курсовая работа. Курсовая работа. Курсовая работа Метрические пространства числовых последовательностей и их свойства
![]()
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Курсовая работа «Метрические пространства числовых последовательностей и их свойства» Выполнила: студентка 3 курса МИ_308 группы направления подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование», профили «Математика» и «Информатика» Сарыглар Изольда Аясовна Подпись: _______________________ Научный руководитель: доктор ф.-м.наук, профессор кафедры математики и МПМ. Жданок Александр Иванович Подпись: _________________________ Дата защиты « » ___________ 2021 г. Работа защищена с оценкой ________ ______________________ (подпись руководителя) Кызыл-2021г. Содержание Введение ……………………………………………………….. Глава 1. Теоретическая часть ………………………………… 1.1 Основные определения метрических пространств…... 1.2 Топология метрического пространства……………….. Глава 2. Практическая часть ………………………………….. 2.1 Примеры метрических пространств Заключение …………………………………………………….. Литература ……………………………………………………... Введение Как известно, одним из важнейших понятий в математическом анализе является понятие предельного перехода, лежащего в основе таких фундаментальных операций, как дифференцирование и интегрирование. Более того, в зависимости от рассматриваемых задач в анализе часто вводят разные (но эквивалентные между собой) понятия предела для последовательности одних и тех же математических объектов (вещественные числа, комплексные числа, n-мерные векторы, функции и т.д.). Однако все они связаны в основном лишь тем, что между исследуемыми объектами можно измерять “расстояние”. Это позволяет ввести и изучить свойства предельного перехода независимо от природы элементов, участвующих в этом построении. Обобщая известное понятие расстояния между двумя вещественными числами, мы естественно приходим к одному из основных понятий современной математики – понятию метрического пространства (оно было введено впервые французским математиком М. Фреше в 1906 г.). Отметим также фундаментальную важность метрических идей в прикладном отношении: всякий вычислительный процесс должен сходиться к искомому результату. Настоящее пособие представляет собой первую часть курса “Функциональный анализ”, посвященную изучению общих и основных свойств метрических пространств. Структура этого пособия и всех последующих такова: даются теоретические сведения, примеры решения задач, относящихся к данной теории, а также задачи для самостоятельного решения. Цель курсовой работы: изучение метрических пространств числовых последовательностей с доказательством их свойств. Объект: свойства метрических пространств. Предмет: метрические пространства числовых последовательностей. Задачи: - изучить литературу по данной теме; - обобщить и упорядочить изученный материал; - собирать и систематизировать материал по теме; - решить несколько задач по данной теме. Курсовая работа включает введение, две главы, заключение, список литературы. Во введение обосновывается актуальность работы, определены объект, предмет, цель, задачи и структура работы. В первой главе рассматриваются понятия, определения и свойства метрических пространств числовых последовательностей. Во второй главе анализируется задачи, примеры метрических пространств. В заключении подводятся итоги, делаются выводы о проделанной работе. Глава 1. Теоретическая часть Основные определения метрических пространств Пусть ![]() ![]() ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() Аксиомы 1-3 называются аксиомами метрического пространства, ![]() ![]() Последовательность ![]() ![]() ![]() Элемент ![]() ![]() Если последовательность сходится, то предел этой последовательности единственен. Доказательство. Будем доказывать методом от противного. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Возьмем ![]() ![]() ![]() Аналогично, т.к. ![]() ![]() Рассмотрим расстояние: ![]() Итак, получили, что ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() Последовательность ![]() ![]() ![]() Легко доказывается, что если последовательность ![]() Доказательство. Зафиксируем произвольное ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Метрическое пространство ![]() Подмножество ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Топология метрического пространства. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точка ![]() ![]() Замкнутым шаром с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сферой с центром в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения следует, что ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Легко проверить, что любая точка открытого шара является внутренней точкой этого шара . Совокупность всех внутренних точек множества ![]() ![]() ![]() Множество ![]() Пример. Если ![]() Множество ![]() ![]() ![]() Получаем, что ![]() ![]() ![]() Множество ![]() Пример. Примером открытого множества является открытый шар. Если точка ![]() Совокупность всех открытых множеств метрического пространства ![]() ![]() ![]() ![]() Топология метрического пространства обладает следующими характеристическими свойствами: 1 ![]() ![]() 2) Объединение любого семейства множеств из ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Возьмем точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Пересечение любого конечного семейства из ![]() ![]() ![]() Доказательство. Докажем это свойство для двух множеств, а дальше для доказательства используем метод математической индукции. Пусть ![]() ![]() ![]() Для этого рассмотрим ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Множество ![]() ![]() ![]() ![]() Множество ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Так как точка была выбрана произвольно и она оказалась внутренней, то любая точка является внутренней, значит ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() Рассмотрим внутренность множества ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Множество ![]() ![]() Совокупность замкнутых множеств обозначим через ![]() 1 . ![]() ![]() 2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств является замкнутым, т.е. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3 . Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым, т.е. ![]() Заключение Мы изучили метрические пространства, их свойства. Метрические пространства имеют большое значение в различных сферах человеческой деятельности. Мы, конечно, затронули не все стороны этой темы, а лишь основную часть. Но самые важные моменты этой темы мы отразили. Список литературы: 1.Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ/ Б.З. Вулих.– М.: Физматгиз, 1958. 2.Городецкий, В.В. Методы решения задач по функциональному анализу/ В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. – К.: Выща шк., 1990. 3.Иосида, К. Функциональный анализ/ К. Иосида. –М.: Мир, 1967. 4.Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных про-странствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов.– М.: Физматгиз, 1959. 5.Канторович,Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П.Акилов. –М.: Наука, 1974. 6.Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– М.: Наука, 1981. 7.Кутузов, А.С. Числовые ряды/ А.С. Кутузов, С.М. Серебрянский. – Троицк, 2010. 8.Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа/ Л.А.Люстерник, В.И. Соболев.– М.: Наука, 1982. 9.Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: Наука, 1965. 10.Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б.С. Надь.– М.: ИЛ, 1954. 11.Рудин, У. Функциональный анализ/ У. Рудин.– М.: Мир, 1975. 12.Треногин, В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин,Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Наука, 1984. 13.Треногин, В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. –М.: Наука, 1980г. |