математика. Математика 1 курс 2 сем. Практическое занятие 6. Квадратные и иррациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Степенная, показательная и логарифмическая функции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Производная функции

• Название: Квадратные и иррациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Степенная, показательная и логарифмическая функции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Производная функции
• Анкор: математика
• Дата: 16.01.2023
• Размер: 1.2 Mb.
• Имя файла: Математика 1 курс 2 сем. Практическое занятие 6.doc
• Тип: Программа; #888683
• страница: 3 из 3

Задание 9.

Вычислите предложенные неопределенные интегралы, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты).



 Решение:



Представим исходный интеграл, как сумму интегралов:



Поочередно решим каждый интеграл, используя свойства интегралов:

1. 
   
   

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции. Также представим подкоренное выражение в виде значении со степенью:



Интеграл от хⁿ есть , когда n . Применим формулу:

2. 
   
   

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции. Также представим подкоренное выражение в виде значении со степенью:



Интеграл от хⁿ есть , когда n . Применим формулу:

3. 
   
   

Интеграл от хⁿ есть , когда n . Применим формулу:

4. 
   
   

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции.







Выражение -sin(x) подведем под знак дифференциала, т.е.:

(-sin(x))·dx=d (cos(x)); t=cos(x)

Тогда исходный интеграл можно записать так:



Делаем замену переменных: u=t+2

Тогда, по таблице простейших интегралов:





Возвращаемся к t:



Чтобы записать окончательный ответ, осталось вместо t подставить cos(x):



 Задание 10.

Вычислите площадь предложенной криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций f(x) и g(x), подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, отобразите графики функций и получившуюся фигуру, записывайте промежуточные результаты):

 

Решение:

График функции f(x)=x–1 – прямая. строим по двум точкам (0;–1) и (1;0)

График функции g(x)=x²–4x+3 – парабола, ветви вверх, вершина в точке (2; –1)

Найдем абсциссы точек пересечения графиков. Для этого приравняем значения с «х» друг к другу.

x–1=x²–4x+3

x²–5x+4=0. Получается квадратное уравнение. Находим дискриминант:



D=(5)²-4*1*3=25–16=9

Находим корни уравнения по формуле, используя дискриминант:



x₁=1; x₂=4

Применяем формулу: , a=x₁; b=x₂

S= ((x−1)−(x²−4x+3))dx= (x−1−x²+4x−3)dx= (5x−4−x²)dx=(5* −4x− ) =

=(5 −4⋅4− )−(5 −4⋅1− )=



Задание 11.

Решите предложенную задачу, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, отобразите графически полученное решение):

 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 6 см², а боковое ребро равно 4 см.

Решение:

В основаниях призмы Δ АВС и Δ A₁B₁C₁

По условию S_осн=S_{Δ АВС} =S_{Δ A1B1C1}

A A₁=ВВ₁=СС₁=H_призмы=4

В основании пирамиды A A₁B₁C₁
Δ A₁B₁C₁

H_{пирамиды}=H_призмы=4

V_{пирамиды A A1B1C1}=(1/3)S_осн·H=(1/3)·6·4=8

Задание 12.

Изучите предложенные исходные данные, полученные при измерении:

Номер измерения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Данные	1	1	2	2	4	4	4	5	5	5

Выполните задания с учетом исходных данных, подробно описывая ход вашего решения:

• 
  Построить полигон распределения.
  
• 
  Вычислить выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.
  
• 
  Построить выборочную функцию распределения.
  

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

Xi	1	2	4	5
ni	2	2	3	3

Таблица для расчета показателей.

Xi	Кол-во, fi	Xi·fi	Накопленная частота, S	|x-xср|·fi	(x-xср)2·fi	Относительная частота, fi/f
1	2	2	2	4.6	10.58	0.2
2	2	4	4	2.6	3.38	0.2
4	3	12	7	2.1	1.47	0.3
5	3	15	10	5.1	8.67	0.3
Итого	10	33		14.4	24.1	1

Построим полигон распределения, для этого на оси абсцисс отметим значения случайной величины, а на оси ординат – частоты значений случайной величины (кол-во повторений в ряду) и соединим точки линиями, получим:



Рассчитаем выборочную среднюю (среднюю взвешенную):



Дисперсия случайной величины найдём по формуле, значения возьмём из расчётной таблицы:



Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Имеются два показателя с одинаковым значением частоты f=3. Ряд имеет две моды, т.е. является бимодальным.

Медиана.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим xi, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 = 6. Это значение xi = 4. Таким образом, медиана равна 4.

Построим выборочную (эмпирическую) функцию распределения. Для этого возьмём данные из колонки «Относительная частота» расчётной таблицы и подсчитаем значения F(x):

F(x) = 0, при x<1

F(x) = 0.2, при 1 2

F(x) = 0.2+0.2=0.4, при 2 4

F(x) = 0.4+03=0.7, при 4 5

F(x) = 0.7+0.3=1, при x>5