Введение в компьютерное моделирование. Л. В. Горчаков в в в в е е д д е е н н и и е е в в к к о о м м п п ь ь ю ю т т е е р р н н о о е е м м о о д д е е л л и и р р о о в в а а н н и и е е учебное пособие

• Название: Л. В. Горчаков в в в в е е д д е е н н и и е е в в к к о о м м п п ь ь ю ю т т е е р р н н о о е е м м о о д д е е л л и и р р о о в в а а н н и и е е учебное пособие
• Дата: 13.04.2023
• Размер: 1.03 Mb.
• Имя файла: Введение в компьютерное моделирование.pdf
• Тип: Учебное пособие; #1059250
• страница: 6 из 9

6.2. Экспоненциальное распределение
Когда вероятность наступления события в малом интервале времени

t очень мала и не зависит от наступления других собы- тий, то интервалы времени между последовательными событиями распределены по экспоненциальному закону (рис. 17). Оно имеет плотность вероятности
 
ax
f x
e

 
с математическим ожидани- ем
1
  
и дисперсией
2 1
  
Рис. 17. Экспоненциальное распределение
Если в какой-либо ситуации с очередями появление клиентов име- ет пуассоновское распределение с параметром

, то интервалы времени между их появлениями имеют экспоненциальное распре- деление с параметром 1/

. Этому закону распределения подчиня- ются многие явления. Например, длительность телефонных пере- говоров, срок службы многих электронных деталей, время поступ- ления заказов на предприятие, время прибытия самолета в аэро- дром и т.д. Для генерирования случайных чисел, распределенных

58 по экспоненциальному закону, используем обратное преобразова- ние. Если случайная величина

имеет плотность распределения
 
f
x

, то распределение случайной величины

 
f
x dx



 

(42) является равномерным в [0, 1]. Следовательно нам нужно найти функциональную зависимость исходной случайной величины

и равномерно распределенной в [0, 1] величины

, т.е.



. Если уравнение (42) разрешить относительно

, то найдем

. Если
 
x
f
x
e


 
, то
0
i
x
i
e
dx


 


и интегрируя, получаем


1
ln 1
i
i
   
 
Поскольку распределение величины

i имеет тот же вид, что и рас- пределение


1
i
 
,
то последнее выражение можно записать в виде
1
ln
i
i
     
(43) и оно может быть использовано для генерации случайной величи- ны

i
. Тогда длина интервала между (i–1)-ым и i-м событиями за- дается формулой (43), а моменты поступления заявок в потоке определяются согласно формуле
1 0
1 2
1 2
1
,
,
,
k
k
k
t
t
t
t
t
t

  
  

 
(44)
Программа, генерирующая такие величины, имеет вид
10 INPUT “Введите параметр

“; L
20 A=RND(1)
30 X=-LN(A)/L
40 PRINT X
6.3. Пуассоновское распределение
Распределением Пуассона можно описать целый ряд реальных процессов. Если взять серию из n независимых испытаний по схеме
Бернулли (да–нет, успех–неудача и т. п.) с малой вероятностью по- явления событий в каждом из них, то с ростом n вероятность того,

59 что мы будем наблюдать появление событий х раз, подчиняется пуассоновскому закону распределения (рис. 18)
Рис. 18. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона имеет плотность вероятности
 
!
x
f x
e
x

 
с математическим ожиданием



и дисперсией



Этим распределением, например, описываются многие явления на определенном отрезке времени, например, количество пожаров, авиакатастроф, ураганов, крушений морских судов и т. д. Распре- деление Пуассона относится к числу дискретных (т.е. таких, при которых переменная может принимать лишь целочисленные значе- ния, включая нуль) с математическим ожиданием и дисперсией, равными

. В теории вероятностей показано, что если моменты по- явления событий на некотором временном интервале имеют экспо- ненциальное распределение, то число появлений событий, прихо- дящееся на каждый интервал, будет распределено по закону Пуас- сона. Отсюда следует метод вычисления значений переменных, подчиняющихся закону Пуассона – генерируются экспоненциально распределенные моменты наступления событий с математическим ожиданием 1, которые потом суммируются до тех пор, пока итог не превысит величину

. Т.е. производится генерирование случайных значений переменной r
i
, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1, до тех пор, пока не станет справедливым соотношение
1 0
0
x
x
i
i
i
i
r
e
r






 
(45)
Этот метод реализуется следующей программой
10 INPUT “Введите

“; L
20 A=EXP(-L)
30 S=1.0 40 RN=RND(1)

60 50 S=S*RN
60 IF(S-A)<0 THEN 90 70 X=X+1.0 80 GOTO 40 90 PRINT X
Когда вероятность некоторого события для одного временного интервала такая же, как для любого другого, а осуществление како- го-либо события не оказывает влияния на вероятность его повтор- ного появления, имеется веское основание ожидать распределение
Пуассона. Дополнительные основания для этого мы получаем, если в любом интервале времени имеет место высокая вероятность по- явления нулевого числа событий и если среднее число событий в каждом временном интервале мало.
6.4. Нормальное распределение
Нормальное, или гауссово, распределение (рис. 19) – это, несо- мненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания и характеризуется его величиной

и среднеквадратиче- ским отклонением

. Нормальное распределение имеет плотность вероятность
  



2 1 2
exp
2
f z
z



c математическим ожидани- ем 0 и дисперсией 1.
Рис. 19. Нормальное распределение
В литературе описывался целый ряд широко используемых ме- тодов генерирования нормального распределенных псевдослучай- ных чисел. Все они основаны на преобразовании


Z
X

  
, так

61 что генерируемая случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением 1. Переход к требуемому нормальному распределе- нию осуществляется с использованием соотношения
 
X
    
Для получения нормального распределения используют цен- тральную предельную теорему теории вероятностей. Если взять выборку объемом в n значений из совокупности распределенной с параметрами

и

, то сумма этих n значений будет асимптотиче- ски стремиться к нормальному распределению с математическим ожиданием n

и дисперсией n

при большом n. Если взять те же n значений из совокупности равномерно распределенной на интерва- ле [0, 1], то

= 1/2 и

= 12 и из суммы наших n величин мы мо- жем получить величину х, распределенную нормально с математи- ческим ожиданием n/2 и дисперсией n/12. Таким образом, если взять n = 12, то получим дисперсию х равную 1. Если из суммы вы- честь число 6, то математическое ожидание окажется равным 0.
Поэтому, если r
i
есть нормально распределенные случайные числа на интервале [0, 1], то можно вычислить значение случайной пере- менной, распределенной нормально с

= 0 и

= 1, по формуле
12 1
6
i
i
x
r




(46)
Тогда программа расчета такой величины будет иметь вид
10 INPUT “ВВЕДИТЕ МАТОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЮ”;EX,ST
20 S=0.0 30FOR I=1 TO 12 40A=RND(1)
50 S=S+A
60 X=ST*(S-6)+EX
70 PRINT X
Формулы и программы для других видов распределений (гео- метрического, биномиального, гипергеометрического) приведены в монографии [3].
Общий метод, пригодный для имитации 1) любого эмпириче- ского распределения, 2) любого дискретного распределения, 3) лю- бого непрерывного распределения, которое можно аппроксимиро- вать дискретным, может быть следующим. Пусть Х – дискретная

62 случайная величина, заданная формулой


i
i
P X
b
p


. Предпо- ложим, что Х можно описать при помощи распределения из табл. 8.
Таблица 8
b
i


i
i
p X
b
p


b
1 0,273 b
2 0,037 b
3 0,195 b
4 0,009 b
5 0,124 b
6 0,058 b
7 0,062 b
8 0,151 b
9 0,047 b
10 0,044
В памяти машины в ячейках с 1 по 1000 располагаем 273 величины
b
1
, 37 величин b
2
, 195 величин b
3
,..., 44 величины b
10
, Генерируем состоящее из трех цифр случайное число
1 2 3
r
d d d

,
причем
0 1000
r
 
. Число, расположенное в ячейке с номером r, присваи- вается переменной Х.
Задачи для самостоятельного решения
1. Размеры предприятия 60

150 метров. Бомбардировщик захо- дит на цель по середине длинной стороны. Точка прицеливания – центр. Фактическая точка попадания по горизонтали и по вертика- ли имеет отклонения х и у, которые распределены нормально с ну- левым средним значением. Среднеквадратичное отклонение 60 метров по х и 30 метров по у. При каждом заходе выпускается 6 ракет. Взяв объем выборки в 10 заходов, оцените среднее число попаданий при каждой атаке.
2. Число пожаров в сутки следует распределению Пуассона со средним значением 4 пожара в сутки. Данные представлены в табл. 9.

63
Таблица 9
Число пожаров
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Вероятность
0,02 0,07 0,15 0,20 0,20 0,16 0,10 0,06 0,03 0,02
В 75% случаев для тушения потребовалась 1 машина, а время не- обходимое для ликвидации пожара имеет нормальное распределе- ние с

= 3 часов и

= 0.5 часа. В остальных 25% требовалось две машины и время – с

= 4 часа и

= 1час. Определите, сколько ча- сов в среднем они бывают нужны каждые сутки. Объем выборки 10 суток.
3. Задача о продавце
Продавец газет покупает оптом в типографии газеты по 2 рубля за штуку и продает их по 3 рубля, непроданные в течение дня газе- ты пропадают. Из опыта продавец установил, что в среднем имеет- ся 10 покупателей в день и число их колеблется случайным обра- зом. Если вероятность покупки одинакова, то, сколько газет выгод- но покупать продавцу? Допустим, продавец приобретает k газет и имеется m покупателей. Если m k

, то будет продано m газет и доход будет 3 2
m
k

рублей. Если m
k

, то продается только k газет и доход будет k рублей. В общем случае для случайного про- цесса доход определяется по формуле


10 10 0
1 3
2 10
!
10
!
k
m
m
k
m
m k
E
m
k
e
m
k
e
m




 





(47)
Можно показать, что
 
10 10 1
0 1
2 10
!
10
!
k
m
m
k
k
m
m k
E
E
e
m
e
m





 






(48)
Используя
10 0
10
! 1
m
m
e
m





,
(49) можно преобразовать его к виду
10 1
0 1 3 10
!
k
m
k
k
m
E
E
e
m




 

(50)
Очевидно, что продавец будет покупать k + 1 газету, если
1 0
k
k
E
E



Поэтому число газет, которые он приобретает должно быть наименьшим значением k из всех k, при которых
1 0
k
k
E
E



Построим табл. 10 вида

64
Таблица 10
k
10 10
!
k
e
k

10 0
10
!
k
m
m
e
m



1
k
k
E
E


k
E
0 0,00005 0,00005 0,99985 0
1 0,00005 0,00005 0,9985 0,9999 7
0,0901 0,2203 0,3394 6,2784 8
0,1126 0,3329 0,0013 6,6088 9
0,1251 0,4580
-0,3737 6,6195 10 0,1251 0,5831
-0,7490 6,2485
Из таблицы видно, что продавец должен покупать только 9 газет и его доход ожидается равным 6,6 рубля. При покупке 10 газет доход меньше на 6% и убытки больше, если он не найдет 10 покупателей.
Проверьте с помощью Mathcad данные табл. 10.
7.
И
МИТАЦИОННОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений отно- сительно искомых величин. Достаточно имитировать сами явления, описываемые математической моделью, с сохранением их логиче- ской структуры, последовательности чередования во времени, фи- зическое содержание. «Имитировать» значит вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте.
По существу, каждая модель или представление вещи есть форма имитации. Когда имитационная модель строится для системы, вхо- ды и (или) функциональные соотношения между различными ком- понентами которой содержат элементы случайности, подчиняющи- еся вероятностным законам, то она называется имитационной сто- хастической моделью.
Имитационное моделирование полезно при наличии следующих условий:
1) не существует законченной математической задачи, либо еще не разработаны аналитические методы сформулированной ма- тематической задачи;
2) аналитические методы имеются, но математические про- цедуры столь сложны и трудоемки, что имитационная модель дает более простой способ решения;

65 3) аналитическое решение существует, но их реализация не- возможна из-за недостаточной компетенции персонала;
4) кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить наблюдение за ходом процесса в течение определен- ного периода;
5) имитационное моделирование единственно возможное из-за трудностей постановки эксперимента и наблюдений явлений в реальных условиях;
6) для долговременного действия систем или процессов мо- жет понадобиться замедление или ускорение явления в ходе экспе- римента (сжатие временной шкалы).
К достоинствам имитационной модели относят то, что она
1) позволяет экспериментально исследовать сложные внут- ренние взаимодействия в системе;
2) позволяет изучить воздействие на функционирование си- стемы внутренней и внешней обстановки;
3) позволяет лучше понять систему и изучить ее;
4) как педагогический прием для обучения студентов основ- ным навыкам теоретического анализа;
5) знания, полученные во время разработки модели, часто становятся источником изменений в самой имитируемой системе;
6) дает представление о том, какие из переменных системы наиболее существенны и как они взаимодействуют;
7) использовать для изучения новых ситуаций (подготовка к будущему);
8) служит предварительной проверкой новых стратегий и правил принятия решений;
9) позволяет сменить последовательность событий в систе- ме;
10) может служить для проверки аналитических решений;
11) позволяет изучить динамические системы в реальном времени;
12) использовать для предсказания узких мест и других труд- ностей, появляющихся в поведении системы при введении в нее новых элементов.
Все имитационные системы модели являются по существу чер- ным ящиком. Они обеспечивают выдачу входного сигнала, если на ее взаимодействующие подсистемы поступает входной сигнал. По-

66 этому для получения необходимой информации необходимо осу- ществлять «прогон» моделей, а не решать их. Имитационные моде- ли не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитической модели, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. Следова- тельно, имитационное моделирование это не теория, а методология решения проблемы.
Является ли имитационное моделирование наиболее эффектив- ным способом решения задач? Ответ является отрицательным по следующим причинам:
1) разработка хорошей имитационной модели очень дорога, длительна и требует высококвалифицированных специалистов;
2) полученная имитационная модель может не отражать ре- альное положение вещей;
3) имитационная модель в принципе не точна, и мы не в со- стоянии измерить степень этой неточности. Анализ чувствительно- сти модели к изменению определенных параметров лишь частично преодолевает это затруднение;
4) результаты, которые дает имитационная модель, обычно являются численными, а их точность определяется количеством знаков после запятой, выбранным экспериментатором.
Машинная имитация позволяет исследовать модель, как в опре- деленные моменты времени, так и в течение продолжительных пе- риодов времени (т.е. статическое и динамическое моделирование).
В первом случае необходимо ответить на вопрос, сколько раз надо повторить один частный имитационный эксперимент, чтобы до- стичь данного уровня статистической точности. Во втором случае необходимо ответить на вопрос, как долго надо проводить динами- ческую имитацию, чтобы любой статистический вывод относи- тельно поведения системы не был подвержен воздействию началь- ных условий или исходного состояния.
Большинство имитационных экспериментов с моделями явля- ются стохастической имитацией. Так как результаты, полученные при воспроизведении на имитационной стохастической модели, являются реализациями случайных процессов, то для нахождения устойчивых характеристик требуется его многократное воспроиз- ведение с последующей статистической обработкой. При реализа-

67 ции процессов в таких моделях необходимо имитировать воздей- ствие многочисленных случайных факторов сложной природы на различные элементы модели. Каждое такое воздействие на процесс в модели представляется «розыгрышем» случайного явления с по- мощью процедуры, дающей случайный результат. Множество та- ких реализаций в ходе одного варианта имитации дает одну реали- зацию процесса. Затем следует статистическая обработка для полу- чения характеристик процесса. Для построения имитационных мо- делей необходимо знать сущность метода статистических испыта- ний, способы расчета необходимого числа реализаций, алгоритмы имитации псевдослучайных чисел, имеющих типовые распределе- ния.
При имитационном эксперименте на ЭВМ с моделями следуют процедуре, состоящей из следующих этапов:
1) формулировка проблемы;
2) формулировка математической модели;
3) составление программы для ЭВМ;
4) оценка пригодности модели;
5) планирование эксперимента;
6) обработка результатов эксперимента.
Формулировка проблемы обычно состоит из формулировки целей эксперимента, которые формулируются либо в виде 1) вопросов, на которые надо ответить, либо 2) гипотез, которые нужно проверить, либо 3) воздействий, которые нужно оценить. При формулировке подготавливают не только вопросы, но и формулируют критерий оценки возможных ответов на них.
При формулировке математической модели
1) выбирают переменные модели (входные и выходные);
2) определяют степень сложности модели и связи.
Для оценки пригодности модели (адекватности) следует ответить на следующие вопросы:
1) нет ли в модели несущественных переменных, которые не улучшают нашу способность предсказывать поведение системы;
2) все ли существенные переменные включены в модель;
3) правильно ли сформулированы функциональные связи между входными и выходными переменными систем;
4) верно ли оценены параметры модели и уравнений;

68 5) являются ли оценки параметров модели статистически значи- мыми;
6) в какой степени совпадают теоретические величины, полу- ченные на основе ручного счета, с фактическими значениями.
При построении стохастических имитационных моделей необ- ходимо обеспечить возможность генерирования случайных вели- чин либо с помощью таблиц, либо по теоретическим законам рас- пределения вероятностей с требуемыми параметрами. Для этой це- ли используются случайные числа. Если имитационная модель просчитывается на ЭВМ, мы должны иметь возможность 1) полу- чать равномерно распределенные случайные числа, 2) использовать эти случайные для генерации случайных величин с требуемыми характеристиками. До появления ЭВМ в качестве генераторов слу- чайных чисел использовались механические устройства – колесо рулетки, специальные игральные кости и устройства, перемешива- ющие фишки с номерами. Недостатками таких устройств является
1) трудность построения таких устройств, из которых ЭВМ в лю- бое время могла бы случайное число, 2) невозможность повторного воспроизведения той же самой последовательности чисел для по- вторных прогонов. С помощью рекуррентных математических ме- тодов реализовано несколько алгоритмов генерирования псевдо- случайных чисел, которые мы рассмотрели в разделе 3. Краткое изложение необходимых сведений из теории вероятностей и мате- матической статистики представлено в приложении.