СТРУКТУРНЫЙ И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПЛОСКИХ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ. лаб 2. Лабораторная работа 2 структурный и кинематический анализ и синтез плоских кулачковых механизмов
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. УСТИНОВА Кафедра системы приводов, мехатроника и робототехника (И8)  Лабораторная работа №2 СТРУКТУРНЫЙ И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПЛОСКИХ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
Санкт-Петербург 2022 г Структурный анализ механизма Исследуется плоский кулачковый механизм с вращающимся кулачком, прямолинейно движущимся толкателем, с силовым замыканием, с роликовым контактом между кулачком и толкателем. Его структурная схема представлена на картинке, где 1 – кулачок, 2 – толкатель, 3 – стойка, 4 – ролик   Звенья этого механизма образуют три кинематические пары: 1) кулачок со стойкой – плоский шарнир 5-го класса; 2) толкатель со стойкой – поступательная кинематическая пара 5-го класса; 3) кулачок с толкателем – кинематическая пара 4-го класса. Число степеней свободы по формуле Чебышева для плоских механизмов определяется по схеме на рис. 2.1,б: W = 3n – 2p5 – p4 = 3⋅2 – 2⋅2 – 1 = 1, где n – количество подвижных звеньев, p5 и p4 – количество кинематических пар 5-го и 4-го класса соответственно 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА Кинематический анализ производится экспериментально-аналитически. Функцию S(φ1) положения толкателя 2 в зависимости от угла поворота кулачка 1 получаем экспериментально в виде таблицы с шагом 10° по углу поворота кулачка. Результаты эксперимента представлены в таблице
Полагая, что кулачок вращается с постоянной угловой скоростью ω1 = 23 рад/с, следовательно, φ1 = ω1*t, получаем функцию положения от времени S(t). Δϕ1 рад = Δϕ1°/180 = 10/180 = 0,17453 рад. Вычислим шаг таблицы по времени: : Δt = Δϕ1 рад /ω1 = 0,17453/23 = 0,007588 с. Для аналитической обработки функции S(t) проводим её аппроксимацию и фильтрацию пятью методами. Обработку данных эксперимента выполним с помощью программы ApproxFSP.exe 3.1. Аппроксимация функции положения тригонометрическим рядом Фурье В этом случае функцию S(t) разлагаем в ряд Фурье и дифференцированием ряда определяем зависимость скорости v(t) и ускорения а(t) ползуна. При этом необходимо решить вопрос об оптимальном числе членов ряда. Разложение функции в ряд Фурье означает её приближенную замену тригонометрическим полиномом, являющимся суммой ряда  где Aj, Bj – коэффициенты ряда, pj = 2π j/T– частоты, по которым производится разложение, T =2π/ω1 = 2π/23 = 0,27 с – время полного оборота кулачка; 2 2 Cj = (Aj + Bj)^(1/2) – амплитуда j-й гармоники, αj – её фаза, m – число членов ряда. В данном случае функция S(t) задана таблицей значений в конечном числе точек n = 36, поэтому максимальное число членов ряда mmax = n/2 = 36/2 = 18. Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье при табличном задании функции [2]:  На первом этапе разложим S(t) в ряд с максимально возможным числом членов m = 18. Результаты представлены на рис. 3.1 и в табл. 3.2. В этом случае значения ряда Фурье в узлах близки к данным эксперимента, но в промежутках между узлами наблюдаются волнообразные отклонения, особенно заметные на графиках производных. В частности, на фазах ближнего и дальнего выстоя скорость и ускорение должны быть равны нулю, а аппроксимирующая функция осциллирует. Во многих случаях возникает потребность в сглаживании такого рода зависимостей.   Оценим значимость членов ряда с помощью амплитудного спектра функции,   Анализ амплитудного спектра исследуемой функции показывает, что основными частотами, присутствующими в ней, являются первые шесть, однако исследования, проведённые с помощью программы ApproxFSP, показали, что наилучшая аппроксимация получается при учете первых десяти частот. Результаты представлены на рис. 3.3 и в табл. 3.4. Функция аппроксимирована удовлетворительно на всем участке. Первая производная (скорость толкателя) удовлетворительно аппроксимирована на фазах удаления и возврата, на фазах выстоя заметны погрешности. Вторая производная (ускорения толкателя) аппроксимирована неудовлетворительно. Аппроксимирующее выражение (3.1) для данной функции с учетом первых пяти членов ряда приобретает вид SФ(t) = 0,01947 + 0,009845 sin(18t -1,4684) + 0,005657 sin(36t -1,4468) + 0,002345 sin(54t +0,0435) + 0,0009667 sin(72t -0,2561) + 0,0005363 sin(90t +0.2810)  3.2. Фильтрация функции с помощью скользящих средних Скользящие средние являются одним из простейших цифровых фильтров. Сглаженная (отфильтрованная) функция получается путём вычисления средних арифметических значений по указанному числу точек. При этом первые и последние точки в таблице отфильтрованной функции сохраняют свои значения. В данном исследовании функция задана в 36 точках: S0, S1, S2,…S36. Далее мы строим скользящие средние по трем точкам, и отфильтрованными значениями функции будут: Sф0 = S0; Sф1 = (S0 + S1 + S2)/3; Sф2 = (S1 + S2 + S3)/3; … Sф35 = (S34 + S35 + S36)/3; Sф36 = S36. Исследования, проведенные с помощью программы ApproxFSP, показали, что увеличение числа точек, по которым вычисляются средние, приводит к увеличению погрешности аппроксимации самой функции на фазе дальнего выстоя, а существенного улучшения сглаживания на фазах удаления и возврата при этом не происходит. Оптимальным в данном случае можно признать сглаживание по трём точкам.  Оценим качество фильтрации. Функция аппроксимирована удовлетворительно, со сглаживанием. Первая производная аппроксимирована в целом удовлетворительно за исключением начала фазы удаления. Вторая производная сглажена неудовлетворительно. Кроме того, на графиках производных начальное значения не равно конечному, в то время как в данном случае они должны быть равны по физическому смыслу этих функций   3.3. Применение интерполяционного сплайна Интерполяционный кубический сплайн – это совокупность полиномов третьей степени: SСi(t) = Si + bi(t – ti) + ci(t – ti) 2 + di(t – ti) 3 , (3.3) где Si – значения аппроксимируемой функции в узлах, ti – значения аргумента в узлах, 푏푖, 푐푖, 푑푖 – коэффициенты сплайна для i-го участка, i = 0,1,2, … n–1– номер участка, n – число точек в таблице, считая с нуля. Построение такого сплайна состоит в определении коэффициентов bi, ci, di. Тогда для каждого i-го участка по формуле (3.3) можно найти значение сплайна SСi(t) для любого ti ≤ t ≤ ti+1, которое и будет приближённым значением функции S(t). Алгоритм построения сплайна вида (3.3) описан в работах [4, 5]. Дифференцированием аппроксимирующей функции (3.3) определяется скорость звена: v(t) ≈ vСi(t) = bi + 2ci(t – ti)+ 3di(t – ti) 2 , (3.4) в частности, значения производной в узлах v(t) ≈ bi . Результаты аппроксимации представлены на рис. 3.5 и в табл. 3.6. Как и следует из названия, этот сплайн дает интерполирующую аппроксимацию. Операция сглаживания с его помощью невозможна. Этот метод целесообразно применять в тех случаях, когда аппроксимирующую функцию надо проводить в точности по исходным точкам. Здесь на графиках производных также наблюдается неравенство значений производных в крайних точках.   3.4. Применение сглаживающего сплайна Для построения сглаживающего сплайна формируется так называемый “коридор” (рис. 3.6), т.е. для каждой точки задается максимально и минимально допустимое значение функции, а сам сплайн строится так, чтобы его график проходил между точками этого коридора, минимизируя энергию изгиба. Коридор, показанный на рис. 3.6, сформирован так, чтобы “закрепить” начальную точку и точки на фазах дальнего и ближнего выстоя. Результаты показаны на рис. 3.7 и в табл. 3.7. Функция аппроксимирована удовлетворительно, со сглаживанием. Однако на графиках производных проявляется основной недостаток – неравенство начального и конечного значений, в то время как функция в данном случае периодична по своей сути.    3.5. Аппроксимация функции полиномами, коэффициенты которых определены по методу наименьших квадратов (МНК) По этому методу искомую гладкую функцию строят в виде суммы простых аналитических функций, выбор которых является отдельной не тривиальной задачей. В данной программе используется самая простая – система степенных функций: 1, t, t 2 , t 3 , … , так, что нужная гладкая функция получается в виде полинома: SП(t) = b0 + b1t + b2t 2 + b3t 3 + … + bnt m , (3.5) где m – задаваемая пользователем степень полинома. Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальной степени полинома m и коэффициентов bi таких, чтобы график SП(t), получаемый по формуле (3.5), проходил между точками исходной функции, минимизируя среднеквадратическое отклонение значений исходной функции от значений полинома (3.5). Исследования, проведённые с помощью программы ApproxFSP, показали, что наилучшие результаты получаются для степени полинома m = 16. При этом решать систему уравнений при определении коэффициентов bi следует с помощью обращения матрицы системы. На рис. 3.8 показаны результаты аппроксимации. Функция аппроксимирована удовлетворительно на фазах удаления и возврата, но неудовлетворительно на фазах ближнего и дальнего выстоя. Данный вариант аппроксимации следует признать неприемлемым, поэтому зависимости скорости и ускорения не приводим.    Вывод: С помощью структурного анализа механизма мы определили: количество звеньев, количество и типы кинематических пар, наличия пассивных связей, вычисления чисел степеней свободы. Мы определили кинематические параметры движения (перемещение, скорость, ускорение), связанные друг с другом как первообразные и производные функции. Функции скорости и ускорения мы получили с помощью математической обработки Функция аппроксимировалась пятью методами, четыре из которых позволяют сглаживать функции. Сглаживание может быть необходимо, например, в тех случаях, когда функция искажена погрешностями эксперимента. Ряд Фурье позволяет производить как интерполирующую, так и сглаживающую аппроксимацию. Для сглаживающей аппроксимации следует при разложении учитывать лишь первые основные частоты, что определяется по амплитудному спектру. Тригонометрические ряды Фурье хорошо аппроксимируют гладкие периодические функции. С помощью скользящих средних удовлетворительно выполнена сглаживающая аппроксимация самой функции, несколько хуже – первой производной и неудовлетворительно – второй производной. Интерполяционные сплайны целесообразно применять в тех случаях, когда аппроксимирующую функцию надо проводить в точности по исходным точкам. При использовании сглаживающего сплайна функция ушла от экспериментальных значений. Литература 1. Лавров В.Ю. Введение в теорию механизмов и машин (ТММ): учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2016. 151 с. 2. Лавров В.Ю. Курсовое проектирование по теории машин и механизмов в среде программы Mechanic: учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2013. 32 с. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||