Лабораторная работа № 1. «Математические модели линейных стационарных систем управления». ЛР 1 МХТ 14. Лабораторная работа Математические модели линейных стационарных систем управления

• Название: Лабораторная работа Математические модели линейных стационарных систем управления
• Анкор: Лабораторная работа № 1. «Математические модели линейных стационарных систем управления
• Дата: 15.10.2021
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: ЛР 1 МХТ 14.doc
• Тип: Лабораторная работа; #248081

Лабораторная работа № 1.

«Математические модели линейных стационарных

систем управления»

Цель работы:изучить способы математического описания линейных систем управления, освоить основные приёмы моделирования систем управления в среде Simulink.

Приборы и оборудование:

- Компьютер совместимый с IBM PC,128-512 Мб. ОЗУ;

- Операционная система WINDOWS NT, XP, UNIX;

- Математический пакет MATLAB Version 7.*.

Форма отчётности студентов: индивидуальный отчёт с типовым титульным листом и результатами моделирования.

Длительность работы: 4 академических часа.

Защита работы: собеседование с преподавателем по контрольным вопросам, выполнение индивидуальных заданий.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Динамическая система – это весьма широкое понятие, которое охватывает разнообразные физические процессы, протекающие во времени и пространстве. Характер подобного процесса, его закон описывается некоторой системой дифференциальных уравнений (ДУ).

Система дифференциальных уравнений, описывающая некоторый пространственно-временной процесс, представляет собой математическую модель динамической системы.

Большой класс динамических систем описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Математические модели непрерывных линейных систем.

Классический метод исследования линейных непрерывных систем основан на составлении и последующем решении дифференциальных уравнений, связывающих координаты системы с поступающими воздействиями.

Для составления математической модели системы необходимо разбить её на звенья направленного действия.

Это звено может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции и назначения. Для получения общего уравнения системы рассматривают каждое звено в отдельности и составляют для него уравнения, связывающие вход и выход. Уравнение динамики каждого отдельного звена является предметом соответствующей научной дисциплины (динамика, механика, электротехника, теплофизика, химия и т.д.). Деление системы на отдельные звенья позволяет рассматривать выходной сигнал одного звена в качестве входного для последующего.

Дифференциальное уравнение – это первая форма записи математической модели системы. Для качественного анализа широко используются модели линейных систем в форме оператора связи между входом и выходом системы, что позволяет ввести вторую форму записи - передаточную функцию, которая позволяет решить дифференциальное уравнение алгебраически.

Математическая модель одной и той же системы может быть различной в зависимости от цели исследования. Математическая модель, с одной стороны, должна как можно полнее отражать свойства оригинала, с другой стороны, быть по возможности простой.

Математическое описание систем с помощью ДУ.

Рассмотрим детерминированную непрерывную стационарную динамическую систему, состоящую из звеньев, описываемых линейными диф. уравнениями с постоянными коэффициентами.

, (1)

Где - параметры системы при .

Число называется порядком диф. уравнения или порядком системы. Введём для для операции дифференцирования оператор дифференцирования , т.е. или , тогда уравнение (1)запишется в виде:

(2)

При записи и преобразовании ДУ оператор дифференцирования нужно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение как произведение, не обладающее свойством коммутативности.

Учитывая это замечание, вынесем и за скобки:

(3)

Т.о., мы перешли к форме записи ДУ, которая называется операторной или символической.

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами записывают в теории управления в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и её производные, записываются в левой части уравнения, а все остальные в правой. В правой части члены, содержащие входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент выносят за скобки. Коэффициенты при выходной и входной величине делают равным 1.

(4)

Введём обозначения: .

Это постоянные времени, которые характеризуют инерционные свойства системы.

- коэффициент передачи или передаточный коэффициент, который характеризует уровень сигнала на выходе системы.

Окончательно получаем уравнение (1) в стандартной форме:

(5)

Операторная передаточная функция

Вернёмся к уравнению (3) и введём обозначения:

.

Тогда уравнение (3) можно записать в компактной форме:

(6)

Оператор при выходной величине называется собственным оператором системы, оператор при входной величине – оператором воздействия. Уравнение (6) можно записать в виде:



Назовём отношение оператора воздействия к собственному оператору операторной передаточной функцией и будем обозначать

(7)

Уравнение (7) представляет вторую форму записи ДУ.

Замечание. Приведённые выше записи являются символическими, поскольку не дают решения исходного ДУ относительно выходной величины, т.к. не определена операция деления оператора на оператор.

Решить эту задачу позволяют правила операционного исчисления, основанные на преобразованиях Лапласа.

II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Объектом исследования в данной лабораторной работе являются аналитические формы представления динамических процессов, а целью – получение структурных математических моделей типовых линейных звеньев.

Модели линейных систем могут быть представлены аналитически в виде:

• 
  дифференциального уравнения n-го порядка;
  
• 
  системы n дифференциальных уравнений первого порядка;
  
• 
  передаточной функции, записанной в общем виде;
  
• 
  передаточной функции как соединении типовых передаточных функций элементарных звеньев.
  

Линейное дифференциальное уравнение вида (1) и (2) запишем в виде

(10)

где и - постоянные коэффициенты; - символ дифференцирования; - выходная, - входная переменные; для реальных систем .

Решение этого уравнения найдём для нулевых начальных условий

Передаточная функция имеет вид:


При для всех и дифференциальное уравнение записывается как , а передаточная функция имеет вид

. (11)

Выходную переменную можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной . Для этого потребуется последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от до . Старшая производная получается путём суммирования производных более низкого порядка.

Запись дифференциального уравнения (11) можно представить в виде

(12)

Рассмотренный метод моделирования называется методом математического моделирования систем управления путём понижения порядка производной.

III. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

Для проведения экспериментов необходимо открыть Simulink.СистемаSimulinkзапускается из среды MATLAB путём выбора указателем мыши пиктограммы Simulink на панели инструментов MATLAB. В результате появится окно SimulinkLibraryBrowser (Браузер главной библиотеки Simulink). При первом открытии из меню FileОкна библиотек выбрать пункт New подпункт Model. Имя окна (имя модели) задаётся по умолчанию – untitled. В этом окне строится модель системы в виде структурной схемы.

При двойном нажатии левой клавиши на пиктограммах в левой части окна SimulinkLibraryBrowser появляется список библиотек. При нажатии левой кнопки мыши на строке с наименованиями библиотеки блоков, в правой части окна появляется список блоков указанной библиотеки.

Для построения структурной схемы модели в окне с именем untitledизображения необходимых блоков перемещаются в окно модели из библиотек. Затем необходимо провести линии связи, для этого указатель мыши помещается на выходной порт блока, который обозначается угловой скобкой «>» на правой стороне изображения блока. При этом указатель примет вид креста. Далее, при нажатой левой кнопке мыши, указатель мыши перемещается к входному порту другого блока, он обозначается угловой скобкой «>», расположенной на левой стороне изображения блока. В случае верно выбранной точки входа указатель принимает вид двойного креста. Линия связи заканчивается стрелкой для индикации направления передачи сигнала.

В типовой модели используются блоки из следующих библиотек:

• 
  Continuous - элементы непрерывных систем (Integrator– интегратор, TransferFcn – передаточная функция);
  
• 
  Source – источники сигналов (Step – единичная ступенчатая функция);
  
• 
  Math operation – математические функции (Gain –усилитель, Sum – сумматор);
  
• 
  Sinks – средства регистрации (Scope – осциллограф, Display -дисплей);
  
• 
  Signal Routing – сигналы и системы (Mux – мультиплексор).
  

Для открытия библиотеки просто необходимо два раза щелкнуть мышью на значке этой библиотеки.

В процессе выполнения экспериментов необходимо сохранять все схемы в порядке следования экспериментов. Моделирование выполнять аккуратно.

Перед началом работы создать рабочее окно для проведения экспериментов, куда из соответствующих библиотек перенести необходимые для моделирования блоки: Integrator, Transfer Fcn, Step, Gain, Sum, Scope, Mux.
Эксперимент №1.

Моделирование усилительного звена

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид: .

Используя (12), получим выражение для выходной переменной .

Введём обозначения: , где К – коэффициент усиления. Передаточная функция системы будет иметь вид .

Рис 1.1. Структурная схема

Порядок выполнения эксперимента:

1. 
   Для получения выходного сигнала необходимо соединить последовательно блоки Step, Gain, Mux, Scope.
   
2. 
   На блоке Stepустановить время приложения сигнала «0».
   
3. 
   В теории управления на осциллографе обычно регистрируются входной и выходной сигналы, для того чтобы можно было увидеть изменение входного сигнала при прохождении его через систему. Для получения входного сигнала на осциллографе необходимо сигнал с блока Stepподать на один из входов блокаMuxи далее наScope.
   
4. 
   Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициента усиления. Коэффициент на блоке Gain может задаваться одним значением или в виде набора коэффициентов (в квадратных скобках через пробел).
   
5. 
   Добавить на блоке Muxещё один вход и подключить блок TransferFcnк набранной схеме.
   
6. 
   Получить модель усилительного звена с использованием блока TransferFcn, для этого необходимо открыть блок и установить коэффициенты числителя и знаменателя в соответствии с дифференциальным уравнением.
   
7. 
   Схему моделирования и графики сохранить в отчёте.
   

Внимание.

При выполнении последующих экспериментов полученную схему моделирования не разбирать, скопировать её и внести в неё необходимые изменения.

Эксперимент №2.

Моделирование интегрирующего звена

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид: .

Используя (12), получим выражение для старшей производной выходного сигнала

.

Введём обозначения: , тогда передаточная функция имеет вид: .



Рис. 1.2. Структурная схема

Порядок выполнения эксперимента:

1. 
   Скопировать схему из эксперимента №1 и добавить блок Integrator после блока Gain.
   
2. 
   Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициента усиления.
   
3. 
   Получить и исследовать модель интегрирующего звена с использованием блока TransferFcn.
   
4. 
   Подайте на вход интегратора синусоидальный сигнал и исследуйте реакцию системы.
   
5. 
   Схему моделирования и графики сохранить в отчёте.
   

Эксперимент №3

Моделирование апериодического звена первого порядка.

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид:

Используя (12), получим выражение для старшей производной выходной переменной





Рис. 1.3.1. Структурная схема апериодического звена.

Приведём дифференциальное уравнение к стандартной форме .

Введём обозначения: , , тогда операторная передаточная функция имеет вид , где К – коэффициент усиления звена, Т– постоянная времени звена.

Для получения модели используем внутренний сумматор и единичную обратную связь.



Рис. 1.3.2. Схема набора апериодического звена с использованием

внутреннего сумматора

1. 
   Скопируйте схему интегрирующего звена (убедитесь в отсутствии начальных условий на интеграторе), добавьте в неё после первого коэффициента усиления ( ) сумматор (+ -), ещё один коэффициент усиления ( ) перед интегратором. Охватить интегратор и усилитель единичной отрицательной обратной связью ( ).
   
2. 
   Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении сначала коэффициента при постоянстве , потом - при постоянстве .
   
3. 
   Получить и исследовать модель апериодического звена с использованием блока TransferFcn.
   

Возможен другой вариант моделирования апериодического звена первого порядка с использованием внешнего сумматора.



Рис. 1.3.3. Схема набора апериодического звена с использованием

внешнего сумматора.

4. 
   Собрать вторую схему моделирования. Исследовать влияние коэффициента усиления на динамические свойства системы. Полученные результаты сравнить с результатами исследования первой схемы.
   
5. 
   Схемы моделирования и графики сохранить в отчёте.
   

Эксперимент № 4.

Моделирование интегрирующего звена второго порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид: .



Рис. 1.4. Структурная схема интегрирующего звена второго порядка

1. 
   Скопируйте схему интегрирующего звена из эксперимента 2. Добавьте к схеме ещё один интегратор и получите схему моделирования рис. 1.4.
   
2. 
   Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициента .
   

Объясните полученный результат.

3. 
   Получить и исследуйте модель интегрирующего звена второго порядка с использованием блока TransferFcn.
   
4. 
   Схему моделирования и графики сохранить в отчёте.
   

Эксперимент № 5.

Моделирование консервативного звена

Дифференциальное уравнение звена имеет вид: .

Используя (12), получим выражение для старшей производной выходной переменной

.

Структурная модель этого звена показана на рис. 1.5.1



Рис. 1.5.1. Структурная схема консервативного звена

Для получения схемы набора звена необходимо использовать сумматор, два последовательно соединенных блока интегрирования, охваченных единичной отрицательной обратной связью.



Рис.1.5.2. Схема набора консервативного звена

1. Скопируйте схему апериодического звена из эксперимента 3. Добавьте к схеме ещё один интегратор.

2. Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициентов и .

3. Получить модель интегрирующего звена второго порядка с использованием блока TransferFcn.

4. Схему моделирования и графики сохранить в отчёте

Эксперимент № 6.

Моделирование колебательного звена

Дифференциальное уравнение звена с учетом (10) имеет вид:

.

Получим выражение для старшей производной выходной переменной

.



Рис. 1.6.1. Структурная схема колебательного звена


Рис 1.6.2. Первая схема набора колебательного звена

Возможен другой вариант модели колебательного звена на основе последовательного соединения интегрирующего и апериодического звена первого порядка, охваченных отрицательной единичной обратной связью.



Рис. 1.6.3. Вторая схема набора колебательного звена.

Порядок выполнения эксперимента:

1. 
   Скопируйте схему звена из эксперимента 5. Добавьте к схеме ещё один сумматор между первым интегратором и вторым коэффициентом усиления и получите схему моделирования 1.6.3.
   
2. 
   Исследуйте изменение выходного сигнала при изменении коэффициентов и .
   
3. 
   Получить и исследовать модель колебательного звена с использованием блока TransferFcn.
   
4. 
   Схемы моделирования и графики сохранить в отчёте.
   

IV. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА.

1. 
   Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев;
   
2. 
   Схемы моделирования в Simulink;
   
3. 
   Осциллограммы проведенных экспериментов с обозначением входных и выходных сигналов, выводы по ним.
   

V. ВОПРОСЫ ДЛЯ СОБЕСЕДОВАНИЯ.

1. 
   Назовите виды математических моделей дифференциальных уравнений.
   
2. 
   Почему для моделирования систем используются блоки интегрирования?
   
3. 
   В чём заключается стандартная форма записи дифференциального уравнения в теории управления?
   
4. 
   Дайте определение математической модели динамической системы.
   
5. 
   Объясните принцип составления модели «вход-выход».
   
6. 
   Какой метод моделирования систем используется в работе?
   
7. 
   Что характеризует коэффициент усиления в стандартной форме записи?
   
8. 
   Что характеризует постоянная времени в стандартной форме записи?
   
9. 
   Студент должен уметь составлять схему моделирования дифференциального уравнения по заданию преподавателя.
   
10. 
    Какие модели линейных систем были использованы при выполнении лабораторной работы?