КУРСОВАЯ РАБОТА: Гармонические полиномы. Курсовая Работа.Гамзатов М.В. 3К1ГР. Курсовая работа Гармонические полиномы
 Скачать 88.36 Kb.
|
1 2 Пусть  – сферическая функция веса  , – целое, а  – ее выражение в сферической системе.  как в след гармонического многочлена и, кроме того,  – СФ оператора  , отвечающая СЗ  . Поэтому  заведомо ограниченная функция,  , и удовлетворяет уравнению  (1) Нам достаточно найти  линейно независимых функций, удовлетворяющих этим условиям. Будем искать каждую такую функцию методом разделения переменных в виде  m – целое (2)В силу бесконечной дифференцируемости функция  также обязана принадлежать  Подставляя (2) в (1) и сокращая на  , приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению где  (3)В этом уравнении удобно сделать замену независимой переменной   -1которая преобразует уравнение (3) к уравнению  причём P(t)∈  ((−1,1)) и ограниченная на (−1,1) функция, P(t)≢0. Уравнение (5) называется уравнением Лежандра.Итак, перейдём к нахождению таких решений уравнения (5). Умножив это уравнение на (  ), преобразуем его к форме (6)Существует аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой имеется раздел, посвящённый аналитической теории линейных уравнений с правильными особыми точками, см., например, книги [4] или [5] из списка литературы, приведённого в конце данного пособия. По этой теории, если в окрестности некоторой точки c линейное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду.  (7)где  — некоторые функции t, аналитические в некоторой окрестности точки  , т.е. функции, которые представимы в этой окрестности степенными рядами  то точку  называют правильной особой точкой уравнения (6).В этом случае уравнение (45) (поскольку  при  малых) похоже в малой окрестности точки на уравнение Эйлера (8)Решения последнего уравнения, как известно, следует искать в виде  Подставляя такую функцию в уравнение (8) и сокращая на  , приходим к следующему характеристическому уравнению для определения показателя  : (9)Это квадратное уравнение имеет два корня  и  . Занумеруем их так, чтобы  Оказывается, что так же, как и для уравнения Бесселя (для которого точка 0 является правильной особой точкой), для корня можно всегда найти решение уравнения (7) вида  (10)При этом  можно взять произвольным, коэффициенты  ,  , определяются тогда уже однозначно, и степенной ряд в представлении  сходится в некоторой достаточно малой окрестности точки .Что касается решения  , отвечающего второму корню характеристического уравнения (9), то тут ситуация несколько более сложная. Если  целому. То существует и второе решение уравнения вида (10), но с и замененными, соответственно, на и  , и потому в этом случае  в окрестности точки . Если же  целому то оказывается также существует решение уравнения (7), которое имеет поведение  при  . В случае же, когда  и второе решение уравнения (7) линейно независимое с , имеет уже в малой окрестности точки такое поведение:  Обратимся к уравнению Лежандра в форме (6). У этого уравнения две особые точки  и  поскольку коэффициент при  обращается в нуль только в этих точках. Эти особые точки являются правильными. Проверим это, например, для точки  .Разделим уравнение (6) на функцию  , которая не обращается в нуль в окрестности исследуемой точки t = 1. Уравнение приобретает вид т.е становится вида (6) с  и с (11)  Нетрудно видеть, что — регулярные функции переменной t (рассматриваемой уже как комплексная переменная) в круге  . Поэтому эти функции допускают разложения в этом круге в ряды Тейлора   И следовательно, и для действительных  в окрестности  Итак, точка является правильной.Поэтому согласно сформулированной выше теории уравнение (11) при , близких к 1,становится похожим на уравнение Эйлеровского типа (12)Решение последнего уравнения ищем в виде  И, как и выше для , получаем квадратное уравнение для: Это уравнение имеет два корня и , : При этом, как это следует из сказанного выше, тогда всякое ограниченное в окрестности точки решение уравнения (11) имеет вид где функция  (t) аналитическая, а потому и бесконечнодифференцируемая функция в окрестности точки t = 1. Действительно, одно нетривиальное решение уравнения (11) согласно этой формуле имеет (13), а другое решение, линейно независимое с этим имеет поведение  при  и  при  , а потому это второе решение неограниченно в окрестности точки  Лемма 4. 1  . Если  – решение уравнения  , то  является решением уравнения вида (14) с  , замененным на  2 . При  решением уравнения (14) является многочлен  (15)Д о к а з а т е л ь с т в о.1 . Если – решение уравнения (14), то дифференцируя его (как тождество), получим  ,и первое утверждение леммы установлено. 2 . Преобразуем уравнение (14) при к виду  Поэтому решение уравнения первого порядка:  будет и решением предыдущего уравнения. Но последнее уравнение легко интегрируется (оно является уравнением с разделяющимися переменными). Одним из решений этого уравнения является функция (15). Лемма 4 установлена. §4. Ортогональность сферических функций и функций Лежандра. Итак, обозначим через  (1)систему всех сферических функций, каждая из которых -  имеет в сферической системе выражение (*) (*)Лемма 5. Система (1) сферических функций является ортогональной системой относительно скалярного произведения (§2.(16). 2 . Имеют место равенства  Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала 1 , а именно , что  для любых  и  ) таких, что либо  либо  . Если  то поскольку  – собственные функции оператора , отвечающие различным собственным значениям  и  в силу леммы 2 Пусть далее  но  Рассмотрим случай  . Выполняя замену  , получаем для  (3) Поэтому для , в силу известного из курса математического анализа свойства ортогональности классической тригонометрической системы    на интервале  при . Совершенно аналогично рассматриваются другие возможности для случая . Итак, 1◦ установлено.Отметим, что из этого свойства вытекает непосредственно свойство ортогональности систем многочленов Лежандра и присоединённых функций Лежандра на интервале (−1,1).Лемма 6. При каждом фиксированном  , , (4)Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратимся к формуле (3). Поскольку , а  получаем (4).Справедливость утверждения 2◦ леммы 7 непосредственно вытекает из формулы (3) и её аналога при  и нижеследующего утверждения.Лемма 7. Для любых целых и  , имеет место равенство Для доказательства этой формулы удобно воспользоваться рекуррентной формулой для многочленов Лежандра, выражающей  через  и (t). Доказательство такой формулы в свою очередь легко следует из нижеследующего разложения, которое представляет и самостоятельный интерес.Лемма 8. Для любых  справедливо разложение  причем это разложение допускает по членное дифференцирование по  и по произвольное число раз. Заключение В данной курсовой работе мы рассмотрели операторы: Лапласа и Лапласа-Бельтрами. Оператор Лапласа: С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям. Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения 1 2 |