Лабораторная работа 3 Вариант 35б численное интегрирование Вычислить интеграл с точностью 10 4
 Скачать 135.5 Kb.
|
|
Лабораторная работа №3 Вариант 35Б Численное интегрирование Вычислить интеграл с точностью = 10 –4 методами прямоугольников, трапеций и Симпсона. 1.  2.  Оценка погрешности :   Методом Симпсона провести вычисление при n = 8. Решение 1. Вычислим интеграл по формуле прямоугольников  ,Формула прямоугольников с предельной абсолютной погрешностью Rn:  Здесь перед yi коэффициенты = 1 Нам задана точность вычислений ε = 10-4. Пользуясь правилом Рунге для оценки погрешности подберем n – число разбиений. Шаг h должен удовлетворять условию  . Пусть h = 0.099, тогда n посчитаем в ячейке I3 n = 55. Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х (ячейки В2:В57). В ячейку С2 вводим формулу  (=LN(1+(B2^2)/10,5) и маркером заполнения копируем в С3:С57. В ячейках D2:D57 вводим коэффициенты при yi, общей формулы прямоугольников В ячейку D58 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2:C57;D2:D57)*B3 для вычисления интеграла Результаты вычислений приведены в табл. 1. Таблица 1     Точное значение интеграла равно 3,187959 (посчитали в маткад). Относительная погрешность составляет  = 0,021339Вычислим интеграл по формуле трапеций ,используя разбиение отрезка на n = 55 частей для достижения заданной точности. Формула трапеций с предельной абсолютной погрешностью Rn:  (первый и последний коэффициент =0,5 потому что  Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х. В ячейку С2 вводим формулу  (=LN(1+(B2^2)/10,5) и маркером заполнения копируем в С3:С57. В ячейках D2:D57 вводим коэффициенты при yi, общей формулы трапеций. В ячейку D58 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2:C57;D2:D57)*B3 Результаты вычислений приведены в табл. 2. Таблица 2   Точное значение интеграла равно 3,187959. Относительная погрешность составляет  = 0,0000705955Вычислим интеграл по формуле Симпсона ,используя разбиение отрезка на n = 8 частей (по заданию) Формула Симпсона с предельной абсолютной погрешностью Rn:  Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х с шагом 0,6875. В ячейку С2 вводим формулу (=LN(1+(B2^2)/10,5) и маркером заполнения копируем в C3:C10. В ячейках D2:D10 вводим коэффициенты при yi, общей формулы Симпсона. В ячейку D11 введем формулу для вычисления интеграла по формуле Симпсона: =СУММПРОИЗВ(C2:C10;D2:D10)*(B3/3)   Результаты вычислений приведены в табл. 3.Таблица 3  Точное значение интеграла равно 3.187959 Относительная погрешность составляет  = 0,00000001362. Вычислим интеграл по формуле прямоугольников  ,Формула прямоугольников с предельной абсолютной погрешностью Rn: Здесь перед yi коэффициенты = 1 Нам задана точность вычислений ε = 10-4. Пользуясь правилом Рунге для оценки погрешности подберем n – число разбиений. Шаг h должен удовлетворять условию . Пусть h = 0.05, тогда n посчитаем в ячейке I3 n = 19. Мы возьмем n = 20.Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х (ячейки В2:В22). В ячейку С2 вводим формулу  (=(1/B2)*EXP(1,05*B2)) и маркером заполнения копируем в С3:С22. В ячейках D2:D22 вводим коэффициенты при yi, общей формулы прямоугольников В ячейку D23 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2:C22;D2:D22)*G6 для вычисления интеграла Результаты вычислений приведены в табл. 1. Таблица 1  Точное значение интеграла равно 5,450236. Относительная погрешность составляет  = 0,052302.Вычислим интеграл по формуле трапеций ,используя разбиение отрезка на n = 30 частей, чтобы достичь заданную точность Формула трапеций с предельной абсолютной погрешностью Rn: (первый и последний коэффициент =0,5 потому что Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х. В ячейку С2 вводим формулу (=(1/B2)*EXP(1,05*B2)) и маркером заполнения копируем в С3:С22. В ячейках D2:D22 вводим коэффициенты при yi, общей формулы трапеций. В ячейку D23 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2:C39;D2:D39)*G4. Результаты вычислений приведены в табл. 2. Таблица 2   Точное значение интеграла равно 5,450236. Относительная погрешность составляет  = 0,0001108804Вычислим интеграл по формуле Симпсона ,используя разбиение отрезка на n = 8 частей (по заданию) Формула Симпсона с предельной абсолютной погрешностью Rn: Решение в программе Excel. В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х с шагом 0,11875. В ячейку С2 вводим формулу =(1/B2)*EXP(1,05*B2) и маркером заполнения копируем в C3:C10. В ячейках D2:D10 вводим коэффициенты при yi, общей формулы Симпсона. В ячейку D11 введем формулу для вычисления интеграла по формуле Симпсона: =СУММПРОИЗВ(C2:C10;D2:D10)*(H5/3) Результаты вычислений приведены в табл. 3.Таблица 3  Точное значение интеграла равно 5,450236. Относительная погрешность составляет  = 0,0000005345 |