой декартовой системе ξ. Далее, уравнение в системе ξ куска , проходящего через точку , будет , где Выразим только через “касательные” координаты (являющиеся касательными координатами куска ) и получим функцию

. (13)

Так вот, по определению функция , если для любой и для любой декартовой системы , описанной выше, функция (13) принадлежит пространству Аналогичным образом определяется пространство на сфере радиуса .

З а м е ч а н и е 1. Можно показать, что это определение эквивалентно также следующему. Функция принадлежит пространству тогда и только тогда, когда для любой декартовой системы координат с центром в начале координат функция

, (14)

где – углы в сферической системе, связанной с декартовой системой , принадлежит пространству

Определение 2. Оператор Лапласа – Бельтрами на единичной сфере определим как оператор, переводящий всякую функцию в функцию выражение которой в сферических координатах дается формулой

(15)

где определяется по формуле (14), только без “тильд”, - дифференциальный оператор 2-го порядка, определяемой формулой (12).

Здесь мы встречаемся по сути дела с определениями пространств гладких функций на гладком многообразии (в данном случае – на сфере ) и дифференциального оператора на таком многообразии.

Хотя выражение оператора оператора Лапласа-Бельтрами в сферической системе зависит от углов , а имеет особенности при и ( появляющийся в знаменателе, обращается в нуль в этих точках), сам оператор во всех точках сферы устроен совершенно одинаково. Если мы перейдем к другой сферической системе, связанной с другой декартовой системой (например, с осью направленной по старой оси ) то уже не будет иметь особенностей в старых полюсах сферы ( , соответствующих и .

Эту “одинаковую устроенность” оператора во всех точках можно легко уяснить также из формулы

.

Оператор Лапласа инвариантен (не изменяет своей формулы) относительно вращений (т.е при переходе к другой ортогональной системе с центром в начале координат), оператор содержит дифференцирования только по радиусу и очевидно инвариантен относительно вращений. Отсюда и оператор , а с ним и оператор инвариантен относительно вращений.

Нетрудно установить, что оператор отображает пространство .

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Оператор симметричен и неотрицателен на пространстве относительно скалярного произведения в



а именно,



( (17)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения оператора для любых имеем

( (18)

Покажем, что все функции, которые стоят под знаками интегралов в последнем выражении, на самом деле не имеют особенностей и принадлежит пространству как функции .В самом деле, например,



как суперпозиция непрерывных функций. Аналогично для

Проверим далее, что функции

и (19)

принадлежит . Отсюда будет следовать, что и



В силу сделанного выше замечания 1 функция а потому



Поэтому остается показать, например, что функция (19) принадлежит пространствам



Лемма 2. 1 . Собственные значения (СЗ) оператора неотрицательны.

2 Собственные функции (СФ) оператора , отвечающие различными СЗ, ортогональны относительно скалярного произведения (16).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1 . Пусть – СФ оператора , отвечающая СЗ :





Последнее влечет, что Тогда в силу (20) и (21)



Отсюда вытекает, что и

2 Пусть и – две СФ оператора , отвечающие, соответственно, СЗ и причем Тогда пользуясь симметричностью и действительностью СЗ и имеем:

( )

Отсюда



и поскольку , Лемма установлена.

Лемма 3. 1 . Собственными значениями оператора могут быть лишь числа где – целые. Если

- СЗ, – соответствующая ему СФ оператора , то функция , имеющая в сферической системе координат выражение



где – выражение в сферической системе на СФ представляет собой однородный гармонической многочлен переменных степени

2 Обратно, если V(x) – ненулевой однородный гармонический многочлен в степени , то его представление в сферической системе имеет вид (22), где – выражение в сферической системе на функции

представляющей собой СФ оператора - , отвечающую СЗ .

Определение 3. Всякую собственную функцию оператора , отвечающую собственному значению , – целое, будем называть сферической функцией веса

Обычно сферической функцией называют также и выражение функции в сферической системе.

Лемма 3 по сути дела и дает описание множества сферических функций. А именно, имеем следующее

Следствие 1. Множество всех сферических функций веса

представляет собой совокупность следов на всех ненулевых однородных гармонических многочленов на степени .

Определение 4. Пусть – сферическая функция веса . Однородный гармонический многочлен, имеющий в сферической системе выражение (22), называют шаровой функцией, порожденной .