|
|
Теория по теме _Четырехугольники._. Квадрат a
КВАДРАТ
|
a
d
|
Определение
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
|
a – сторона
d - диагональ
P = 4a –периметр
 – сторона ч/з периметр
S = a2– площадь ч/з сторону
 – площадь ч/з диагональ
|
Свойства:
1) противоположные стороны равны;
2) противоположные углы равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4) диагонали равны;
5) диагонали взаимно перпендикулярны;
6) диагонали делят углы пополам
|
ПРЯМОУГОЛЬНИК
|
b
a
d
|
Определение
Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
|
a – длина
b- ширина
d - диагональ 
P = 2(a+b)- периметр
S = ab- площадь
 , - угол м/у диагоналями
|
Свойства:
1) противолежащие стороны равны;
2) противолежащие углы равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;
5) диагонали равны.
|
Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
|
Если в параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 180 - это прямоугольник.
|
В четырехугольнике, в котором три угла прямые – прямоугольник.
|
Если биссектриса прямоугольника делит пополам сторону, которую она пересекает, то одна из сторон прямоугольника в два раза больше другой его стороны.
|
Если все углы четырехугольника равны – это прямоугольник.
|
Если в четырехугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – прямоугольник.
|
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
|
    
b
a
h1
a, b – стороны
h1, h2 – высоты
|
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
|
P
S = a b sin-
площадь
= 2(a+b)- периметр
 - площадь
|
Свойства:
1) противолежащие стороны равны;
2) противолежащие углы равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180.
|
b
a
|
   
d1
d2
- угол
м/у диагоналями
S =
|
Признаки:
1) Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3) Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
4) Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон равна 180, то этот четырехугольник — параллелограмм.
5) Если противоположные углы четырехугольника равны, то такой четырехугольник – параллелограмм
|
Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам.
|
Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны
|
Биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.
|
Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.
|
Как действовать
Чтобы установить, что четырехугольник – параллелограмм, докажите, что в нем:
ЛИБО 1) противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма);
2) противоположные стороны попарно равны (признак);
3) две противоположные стороны равны и параллельны (признак);
4) диагонали точкой их пересечения делятся пополам (признак).
Для того, чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него:
ЛИБО 1) все его углы прямые (определение прямоугольника);
2) диагонали равны (признак).
Для утверждения, что четырехугольник является прямоугольником, докажите, что:
ЛИБО 1) этот четырехугольник – параллелограмм, а параллелограмм - прямоугольник;
2) три угла четырехугольника – прямые.
Р
a – сторона
h – высота
- угол ромба
P = 4a –периметр
S = a2 sin
ОМБ
|
a
   
d1, d2–диагонали
d1
d2
|
Определение
Ромб – это параллелограмм, в котором все стороны равны.
Свойства:
1) противолежащие стороны равны;
2) противолежащие углы равны;
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;
5) диагонали взаимно перпендикулярны;
6) диагонали делят углы пополам.
|
 
|
Признак:
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
|
Диагональ ромба разделяет его на два равных треугольника.
|
Диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольника.
|
Ромб, в котором один угол nрямой,- квадрат
|
Четырёхугольник, все стороны которого равны, является ромбом.
|
Параллелограмм, диагонали которого делят углы пополам, - ромб.
|
|
Как действовать
Чтобы установить, что данный параллелограмм - ромб, докажите ,что в нем:
ЛИБО 1) все стороны равны (определение ромба);
2) диагонали взаимно перпендикулярны (признак);
Т
a
РАПЕЦИЯ
|
b
h
|
Определение
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
|
   
m
a, b – основания трапеции
h – высота
m – средняя линия
  
|
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Свойство средней линии трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
|
|
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ– трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (или один угол равен 90)
|
Сумма градусных мер двух углов трапеции. Прилежащих к боковой стороне, равна 180.
|
РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ– трапеция, в которой боковые стороны равны.
Свойство:
углы при основании равны;
диагонали равнобедренной трапеции равны.
диагонали образуют с ее основанием равные углы
Признак:
Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.
|
Если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, - биссектриса угла, прилежащего к большему основанию.
|
Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте.
|
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.
|
В равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна 180
|
|
Если в трапеции сумма противоположных углов равна 180, то трапеция равнобедренная
|
Как действовать
Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне, и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника. |
|
|
Скачать 402.5 Kb.