Лабораторная работа 1. Методические указания к лабораторной работе 1.01. Лабораторная работа 01 Исследование распределения случайной величины Содержание
 Скачать 215.4 Kb.
|
|
Физический факультет ФТМФ ИТМО Лабораторная работа № 1.01 Исследование распределения случайной величины Содержание Введение 2 Экспериментальная установка 9 Проведение измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Обработка результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 https://study.physics.itmo.ru Цели работы 1. Исследование распределения случайной величины на примере многократных измерений определённого интервала времени. Задачи 1. Провести многократные измерения определенного интервала времени. 2. Построить гистограмму распределения результатов измерения. 3. Вычислить среднее значение и дисперсию полученной выбор- ки. 4. Сравнить гистограмму с графиком функции Гаусса с такими же как и у экспериментального распределения средним значением и дисперсией. Введение Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и на первый взгляд беспорядочно. Так, при бросании игральной кости (кубик с нумерованными гранями) мо- жет выпасть любое число от 1 до 6. Радиоактивное ядро может распасться в любую наперед избранную секунду, время жизни ядра до распада — случайная величина. При массовом изго- товлении любой продукции все изделия оказываются не вполне идентичными по параметрам. Таким образом, те или иные пара- метры для совокупности таких изделий также являются случай- ными величинами. Результат каждого отдельного измерения случайной величи- ны непредсказуем. Но при многократном повторении измерений в неизменных условиях совокупность их результатов описывает- ся статистическими закономерностями. Если бросать игральную 2 Физический факультет ФТМФ ИТМО кость сотни раз, каждое определенное число (например, два) вы- падает примерно в 1/6 части общего числа попыток; для радио- активного вещества, содержащего очень большое число одинако- вых ядер, можно надежно предсказать число распадов за любой (но не слишком малый) наперед заданный промежуток времени. Удается подметить закономерности и в распределении по тому или иному параметру изделий, изготовляемых в массовом произ- водстве по определенной технологии. Наряду со случайными встречаются величины неслучайные. Таковы прежде всего фундаментальные физические постоянные: скорость света в вакууме, заряд и масса электрона и т.п. К неслучайным величинам относятся и свойства конкретного об- разца в конкретных условиях, например, его плотность или теп- лоемкость. Но когда в реальном эксперименте измеряется даже неслучайная величина, из-за совместного действия многочислен- ных неконтролируемых причин результат отдельного измерения подвергается искажениям и становится величиной случайной. По- этому изучение статистических закономерностей служит одной из основ теории и практики физического и инженерного экспери- мента. Часто принимается, что результаты многократных измере- ний описываются функцией Гаусса (см. ниже) — так называемым законом нормального распределения. В этой работе необходимо получить выборку (выборочную совокупность) для дискретной случайной величины и исследовать закон распределения этой случайной величины. В качестве ис- следуемой случайной величины выбран результат измерения за- данного промежутка времени. При помощи обычных часов с се- кундной стрелкой или стрелочного секундомера задают некото- рый промежуток 𝑡 времени и многократно измеряют его доста- 3 https://study.physics.itmo.ru точно точным цифровым секундомером. Закономерности в рас- пределении значений созданной таким образом случайной вели- чины можно надежно выявить при соблюдении двух условий: 1. число измерений достаточно велико; 2. чувствительность хронометра достаточна для регистрации из- менений 𝑡 от опыта к опытy. Обычно при задании человеком промежутка времени по секун- домеру разброс 𝑡 не превышает нескольких десятых секунды, следовательно, на табло цифрового хронометра должны высвечи- ваться сотые и тысячные секунды. Регистрация следующих раз- рядов бесполезна и лишь усложняет обработку данных. Законо- мерности распределения значений изучаемой случайной величины становятся наглядными, если построить гистограмму - ступенча- тую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появ- ляются значения, попадающие в тот или иной из равных интер- валов ∆𝑡, лежащих между наименьшим 𝑡 𝑚𝑖𝑛 и наибольшим 𝑡 𝑚𝑎𝑥 из измеренных значений величины 𝑡. Гистограмму строят в сле- дующих координатах (см. рис. 1 ): ось абсцисс — измеряемая величина 𝑡, ось ординат — значения Δ𝑁 𝑁 Δ𝑡 Здесь 𝑁 - полное количество измерений, ∆𝑁 - количество результатов, попавших в интервал [𝑡; 𝑡 + ∆𝑡]. Частное Δ𝑁 𝑁 есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характери- зует вероятность попадания в него результата отдельного изме- рения. Отношение этой величины к ширине интервала ∆𝑡 харак- теризует некоторую «плотность вероятности». При очень большом числе измерений (𝑁 → ∞) весь диапазон значений 𝑡 в принципе можно разбить на «бесконечно малые» интервалы 𝑑𝑡 и подсчитать число результатов 𝑑𝑁 в каждом из них. Тогда вместо ступен- чатой гистограммы получится плавная кривая соответствующая 4 Физический факультет ФТМФ ИТМО 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 𝜌(𝑡) Р ИС . 1. Гистограмма и функция Гаусса новой функции 𝑡: 𝜌 (𝑡) = lim 𝑁 →∞ Δ𝑡→0 ∆𝑁 𝑁 ∆𝑡 = 1 𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝑡 (1) Функцию 𝜌(𝑡) называют плотностью вероятности или законом распределения исследуемой величины. Нормальное распределение описывается функцией Гаусса: 𝜌 (𝑡) = 1 𝜎 √ 2𝜋 exp (︃ − (𝑡 − ⟨𝑡⟩) 2 2𝜎 2 )︃ (2) Как следует из формулы ( 2 ), вид нормального распределения определяется значениями двух параметров: математическим ожи- данием ⟨𝑡⟩ и среднеквадратичным (стандартным) отклонением 𝜎. Нормальное распределение симметрично относительно вертикали с абсциссой ⟨𝑡⟩. Параметр 𝜎 характеризует «ширину» распре- деления: как несложно убедиться, точки перегиба графика нор- 5 https://study.physics.itmo.ru мального распределения (в них вторая производная функции 𝜌 (𝑡) обращается в ноль) отстоят от линии симметрии графика именно на 𝜎. Чтобы сравнить исследуемое вами распределение с нормаль- ным, проще всего, найти по данным измерений параметры ⟨𝑡⟩ и 𝜎 (приближенно, так как число измерений ограничено), вычислить для них функцию 𝜌(𝑡) по формуле ( 2 ) и построить ее в тех же координатах, что и гистограмму (см. рис. 1 ). Строго говоря, параметры ⟨𝑡⟩ и 𝜎 могут быть определены только на основе результатов бесконечно большого числа изме- рений (генеральной совокупности). Однако, в соответствии с тео- рией вероятности из выборочной совокупности, содержащей 𝑁 значений случайной величины (𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡 3 , . . . 𝑡 𝑁 ) , можно найти при- ближенные значений этих параметров: выборочное среднее как среднеарифметическое всех результатов измерений: ⟨𝑡⟩ 𝑁 = 1 𝑁 (𝑡 1 + 𝑡 2 + ... + 𝑡 𝑁 ) = 1 𝑁 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 𝑡 𝑖 (3) и выборочное среднеквадратичное отклонение 𝜎 𝑁 = ⎯ ⎸ ⎸ ⎷ 1 𝑁 − 1 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 (𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 ) 2 (4) В пределе величины ⟨𝑡⟩ 𝑁 и 𝜎 𝑁 стремятся к ⟨𝑡⟩ и 𝜎, соответ- ственно. Из формулы ( 2 ) сразу видно, что плотность нормального рас- пределения имеет максимум при 𝑡 = ⟨𝑡⟩ и симметрична отно- сительно этого значения: следует ожидать, что примерно так же будет выглядеть гистограмма. Можно сравнить максимальную 6 Физический факультет ФТМФ ИТМО «высоту» гистограммы и 𝜌 𝑚𝑎𝑥 (𝑡) : 𝜌 max = 1 𝜎 √ 2𝜋 (5) Последнее соотношение получается, если в ( 2 ) положить 𝑡 = ⟨𝑡⟩. Для количественной проверки того, насколько хорошо по- лученные результаты описываются нормальным распределением, воспользуемся соотношением для вероятности попадания резуль- тата измерения в интервал [𝑡 1 , 𝑡 2 ] : 𝑃 (𝑡 1 < 𝑡 < 𝑡 2 ) = 𝑡 2 ∫︁ 𝑡 1 𝜌(𝑡)𝑑𝑡 ≈ 𝑁 12 𝑁 (6) Смысл соотношения ( 6 ) заключается в том, что вероятность 𝑃 (𝑡 1 < 𝑡 < 𝑡 2 ) попадания результата каждого измерения в интер- вал [𝑡 1 ; 𝑡 2 ] , с одной стороны, может быть вычислена как интеграл функции распределения в этих пределах, а с другой — найде- на, как относительное число измерений 𝑁 12 , результаты которых попали в этот интервал. В случае наиболее употребительных на практике интервалов (так называемых стандартных) эта вероятность при условии ре- ализации нормального распределения случайной величины имеет следующие значения: 𝑡 ∈ [⟨𝑡⟩ − 𝜎, ⟨𝑡⟩ + 𝜎] , 𝑃 𝜎 ≊ 0,683 𝑡 ∈ [⟨𝑡⟩ − 2𝜎, ⟨𝑡⟩ + 2𝜎] , 𝑃 2𝜎 ≊ 0,954 𝑡 ∈ [⟨𝑡⟩ − 3𝜎, ⟨𝑡⟩ + 3𝜎] , 𝑃 3𝜎 ≊ 0,997 (7) Из экспериментальной выборки объема 𝑁 можно найти при- ближенные значения вероятностей ( 7 ), как отношения Δ𝑁 𝜎 𝑁 , Δ𝑁 2𝜎 𝑁 , 7 https://study.physics.itmo.ru Δ𝑁 3𝜎 𝑁 , где ∆𝑁 𝜎 , ∆𝑁 2𝜎 , ∆𝑁 3𝜎 — количества результатов измере- ний, попавших в интервалы [⟨𝑡⟩ 𝑁 − 𝜎 𝑁 , ⟨𝑡⟩ 𝑁 + 𝜎 𝑁 ] , [⟨𝑡⟩ 𝑁 − 2𝜎 𝑁 , ⟨𝑡⟩ 𝑁 + 2𝜎 𝑁 ] , [⟨𝑡⟩ 𝑁 − 3𝜎 𝑁 , ⟨𝑡⟩ 𝑁 + 3𝜎 𝑁 ] , (8) соответственно. 8 Физический факультет ФТМФ ИТМО Экспериментальная установка В работе используются устройство или прибор, в котором происходит периодический процесс с частотой порядка несколь- ких десятых долей герца (часы с секундной стрелкой, стрелочный секундомер, математический или физический маятник) и цифро- вой секундомер, с ценой деления не более 0,01 с. Первый прибор задает интервал времени, который многократно измеряется циф- ровым секундомером. 9 https://study.physics.itmo.ru Проведение измерений 1. Выберите устанавливаемый по часам или секундомеру проме- жуток времени: рекомендуется целое число секунд от 5 до 10. Многократно устанавливая этот промежуток времени, проведите не менее 50 измерений. Результат каждого измерения (показания цифрового хронометра) заносите во второй столбец Табл. 1 10 Физический факультет ФТМФ ИТМО Обработка результатов 1. Постройте гистограмму, выполнив для этого следующие опе- рации: – отыщите в Табл. 1 наименьший 𝑡 𝑚𝑖𝑛 и наибольший 𝑡 𝑚𝑎𝑥 из результатов измерений; – промежуток [𝑡 𝑚𝑖𝑛 ; 𝑡 𝑚𝑎𝑥 ] разбейте на 𝑚 равных интервалов ∆𝑡, соблюдая следующие условия; 𝑚 должно быть целым, близким к √ 𝑁 (напомним, 𝑁 - полное число измерений). Измеренные зна- чения 𝑡 𝑚𝑖𝑛 и 𝑡 𝑚𝑎𝑥 должны попадать внутрь «крайних» интервалов; граничные значения, разделяющие соседние интервалы, должны быть по возможности «круглыми» числами — это облегчит по- строение гистограммы. Границы выбранных интервалов заносите в первый столбец Табл. 2 (см. Приложение). – подсчитайте число результатов измерений ∆𝑁 𝑖 , из Табл. 1 , по- павших в каждый из интервалов ∆𝑡, заполнив таким образом второй столбец Табл. 2 ; – вычислите опытное значение плотности вероятности (третий столбец Табл. 2 ); – постройте на миллиметровой бумаге гистограмму. 2. По данным Табл. 1 с помощью формул ( 3 ) и ( 4 ) вычислите выборочное значение среднего ⟨𝑡⟩ 𝑁 и выборочное среднеквадра- тичное отклонение 𝜎 𝑁 3. Запишите результаты в «подвал» Табл. 1 Вычисление 𝑁 ∑︀ 𝑖=1 (𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 ) хороший способ контроля правильно- сти нахождения ⟨𝑡⟩ 𝑁 4. По формуле ( 5 ) вычислите максимальное значение плотно- сти распределения 𝜌 𝑚𝑎𝑥 , соответствующее 𝑡 = ⟨𝑡⟩, занесите его в «подвал» Табл. 1 11 https://study.physics.itmo.ru 5. Найдите значения 𝑡, соответствующие серединам выбранных ранее интервалов, занесите их в четвертый столбец Табл. 2 . Для этих значений, используя параметры ⟨𝑡⟩ 𝑁 и 𝜎 𝑁 в качестве ⟨𝑡⟩ и 𝜎 , вычислите по формуле ( 2 ) значения плотности распределения 𝜌 (𝑡) , занесите их в пятый столбец Табл. 2 . Нанесите все рас- четные точки на график, на котором изображена гистограмма, и проводите через них плавную кривую. 6. Проверьте, насколько точно выполняется в ваших опытах со- отношение между вероятностями ( 7 ) и долями Δ𝑁 𝜎 𝑁 , Δ𝑁 2𝜎 𝑁 , Δ𝑁 3𝜎 𝑁 Для этого вычислите границы интервалов ( 8 ) для найденных ва- ми значений ⟨𝑡⟩ 𝑁 и 𝜎 𝑁 , занесите их во второй и третий столбцы Табл. 3 (см. Приложение). 7. По данным Табл. 1 подсчитайте и занесите в Табл. 3 количе- ство ∆𝑁 измерений, попадающих в каждый из этих интервалов, и отношение Δ𝑁 𝑁 этого количества к общему числу измерений. Сравните их с соответствующими нормальному распределению значениями 𝑃 вероятности ( 7 ). 8. Рассчитайте среднеквадратичное отклонение среднего значения по формуле: 𝜎 ⟨𝑡⟩ = ⎯ ⎸ ⎸ ⎷ 1 𝑁 (𝑁 − 1) 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 (𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 ) 2 (9) 9. Найдите табличное значение коэффициента Стьюдента 𝑡 𝛼,𝑁 для доверительной вероятности 𝛼 = 0,95. Запишите доверительный интервал для измеряемого в работе промежутка времени. ∆𝑡 = 𝑡 𝛼,𝑁 · 𝜎 ⟨𝑡⟩ , (10) где 𝑡 𝛼,𝑁 — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа изме- 12 Физический факультет ФТМФ ИТМО рений 𝑁 и доверительной вероятности 𝛼: 𝛼 = 𝑃 (𝑡 ∈ [⟨𝑡⟩ − ∆𝑡, ⟨𝑡⟩ + ∆𝑡]) . (11) В отчет по лабораторной работе должны входить: • Среднее арифметическое всех результатов измерений, выбо- рочное среднеквадратичное отклонение и максимальное значение плотности распределения • График, на котором изображены гистограмма и функция плот- ности распределния • Среднеквадратичное отклонение среднего значения и довери- тельный интервал 13 https://study.physics.itmo.ru Контрольные вопросы 1. Являются ли, по вашему мнению, случайными следующие фи- зические величины: – плотность алмаза при 20 ∘ 𝐶 – напряжение сети – сопротивление резистора, взятого наугад из партии с одним и тем же номинальным сопротивлением – число молекул в 1см 3 при нормальных условиях? Приведите другие примеры случайных и неслучайных физических величин. 2. Изучая распределение ЭДС партии электрических батареек, студент использовал цифровой вольтметр. После нескольких из- мерений получились такие результаты (в вольтах): 1,50; 1,49; 1,50 ; 1,50; 1,49. Имеет ли смысл продолжать измерения? Что бы вы изменили в методике этого эксперимента? 3. При обработке результатов измерений емкости партии кон- денсаторов получено: ⟨𝐶⟩ = 1,1 мкФ, 𝜎 = 0,1 мкФ. Если взять коробку со 100 конденсаторами из этой партии, то сколько среди них можно ожидать конденсаторов с емкостью меньше 1 мкФ? больше 1,3 мкФ? 4. Как изменяется коэффициент Стьюдента при возростании ко- личества измерений? 5. Как зависит коэффициент Стьюдента от доверительной веро- ятности? 6. В чем отличие среднеквадратичного отколения среднего зна- чения от среднеквадратичного отклонения выборки? 7. Обязательно ли в данной работе должно получиться распре- делние, близкое к нормальному? Почему? 14 Физический факультет ФТМФ ИТМО Литература 1. Методическое пособие «Обработка экспериментальных дан- ных» / Курепин В.В., Баранов И.В., под ред. В.А. Самолетова, 2012. 2. Элементарные оценки ошибок измерений / Зайдель А.Н., Изд. 3-е испр. и доп. Л., "Наука Ленинградское отделение, 1968. 3. Практическая физика / Сквайрс Дж., М.: Мир, 1971. 15 https://study.physics.itmo.ru Приложение Таблица 1: Результаты прямых измерений № 𝑡 𝑖 , с 𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 , с (𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 ) 2 , с 2 1 2 50 ⟨𝑡⟩ 𝑁 = . . . с 𝑁 ∑︀ 𝑖=1 (𝑡 𝑖 − ⟨𝑡⟩ 𝑁 ) = . . . с 𝜎 𝑁 = . . . с 𝜌 𝑚𝑎𝑥 = . . . с -1 16 Физический факультет ФТМФ ИТМО Таблица 2: Данные для построения гистограммы Границы интервалов, c ∆𝑁 Δ𝑁 𝑁 Δ𝑡 , c -1 𝑡 , c 𝜌 , c -1 17 https://study.physics.itmo.ru Таблица 3: Стандартные доверительные интервалы Интервал, c ∆𝑁 ∆𝑁 𝑁 𝑃 от до ⟨𝑡⟩ 𝑁 ± 𝜎 𝑁 ⟨𝑡⟩ 𝑁 ± 2𝜎 𝑁 ⟨𝑡⟩ 𝑁 ± 3𝜎 𝑁 18 |