ЛР 3. Решение задачи Коши в примере на теплопроводность. Лабораторная работа 3. Решение задачи Коши в примерена теплопроводность Цель работы ознакомление с методами моделирования процесса теплообмена через стенку и с расчетом теплообменных аппаратов на эвм.
 Скачать 432.08 Kb.
|
|
Лабораторная работа №3. Решение задачи Коши в примерена теплопроводность Цель работы ознакомление с методами моделирования процесса теплообмена через стенку и с расчетом теплообменных аппаратов на ЭВМ. Форма сдачи отчета файл .doc, в котором описаны ваши шаги по решению лабораторной работы и расчетный файл .xls, оформленный по образцу. Теоретические положения Процесс передачи тепла через стенку весьма распространен в химической технологии и значительно влияет на протекание химических реакции во всех типах реакторов. Процесс передачи тепла в теплообменной аппаратуре является основными служит для сообщения технологическому потоку нужной температуры. Выбирая различные способы оформления реакторов, можно влиять на интенсивность теплообмена между основным (реакционным) потоком и потоком хладоагента или окружающей средой. При полном отсутствии теплообмена через стенку получают адиабатический реактор. Реакторы, имеющие теплообмен с внешней средой, относятся к политропическим. При рассмотрении процесса передачи тепла от одного теплоносителя к другому через стенку можно выделить несколько элементарных этапов переход тепла от горячего теплоносителя к более холодной стенке, поглощение тепла материалом стенки и ее нагрев, распределение тепла по объему стенки, переход тепла от стенки к холодному теплоносителю. Если процесс теплообмена протекает стационарно, то температура в каждой точке материала (теплоносителей и стенки) не изменяется во времени. Применение модели с сосредоточенными параметрами (те. когда пространственные координаты не входят в математическое описание) приводит к алгебраическим соотношениям между температурами в системе. Если, наоборот, температуры меняются во времени, математическое описание получается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (аргументом является время. Зависимость температур от геометрических координат обуславливает математическое описание статики в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (если пространственная координата одна) или дифференциальных уравнений в частных производных. Независимыми переменными при этом являются пространственные координаты. Динамическая модель при наличии пространственно- распределенных эффектов описывается уравнениями в частных производных, причем одной из независимых переменных является время. Интенсивность перехода тепла от одного теплоносителя (например, горячего потока жидкости или газа) к другому (стенке) зависит от разности температур между ними, а также от теплового сопротивления. В расчетные уравнения, однако, обычно включают не сопротивление, а обратную величину - коэффициент теплоотдачи а – тепловой поток (ккал/ч или Вт) через поверхность площадью 1 м 2 при разности температур (температурном напоре) 1 градус. Полный тепловой поток q определяется произведением коэффициента теплоотдачи а на поверхность F и на температурный напор T Δ : T F q Δ α = (1) Уравнение (1) применимо как к нагреванию стенки от горячей жидкости, таки, наоборот, к нагреванию холодной жидкости горячей стенкой при этом T Δ будет иметь разные знаки. Если пренебречь распространением тепла в стенке, то теплопередачу от горячего потока жидкости к холодному, находящемуся по другую сторону стенки, можно представить как процесс преодоления тепловым потоком двух последовательных сопротивлений теплоотдачи - от горячего потока к стенке и от нагревшейся стенки к холодному потоку. Используя вместо сопротивлений коэффициенты теплоотдачи ( 1 α и 2 α ), получаем выражение, определяющее коэффициент теплопередачи (k): 2 1 / 1 / 1 / 1 α + α = k (2) В практических расчетах часто используют коэффициент теплопередачи как характеристику интенсивности теплообмена между потоками T kF q Δ = (3) В тех случаях, когда коэффициенты теплоотдачи учитываются порознь, принимают усредненную температуру стенки, разделяющей потоки. Иными словами, считают, что теплопроводность материала стенки настолько велика, что перепад температуры отсутствует. Коэффициенты теплоотдачи зависят от многих параметров, но наиболее сильно - от скорости потока, характера набегания жидкости на стенку, плотности и теплопроводности жидкости. При выполнении точных расчетов зависимость коэффициента теплоотдачи от параметров потока следует учитывать. Однако для большинства инженерных расчетов теплообменной аппаратуры и реакторов достаточны упрощенные представления. Для вывода уравнений математического описания процесса теплообмена через стенку следует рассмотреть тепловой баланс каждой среды, имеющей запас тепла. Он складывается из прихода и расхода тепла, которые определяют накопление тепла в объеме накопление является временным процессом накопление = приход - расход. В статике ввиду равенства прихода и расхода тепла накопление равно нулю. Накопление связано с изменением температуры или для элементарного объема 1 SdTd c P ρ , где - плотность с Р - удельная теплоемкость V - объем S - сечение потока d1 - элементарный участок потока. Приходи расход тепла может определяться теплоотдачей (теплопередачей, а в случае проточной системы с распределенными параметрами - притоком и уносом тепла с конвективным потоком. Количество тепла, поступающее в аппарат с конвективным потоком определяется как τ υρ или для элементарного объема за элементарное время : τ d τ υρ Td c P , где - объемный расход потока. υ 26 Количество тепла, уходящее из рассматриваемого объема с конвективным потоком определяется следующим выражением или для элементарного объема Приход тепла, определяемый теплопередачей τ − V Т T V F k ВН ) ( или для элементарного объема за элементарное время τ − d d Т T V FS k ВН 1 ) ( , где Т ВН - температура внешнего теплоносителя. С учетом полученных соотношений, накопление тепла в системе составит с с - υρ с ρ( T+ ΔT)τ+kF(Tвн-T)τ или в элементарном объеме за элементарное время τ − + τ − υρ − τ υρ = ρ d d T T V FS k d dT T c Td c SdTd c ВН P P P 1 ) ( ) ( 1 Проведя несложные преобразования, получим уравнение теплового баланса, описывающего динамику теплообменников, во всем объеме которых происходит полное (идеальное) смешение частиц потока ) ( ) ( 0 T T kF T T c dt dT V c ВН P P − + − υρ = ρ , (4) где Т, Т - температура потока на входе ив зоне идеального смешения. Соответственно для трубчатых теплообменников, работающих по принципу вытеснения, уравнение динамики будет выглядеть следующим образом ρс ρ ∂T/∂t=(-υρс ρ /S)* ∂T/∂l+kF(Tвн-T)/V (5) Ввиду того, что в статическом режиме накопление тепла в системе равно нулю, модель статики теплообменников смешения будет иметь вид 0 ) ( ) ( 0 = − + − υρ Т T kF T T с ВН P , (6) статика трубчатых теплообменников описывается уравнением 27 l T d kFS T BH T d ( − ) ρCρuV , (7) где f - периметр поверхности теплообмена. Пример 1: Теплообменник представляет собой тонкостенный змеевик, по которому в режиме идеального вытеснения движется охлаждаемый поток жидкости. Змеевик погружен вводу, непрерывно протекающую через сосуд, так что температура охлаждающей воды ТВН практически постоянна и равна С во всем объеме. Требуется определить температуру на выходе потока, идущего по змеевику со скоростью u = 4 мс, если температура его на входе равна С, длина трубки змеевикам, его сечением, коэффициент теплопередачи k = 1,16 × 10 4 Вт/(°С м ). Теплоемкость охлаждаемой жидкости Р = 2,93 × 103 Дж/(°С × кг, ее плотность кг/м3. Параметры считать независящими от температуры изменение объема не учитывать. Режим работы считать стационарным. Температура охлаждаемого потока Т подчиняется дифференциальному уравнению (7): l T d d 2 k πrS T BH T − ( ) ρCρuV , (8) где 1 - длина, r - радиус змеевика, Su = υ - объемный расход потока. Начальное условие для уравнения (8) Т) = 95° С. Вычислим коэффициент уравнения 12 , 0 4 10 10 93 , 2 900 14 , 3 / 10 14 , 3 10 16 , 1 2 2 4 3 4 4 = × × × × × × × = ρ π π = α − − Su c Sl k P м -1 Уравнение (8) подлежит решению в пределах изменения независимой переменной 1 от 0 дом. Решение представлено на рис. 1. Температура на выходе потока составила С. 28 Рис. 1. Профиль температуры по длине теплообменника теплообменника Пример 2: Жидкость охлаждается в теплообменнике типа "труба в трубе. Охлаждаемая жидкость и хладоагент движутся параллельно (прямотоком. Требуется определить температуры потоков на выходе теплообменника, если начальная температура охлаждаемой жидкости равна 170° С, а хладоагента 15° С. Плотность охлаждаемой жидкости и хладоагента ρ = 900 кг/м3. Диаметры труб теплообменника внутренней D 1 = 0.01 м, наружной (для хладоагента) D 2 = 0,03 м. Длина теплообменникам. Теплоемкость жидкости и хладоагента с Р = 3.35 × 10 3 Дж/(°С × кг. Объемный расход охлаждаемой жидкости = 2.28 × 10 -4 мс, 1 υ хладоагента = 5.75 × 10 -4 мс, коэффициент теплопередачи k = 4900 2 υ Вт/(м 2 ×°С). Температурный профиль по длине для каждого из потоков определяется решением системы дифференциальных уравнений ) ( 1 1 2 1 1 1 1 1 T T c D k d dT P − υ ρ π = (9) ) ( 1 2 1 2 2 2 1 2 T T c D k d dT P − υ ρ π = (10) где T 1 и Т - температура охлаждаемой и охлаждающей жидкости. Начальные условия Т 1 (0)=170°С; Т 2 (0)=15°С. После подстановки в уравнения (9) и (10) численных значений параметров получаем следующую систему dT 1 /dl = 2.24(T 2 − T 1 ) dT 2 /dl = 0.885(T 1 – T 2 ) 29 Графики решения системы уравнений математического описания статики теплообменника представлены на рис. 2. На нем изображены температурные профили вдоль теплообменника для обоих теплоносителей. Можно видеть, что движущая сила процесса сильно меняется по длине, поэтому эффективность использования различных участков теплообменника неодинакова. Температуры теплоносителей на выходе теплообменника равны T1(L) = СТ С. Решение дифференциальных уравнений в программе Excel. Для получения однозначного решения системы дифференциальных уравнений должны быть заданы дополнительные условия. Их должно быть задано столько, каков порядок решаемой системы. Если все эти условия задаются водной точке, те. при одном значении Х=Х0, то такая задача называется задачей Коши. Эти дополнительные условия называются начальными условиями, а Х - называется начальной точкой. Покажем применение метода Рунге- Кутта четвертого порядка для решения задачи Коши системы двух уравнений вида Начальные условия зададим в виде Хи Х. Запишем формулы Рунге-Кутта для приближенного решения этой системы. { 𝑌 𝑖+1 = 𝑌 𝑖 + ℎ 𝐾 1 + 2𝐾 2 + 2𝐾 3 + 𝐾 4 6 , 𝑍 𝑖+1 = 𝑍 𝑖 + ℎ 𝐿 1 + 2𝐿 2 + 2𝐿 3 + 𝐿 4 где В этих формулах i = 0,1,2,...,n-1. Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так Ход работы 1. Получить варианту преподавателя. Во всех вариантах шаг h=0,1. 2. Получить систему дифференциальных уравнений. 3. Опираясь на расчетный файл, приложенный к методическому указанию, решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с шагом h и h/2. 4. Построить два графика распределения температур при разных шагах. На графике подписать оси и легенды линий. 5. Посчитать по формуле погрешность измерения для T 1 и T 2 6. Оформить отчет, в котором прописать свои основные шаги при решении лабораторной работы. Варианты работы № D 1 , м ρ 1 , кг/м 3 ρ2, кг/м 3 С p1 , кДж/(кг×⁰С) С, кДж/(кг×⁰С) V 1 , мм, м T 1 (0), К T 2 (0), К 1 0.01 900 750 4330 5140 2,08 4,12 1 212 15 2 0.02 600 450 3270 5230 3,44 5,21 1,5 620 25 3 0.03 200 480 1020 3120 29,2 24,5 2 193 15 4 0.015 515 200 3270 4780 52,2 2,74 1,8 620 10 5 0.025 700 960 3920 4770 54,8 61,8 2,1 500 18 6 0.035 800 300 2560 2680 3,12 4,05 1,9 450 17 7 0.01 900 750 4350 5140 2,08 4,012 1 670 25 8 0.02 600 450 3270 5230 3,44 5,21 1,1 212 15 9 0.03 200 480 1020 3120 29,2 24,5 1,2 193 25 10 0.015 700 200 4350 4780 52,2 2,74 2 620 16 11 0.025 515 960 3920 4770 54,8 61,8 1,3 500 11 12 0.035 800 300 250 2680 3,12 4,05 2 450 14 |