§2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Учебные вопросы - Определение квадратичной формы.
- Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
- Канонический вид квадратичной формы.
- Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
- Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.
Пусть А(х,у) – симметричная билинейная форма в пространстве V над полем Р. О.1.1. Квадратичной формой называется отображение А:V Р, которое каждому вектору хV ставит в соответствие число А(х,х), т.е. сужение симметричной билинейной формы на диагональ (декартова квадрата VV). Обозначение: А(х,х), А(х), f. Т.1.1. Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно. Т.1.1. вытекает из того, что если А(х,у) – полярная билинейная форма для квадратичной формы А(х,х), то для любых векторов х,уV: Пример 1. Записать квадратичную форму, соответствующую данной билинейной форме Решение Представление квадратичной формы в конечномерном линейном пространстве Пусть в n-мерном линейном пространстве V выбран произвольный базис е = e1,e2,…,en и задана симметричная билинейная форма А(х,у), полярная к квадратичной форме А(х,х). Билинейную форму А(х,у) можно представить в виде: (1) где xi и уj – координаты в базисе e векторов х и у соответственно (i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,n). Полагая в (1) х = у (т.е. хj = уj), получим следующее представление для квадратичной формы А(х,х) в n-мерном линейном пространстве V с заданным базисом е: (2) где aij = aji; xi и хj – координаты вектора х в базисе e. Замечание. Квадратичную форму А(х,х) вида (2) можно рассматривать как многочлен от n переменных х1,х2,…,хn с действительными коэффициентами aij, каждый член которого имеет вторую степень, т.е. как многочлен вида (3) Выражение (3) называется квадратичной формой от переменных х1,х2,…,хn.
О.1.2. Матрицей квадратичной формы А(х,х) называется матрица полярной к ней симметричной билинейной формы А(х,у). Свойства квадратичных форм Свойство 1. Матрица квадратичной формы является симметричной. Свойство 2. Существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами в пространстве V(Р) и симметричными матрицами из Рnn. Свойство 3. Матрицы квадратичной формы в базисах е и е пространства V связаны соотношением где Т – матрица перехода от базиса е к базису е. В = ТТАТ для некоторой невырожденной матрицы Т, называются конгруэнтными. Отношение конгруэнтности – отношение эквивалентности на множестве матриц одного порядка. Вывод: Матрицы квадратичной формы А(х,х) в базисах е и е пространства V конгруэнтны, а если е и е – ортонормированные базисы, то эти матрицы подобны. может быть записана в матричной форме: (4) где Хе – столбец координат вектора х в базисе е. Представление квадратичной формы в виде (2) или (4) называется общим видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е. или Свойство 5. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Обозначение: rang А(х,х). Очевидно, что rang А(х,у) = rang А(х,х). rang А(х,х) = dim V (rang А(х,у) dim V) Пример 2. Найти матрицу и ранг квадратичной формы. Записать матричное представление данной формы: Решение Матрица квадратичной формы: квадратичная форма является вырожденной. Матричное представление: Вопрос 2. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных Рассмотрим методы выбора такого базиса в линейном пространстве, в котором квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Линейное преобразование переменных О.2.1. Переход от упорядоченной системы n переменных у1,у2,…,уn к упорядоченной системе n переменных х1,х2,…,хn по формулам (5) где называется линейным преобразованием переменных у1,у2,…,уn в переменные х1,х2,…,хn. Числа рij называются коэффициентами линейного преобразования (5). Х = РУ, (6) где Квадратная матрица Р, составленная из коэффициентов рij линейного преобразования (5), называется матрицей этого линейного преобразования. О.2.2. Если Р – невырожденная матрица (Р 0), то линейное преобразование (6) называется невырожденным. В этом случае существует обратное преобразование переменных х1,х2,…,хn в переменные у1,у2,…,уn: О.2.3. Если Р – вырожденная матрица ((Р = 0), то линейное преобразование (6) называется вырожденным. Х = РУ задано еще одно линейное преобразование переменных: У = RZ (7) с матрицей переводящее переменные z1,z2,…,zn в переменные у1,у2,…,уn. Из (6) и (7) получаем Х = (РR)Z. (8) Итак: Итак: - формула (6) выражает переменные х1,х2,…,хn через переменные у1,у2,…,уn;
- формула (7) выражает переменные у1,у2,…,уn через переменные z1,z2,…,zn;
- формула (8) выражает переменные х1,х2,…,хn через переменные z1,z2,…,zn.
Из (8) следует, что матрицей результирующего линейного преобразования переменных (произведения линейных преобразований (6) и (7)) является матрица РR, т.е. произведение матриц последовательных преобразований (6) и (7). Замечание. Произведение двух невырожденных линейных преобразований – невырожденное линейное преобразование. Преобразование квадратичных форм при линейном преобразовании переменных Пусть в n-мерном линейном пространстве V дана квадратичная форма (9) с матрицей А. Применим к ее переменным х1,х2,…,хn невырожденное линейное преобразование переменных (6) с матрицей Р, т.е. преобразование Х = РУ. (10) Из (10) следует, что матрицей квадратичной формы g(у1,у2,…,уn) является матрица (11) которая так же симметричная. О.2.4. Две квадратичные формы f и g называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования переменных. Обозначение: f g. rang B = rang A, т.е. ранг матрицы квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании переменных. Замечание. 1. Переход к новым переменным с помощью невырожденного линейного преобразования означает переход к новому базису в линейном пространстве. Верно и обратное: изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейному преобразованию переменных с невырожденной матрицей. 2. Эквивалентную квадратичную форму g(у1,у2,…,уn) в новых переменных у1,у2,…,уn следует рассматривать как квадратичную форму f(х1,х2,…,хn) в новом базисе. В связи с этим вместо g(у1,у2,…,уn) записывают f(у1,у2,…,уn). 3. Матрица В вида (11) – матрица квадратичной формы f (9) в новом базисе. преобразовать к новым переменным у1,у2,у3, где Решение 1. Составим матрицу квадратичной формы f: 3. Найдем матрицу квадратичной формы f в новом базисе по формуле где 4. Запишем вид квадратичной формы f в новом базисе: Вопрос 3. Канонический вид квадратичной формы О.3.1. Квадратичная форма f(х1,х2,…,хn), содержащая только квадраты переменных, называется квадратичной формой канонического вида: (12) Числа i (i =1,2,…,n) в выражении (12) называются каноническими коэффициентами квадратичной формы.
О.2.2. Базис пространства, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом квадратичной формы. Замечание. Замечание. - Приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться различными способами, поэтому канонический вид и канонический базис квадратичной формы определяются неоднозначно.
- В любом каноническом виде квадратичной формы число ненулевых канонических коэффициентов (слагаемых) постоянно и равно рангу квадратичной формы.
Т.3.1. Любую квадратичную форму, заданную в n-мерном линейном пространстве V, с помощью невырожденного линейного преобразования переменных можно привести к каноническому виду. Вопрос 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (1736 -1813) французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Крупнейший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала. Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики. Внёс огромный вклад в математический анализ, теорию чисел, в теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление. - Одним из методов приведения квадратичных форм к каноническому виду является метод Лагранжа, основная идея которого состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной.
- Для выделения полного квадрата по переменной хi необходимо, чтобы в квадратичной форме присутствовало слагаемое с квадратом этой переменной. Если в квадратичной форме членов с квадратами переменных нет, то выполняют специальное невырожденное линейное преобразование переменных так, чтобы в квадратичной форме появились члены с квадратами переменных.
1. Пусть в квадратичной форме (13) нет членов с квадратами переменных (все аii = 0), но она содержит хотя бы одно попарное произведение переменных (для некоторых номеров i и j коэффициент аij ≠ 0). получим, что член 2aijxixj квадратичной формы (13) примет вид т.е. в квадратичной форме появятся члены с квадратами переменных уi и уj, причем они не могут сократиться с другими членами квадратичной формы (в каждый другой ее член входит уk при k ≠ i, k ≠ j). 2. Пусть в квадратичной форме (13) есть член с квадратом переменной х1, т.е. а11 ≠ 0. Соберем в f все члены, содержащие х1, и дополним их сумму до полного квадрата. Получим Введем новые переменные по правилу В новых переменных квадратичная форма f принимает вид Результирующее преобразование переменных будет равно произведению последовательно выполненных преобразований переменных: где s n 1. Пример 4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму и указать невырожденное линейное преобразование переменных, осуществляющее такое преобразование квадратичной формы. Решение 1. Коэффициент при отличен от нуля (а11 = 1). Сгруппируем все члены квадратичной формы, содержащие х1, и выделим полный квадрат: 2. Найдем линейное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. 1-е преобразование: 2-е преобразование: 2-е преобразование: Результирующее преобразование: е1 = (1,0,0), е2 = (1,1,0), е3 = (0,1,1). 3. Проверка: = РТАР. В нашем случае: Карл Гу́став Я́коб Яко́би (1804 - 1851) - немецкий математик и механик. Внёс огромный вклад в комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики. Родной (младший) брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби. Пусть в базисе е = e1,e2,…,en квадратичная форма имеет вид где Пусть, далее, главные (угловые) миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, т.е. , ,…, (14) Тогда существует базис Тогда существует базис в котором квадратичная форма А(х,х) имеет канонический вид Процесс построения такого базиса совпадает с процессом ортогонализации в евклидовом пространстве, если в нем заменить скалярное произведение векторов произвольной билинейной формой А(х,у), удовлетворяющей условиям (14). Векторы канонического базиса Векторы канонического базиса находятся в виде: причем при k ≠ i, Пример 5. Методом Якоби привести к каноническому виду квадратичную форму и указать канонический базис, если первоначальный базис стандартный. Решение Решение 1. Составим матрицу квадратичной формы и найдем ее главные миноры: Так как все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, то ее можно привести к каноническому виду методом Якоби. 3. Найдем канонический базис квадратичной формы. Первоначальный базис (стандартный): е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1). 1) Найдем 11 из условия 11 = 1 2) 2) Найдем числа 21 и 22 из условий: 3) 3) Найдем числа 31, 32, 33 из условий: Канонический базис: состоит из столбцов координат векторов 5. Проверка осуществляется аналогично по формуле , где |
Скачать 0.78 Mb.