Лабораторная работа 1 изучение затухающих механических колебаний пружинного маятника цель работы

• Название: Лабораторная работа 1 изучение затухающих механических колебаний пружинного маятника цель работы
• Дата: 07.12.2022
• Размер: 0.55 Mb.
• Имя файла: Lab_rab_FKIVP.doc
• Тип: Лабораторная работа; #832137
• страница: 2 из 2

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

С обственные колебания происходят в изолированной системе после подействовавшего на нее внешнего возмущения. Название собственные колебания означает, что процесс колебаний в этом случае определяется свойствами самой системы. Энергия колебаний доставляется системе извне в начальный момент возбуждения коле­баний. Если энергия постоянно подводится к системе, то колебания, возникающие в ней, называются вынужденными. Электромагнитные колебания изучаются с помощью колебательного контура, состоящего из конденсатора C, катушки индуктивности L и активного сопротив­ления R. Различают последовательный (рис.1) и параллельный (рис.2) колебательные контуры.

Р ассмотрим процесс собственных колебаний. Начальные условия, при которых возникают собственные колебания, определяют на­чальную фазу процесса и амплитуду колебаний. Процесс электромагнитных колнбаний в контуре заключается в периодической переза­рядке конденсатора и в протекании переменного тока в цепи, замы­кающей пластины конденсатора. При этом электростатическая энергия поля заряженного конденсатора переходит в энергию магнитного поля тока, протекающего через катушку индуктивности, и обратно. Из-за активного сопротивления, имеющегося в реальном контуре (провода и т.п.), разряд конденсатора не является абсолютно периодическим процессом. Амплитуда напряжения на конденсаторе после каждой его перезарядки становится все меньше; амплитуда тока тоже убывает. В дальнейшем мы будем изучать последовательный колебательный контур.

Ток, текущий в колебательном контуре, считается квазистационарным, т.е. таким, когда во всех элементах последовательной электрической цепи его значение в данный момент одинаково. Мгно­венное значение напряжения на конденсаторе такое же, как и при тех же, но неизменных во времени зарядах на его пластинах. Для мгновенных значений квазистационарных токов справедливы законы, установленные для цепей постоянного тока.

Внешняя электродвижущая сила создает в цепи переменное напряжение, изменяющееся по косинусоидальному закону:

E = E_ocos(wt), (1)

где t - время, Е_о - э.д.с. в начальный момент времени, w = 2pu – круговая частота, u - частота.

Сила тока в контуре I связана с зарядом Q и разностью потенциалов U на конденсаторе соотношением
I = = - C , (2)
где Q = CU есть заряд конденсатора; знак минус указывает на то, что положительным мы считаем то направление тока, которое соответствует убыли разности потенциалов на пластинах конденсатора. Изменение силы тока во времени вызывает электродвижущую силу са­моиндукции в катушке, равную

E_c = - L = LC . (3)

Из закона Ома следует

U + E_c - IR = E.

Подставляя в это уравнение формулы (1), (2) и (3), получим

U + LC + RC = E_o× cos(wt). (4)

Разделим уравнение (4) на LC и введем обозначения

(w_o)² = 1/(LC), b = R/(2L).

После преобразований получим дифференциальное уравнение, являющееся уравнением колебательного контура:

+ 2b + (w_o²)U = E_o(w_o²)cos(wt). (5)

При отсутствии внешней электродвижущей силы
+ 2b + (w_o²)U = 0. (6)

Уравнение (6) есть уравнение собственных колебаний в конту­ре. Его решение будет иметь вид:

U = U₀e^-btcos(w_ot + j_o) (7)

где U₀ и j_o - константы, зависящие от начальных условий.

Для идеального контура ( R = b = 0 ) уравнение (6) упрощается и его решение в этом случае

U = U₀cos(w_ot + j_o), (7a)

где w₀ = 1/(LC) - собственная частота идеального контура.

Формула (7) описывает затухающие гармонические колебания с периодом



(8)

Если R достаточно мало по сравнению с L (контур близок к идеальному), то получим формулу

T_o º = 2p , (8a)

определяющую период колебаний в контуре без затухания (формула Томпсона).

Формулы (7) и (7a) определяют зависимости U(t) при затухающих и незатухающих колебаниях (рис.3).

Величина b, определяющая степень затухания, называется ко­эффициентом затухания. На практике вместо нее обычно использует­ся другая мера затухания, называемая логарифмическим декрементом затухания g:

g º ln , (9)

где U_n и U_n+1 - величины двух последовательных амплитуд, отстающих друг от друга на один период. Т.к. U_n+1 = U_ne^-bT, то g = ln(U_n/U_n+1) = bT = (R/(2L))T.

Логарифмический декремент затухания связан с числом полных колебаний N, совершаемых за время t, зависимостью

g = bT = = .
Величина Q = pN называется добротностью колебательного контура. При малом затухании (b² << w₀²) добротность можно вычислить по формуле:
Q = pN = = » = .
Отсюда следует, что чем меньше R и чем больше L, тем меньше затухание, тем ближе кривая (7) к синусоиде (7a). При значительном возрастании R затухание, так же как и период, увеличивается. Начиная с R = 2 , когда выражение (8) обращается в бесконечность, процесс становится апериодическим.

В настоящей работе исследуются вынужденные колебания в пос­ледовательном колебательном контуре, соединенном с источником электродвижущей силы переменной частоты.

Вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение (5) описывает процесс изменения напряжения на конденсаторе колебательного контура при наличии омического сопротивления и внешней косинусоидальной периодической электродвижущей силы. Его решение можно представить как сумму общего решения однородного уравнения (6) и частного ре­шения уравнения (5). Общее решение уравнения (5) - уравнение затухающих колебаний. При t >> t = 1/b эта часть решения исчезнет; следовательно, она отражает переходный процесс, определен­ный начальными условиями и параметрами контура. Не зависящие от начальных условий установившиеся колебания в цепи определяются частным решением, которое ищем в виде
U = U_o cos (wt - j ), (10)
где U_o и j подлежат определению.

После подстановки (10) в (5) получим
-U_ow²cos(wt-j)-2bU_owsin(wt-j)+w_o²U_ocos(wt-j)=E_ow_o²cos(wt). (11)
Равенство (11) должно сохраняться в любой момент времени t.

При wt = p/2 уравнение (11) переходит в

-U_ow²sin(j)-2bU_owcos(j)+w_o²U_osin(j)=0,

откуда

tgj = 2bw/(w_o² - b²). (12)

При wt = 0 получим соотношение

-U_ow²cosj + 2bwU_osinj + w_o²U_ocosj = E_o²w_o²,

позволяющее после несложных преобразований отыскать амплитуду установившихся колебаний:

U_o = . (13)

При найденных значениях амплитуды U_o и фазы j уравнение (10) представляет собой зависимость напряжения на конденсаторе колебательного контура при вынужденных колебаниях от времени. Сила тока в контуре равна

I = -C = CU₀W sin(Wt-j) = CU₀W cos(Wt-j₁), (14)

где j₁ = p/2 + j - разность фаз между силой тока и приложенным к контуру напряжением.

Амплитуда силы тока в контуре равна I₀ = CU₀W или

I₀ = . (15)
Зависимость разности фаз j₁ и амплитуды силы тока I₀ от частоты W внешнего источника представлена на рис. 4 и 5. Сдвиг фаз j₁ между силой тока в контуре и внешней электродвижущей силой при W = w₀ равен нулю. При W > w₀ сила тока отстает по фазе от напряжения и опережает напряжение, если W < w₀. Амплитуда силы тока возрастает при приближении частоты источника электродвижущей силы к собственной частоте контура w₀. Это явление назы­вается резонансом в электрической цепи, а кривые (рис. 4) - резонансными кривыми. Величина максимума зависит от b: при b = 0 (R = 0) I_0m ® ¥ ( кривая 1); при возрастании b максимальное значение I_0m уменьшается (кривые 2 и 3).

Острота резонансной кривой связана с добротностью колеба­тельного контура: Q = p¤g = w¤(2b). Найдем ширину DW резонансной кривой на высоте I_0m/Ö2 (рис.5). Из формулы (15) следует, что максимальное значение силы тока
I_0m = E₀Сw₀²/(2b), (15а)
I₀ = . (16)

П ри I₀ = I_0m/Ö2 формула (16) перейдет в (17):

. (17)

Равенство (17) выполняется при 2bW = w₀² - W². Вблизи резонанса можно принять W » w₀, w + W » 2w₀, а w₀ - W = DW/2; следовательно,
2bw₀ = (w₀ - W)(w₀ + W) = (DW¤2)2w₀.
Отсюда DW¤w₀ = 2b¤w₀ » 1¤Q, так как при малом затухании b « w₀ и w » w₀. Относительная ширина резонансной кривой DW¤w₀ на высоте I_0m/Ö2 при малом затухании равна величине, обратной добротности колебания контура.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Описание установки.

Экспериментальная установка представляет собой последовательный колебательный контур (рис.1) с включенным в него амперметром. Роль активного сопротивления играют лампы накаливания различной мощности. Емкость конденсатора и индуктивность катушки также могут варьироваться. Источником переменного тока служит генератор Г3-33.
Проведение эксперимента.

1). Включить генератор. Установить по вольтметру генератора напряжение 1 В.

2). Включить установку, предварительно соединив последовательно активное сопротивление, конденсатор и катушку индуктивности.

3). Снять зависимость тока в цепи от частоты переменного тока, меняя частоту генератора с интервалом 5 Гц, начиная с 20 Гц. Результаты измерений занести в таблицу 1.

4). Повторить измерения, меняя активное сопротивление цепи и емкость конденсатора.

5). Результаты измерений занести в таблицы, аналогичные таблице 1.

n,Гц
W, рад/с
I0, mA

Таблица 1.
Обработка результатов эксперимента.

1). Откладывая по оси Х частоту вынуждающей силы W, а по оси Y силу тока I₀, построить графики I₀(W) для различных значений R при определенных значениях C и L.

2). Построить графики I₀(W) для различных значений С при определенных значениях R и L.

3). По графикам определить резонансную частоту w₀, ширину резонансной кривой DW и оценить добротность контура Q.

4). По формуле (15а) определить значение величины b и найти индуктивность L.

5). Вычислить относительные погрешности измерений w₀ и определить значение величины Q, b и L.

Контрольные вопросы

1). Дайте определение колебательного контура и расскажите о процессах, происходящих в нем.

2). Что называется добротностью контура?

3). При каких условиях в контуре будут происходить колебания?

4). Дайте определение резонанса и расскажите об условии его наблюдения.

5). При каких значениях активного сопротивления контура резонанс в нем проявляется наиболее ярко?