Моделирование. Лабораторная работа 5-2023. Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных величин, обработка результатов моделирования

• Название: Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных величин, обработка результатов моделирования
• Анкор: Моделирование
• Дата: 14.05.2023
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: Лабораторная работа 5-2023.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #1130090

Лабораторная работа 5. Имитационное моделирование случайных величин, обработка результатов моделирования
1. Цели лабораторной работы
- изучить алгоритмы и методы имитации случайных величин (СВ) и обработки результатов моделирования
- ознакомиться и получить практические навыки работы со средствами систем моделирования
GPSS
World,
ExtendSim, реализующими имитационное моделирование СВ и обработку результатов моделирования
- сравнить эффективность использования (простота реализации, объем вычислений, точность) различных методов и программных средств для имитационного моделирования СВ.
2. Задание к лабораторной работе Часть 1. Имитационное моделирование случайных величин
1. Осуществить моделирование последовательности значений случайной величины (СВ) Z с заданной функцией плотности распределения вероятностей в соответствии с вариантом (см. табл. 1). Длина последовательности N=200. Таблица 1. Вариант Функция плотности распределения В
1.
)
2
/
1
(
)
(
z
z
f




,


0,5,

/
2 0


z
2.
,
)
1
/(
)
(
2
bz
c
z
f


с, b=5,
)
/(
1 с. с, c=2,
316 0
0


z
4. с,
2
/
0



z
5.
2
/
1
)
(


z
z
f
,
2 1


z
6.
)
sin(
)
(
z
z
f

,
2
/
0



z
7.
,
)
1
/(
)
(
2
bz
c
z
f


с, b=2,
)
/(
1 с

Вариант Функция плотности распределения В
8.
)
2
/
1
(
)
(
z
z
f




,


1,

/
2 0


z
9. с, c=4,
1 0


z
10. с,
6
/
0



z
11.
1 2
)
(


z
z
f
,
618 0
0


z
12.
)
sin(
2
)
(
z
z
f

,
3
/
0



z
13.
4
/
1
)
(


z
z
f
,
686 1
0


z
14.
,
)
1
/(
)
(
2
bz
c
z
f


с, b=7,
)
/(
1 с.
,
)
1
(
)
(
4
z
z
f


4313 0
0


z
1.1. Реализовать моделирование на основе использования метода обратной функции в разных программных средах (ExtendSim, GPSS World,
Statistica, Excel, C++ …). Получить две выборки, используя разные программные средства (на выбор.
1.2. Реализовать моделирование на основе использования метода
Неймана с использованием любых программных средств.
1.3. Фрагменты сгенерированных последовательностей (первые 10 значений) оформить в виде табл. 2. Таблица 2.
№п/п Метод обратной функции
GPSS Метод обратной функции
Statistica Метод обратной функции
… Метод
Неймана
1.
2. Часть 2. Обработка результатов моделирования
2. Провести статистическую обработку результатов моделирования.
2.1. Рассчитать теоретические значения математического ожидания и дисперсии заданной СВ Z.
2.2. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии СВ по результатам моделирования разными методами.
2.3. Вычислить ошибки оценивания математического ожидания и дисперсии (точность оценки) при использовании разных методов

моделирования и программных средств. Результаты представить в табл. 3. Проанализировать таблицу, сделать выводы относительно точности моделирования. Таблица 3. Функция плотности распределения СВ Программная система Метод моделирования Ошибка оценки мат. ожидания Ошибка оценки дисперсии Общее количество СЧ, включая отброшенные Для смоделированных значений СВ Z реализовать проверку гипотезы о согласии эмпирического и теоретического распределений на основе критерия согласия хи-квадрат (Пирсона). Построить график эмпирической функции плотности распределения вероятностей. Сделать выводы. Замечание Выполнить п. 2.4. только для одной из полученных последовательностей СВ Z.
2.5. Построить 95% доверительные интервалы для оценки математического ожидания и дисперсии СВ Z при N=200.
2.6. Оценить объем выборки, необходимый для оценки математического ожидания и дисперсии с точностью 0,01 и достоверностью
0,95, 0,99 для СВ Z. Результаты занести в табл. 4. Сделать выводы. Таблица 4. Функция плотности распределения СВ Достоверность Точность
m
N
d
N
2.7. На основе проведенного исследования сравнить методы Неймана, обратной функции поточности, объему вычислений, простоте реализации.
3. Теоретические сведения

Методы генерации последовательности значений СВ и обработки результатов имитационного моделирования изложены в учебном пособии.
4. Пояснения к работе Пояснения к части 1. Ниже приведены примеры моделирования последовательности значений случайной величины (СВ) с заданным законом распределения на основе метода обратной функции в ExtendSim, GPSS
World, Statistica. Пусть задана функция плотности распределения вероятности СВ Y:
y
y
f


2
)
(
(1) СВ Y изменяется в диапазоне от 0 до 1. Согласно методу обратной функции найдем выражение для функции распределения вероятностей СВ Y и приравняем к СЧ, распределенному равномерно на [0,1]:
i
y
x
y
dy
y
f
y
F




2 0
)
(
)
(
. (2) Из (2) найдем выражение для
i
y
:
i
i
x
y

. (3) Выбран положительный корень, учитывая диапазон изменения СВ Y. Для моделирования значений СВ Y в ExtendSim используется модель
(Model-41.mox):

Рис. 1. Модель в Extend Диалоговые окна с заданием параметров блоков приведены на рис. 2-3. Рис. 2. Задание параметров блока Rand

Рис. 3. Задание функции Блок Rand генерирует СЧ равномерно распределенное в диапазоне от 0 до 1. Затем в блоке Функция происходит вычисление значения СВ в соответствии с формулой (3). Остальные блоки используются для отображения результатов. Блок используется для вычисления статистических характеристик среднее, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал для среднего значения. Вид гистограммы (рис. 4): Рис. 4. Гистограмма в Extend
m v
RS M

Ниже приведена программа, моделирующая значения В и вывод статистических характеристик в GPSS: tab1 table M1,0,0.1,15 initial X1,1 var1 fvariable (RN1/1000)^(0.5) generate 1 advance v$var1 savevalue 1+,1 savevalue X1,v$var1 tabulate tab1 terminate 1 start 1000 Фрагмент отчета по результатам работы программы
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 1000 0 0 2 ADVANCE 1000 0 0 3 SAVEVALUE 1000 0 0 4 SAVEVALUE 1000 0 0 5 TABULATE 1000 0 0 6 TERMINATE 1000 0 0
TABLE MEAN STD.DEV. RANGE RETRY FREQUENCY CUM.%
TAB1 0.667 0.241 0
_ - 0.000 3 0.30 0.000 - 0.100 11 1.40 0.100 - 0.200 28 4.20 0.200 - 0.300 53 9.50 0.300 - 0.400 74 16.90 0.400 - 0.500 78 24.70 0.500 - 0.600 120 36.70 0.600 - 0.700 120 48.70 0.700 - 0.800 144 63.10 0.800 - 0.900 161 79.20 0.900 - 1.000 208 100.00
SAVEVALUE RETRY VALUE
1 0 1001.000 2 0 0.654 3 0 0.592 4 0 0.840 5 0 0.572 6 0 0.358 7 0 0.811 8 0 0.566 9 0 0.857 10 0 0.774 11 0 0.620 12 0 0.799

Гистограмма времени пребывания заявки в системе (рис. 5): Рис. 5. Гистограмма в GPSS В Statisitca для генерация значений СВ в соответствии с заданным законом, например (1) необходимо в спецификации переменной в поле Long
Name-Formula with Functions задать функцию =sqrt(rnd(1)) (рис. 6). Рис. 6. Задание функции в Statistica Расчет статистических характеристик реализован в пункте меню
Statistics/Basic Statistics and Tables/Descriptive Statistics. В диалоговом окне
Descriptive Statistics следует задать переменную, для которой рассчитываются числовые характеристики – Variables и какие характеристики рассчитать – вкладка Advanced. Основные обозначения Valid N – объем выборки Mean –

среднее Mode - мода Sum – сумма выборочных значений Median – медиана
Standard Deviation – среднеквадратическое отклонение Variance – дисперсия Заметим, что в Statisitca набор характеристик, которые могут быть рассчитаны, значительно шире. Для построения графика гистограммы (эмпирической функции плотности распределения вероятностей) необходимо выбрать изменю пункт
Graphs/2D Graphs/Histogramms. Далее в появившемся диалоговом окне 2D
Histogramms выбрать вкладку Advanced и задать необходимые опции для построения гистограммы (например, Categories - число интервалов группирования, Boundaries - границы интервалов, Fit type - тип теоретического распределения аппроксимирующего эмпирическую функцию плотности распределения и т.д.). Для построения графика накопленных частот (эмпирической функции распределения) необходимо в диалоговом окне 2D Histogramms, вкладка
Advanced, в выпадающем списке Showing Type выбрать опцию Cumulative. Вид гистограммы (рис. 7):
Function = 2*x*1000*0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 значения СВ 20 40 60 80 100 120 140 160 180 число наблюдений винте рвал е

Рис. 7. Гистограмма в Statistica Рекомендуется обрабатывать результаты моделирования, полученные в
ExtendSim, GPSS, … в специализированных статистических пакетах, например, Statistica, SPSS, Statgraphs и других, так как в них гораздо шире возможности. Во всех рассмотренных пакетах (ExtendSim, GPSS, Statistica) есть встроенные библиотечные процедуры для генерации типовых законов нормальный, экспоненциальный, логарифмический и т.д.). Всего около 25 законов. Например, в GPSS экспоненциальный закон со средним значением равным 10 задается следующим образом
generate (exponential(1,0,10)) Также в GPSS можно описать стандартные законы на основе использования метода кусочной аппроксимации и описания функции (24 куска
EXPON
FUNCTION RN1,C24
0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915
.7,1.2/.75,1.38/.8,1.6/.84,1.85/.88,2.12/.9,2.3
.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2/.97,3.5/.98,3.9
.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8 Вычисление непрерывной функции производится следующим образом
- определяется интервал (
1
;

i
i
x
x
), на котором находится текущее значение СЧА-аргумента (в примере - сгенерированное значение RN1);
- на интервале (
1
;

i
i
x
x
) выполняется линейная интерполяция с использованием соответствующих значений
i
y и Результат интерполяции используется в качестве значения функции. Если функция служит операндом B блоков GENERATE или ADVANCE, то результат умножается назначение операнда A. Использование функций для получения значений СВ дает хотя и менее точный результат (по сравнению с использованием переменных) за счет

погрешностей аппроксимации, но зато с меньшими вычислительными затратами. При большом количестве транзактов, пропускаемых через модель десятки и сотни тысяч, разница вскорости вычислений по этим методам становится заметной. Функции всех типов имеют единственный СЧА с названием FN, значением которого является вычисленное значение функции. Вычисление функции производится при входе транзакта в блок, содержащий ссылку на
СЧА FN с именем функции. Например,
GENERATE 10,FN$EXPON генерирует значение СВ, распределенной по показательному закону с средним равным 10. Приведем пример табличного задания нормально распределенной СВ FUNCTION RN1, C25
0,-5/.00003,-4/.00135,-3/.00621,-2.5/.02275,-2
.06681,-1.5/.11507,-1.2/.15866,-1/.21186,-.8/.27425,-.6
.34458,-.4/.42074,-.2/.5,0/.57926,.2/.65542,.4
.72575,.6/.78814,.8/.84134,1/.88493,1.2/.93319,1.5
.97725,2/.99379,2.5/.99865,3/.99997,4/1,5 Данная таблица задает СВ X с математическим ожиданием
1
m =0 и среднеквадратичным отклонением

=1. Для моделирования нормальной СВ Z с другими значениями
1
*
m
и
*

необходимо произвести вычисления по формуле
X
m
Z
*
1
*



. В Extend стандартные законы выбираются в диалоговом окне настройки блоков Create и Activity. В Statistica стандартный закон задается в спецификации переменной в поле Long Name-Formula with Functions задается функция
= VExpon (rnd(1);1/10), где VExpon – обратная функция экспоненциального распределения

rnd(1) – функция, генерирующая равномерно распределенное СЧ в диапазоне [0,1].
5. Требования к отчету по работе В отчете по лабораторной работе должно быть представлено следующее.
1. Цели работы.
2. Моделирование значений заданной СВ (табл. 1) разными методами с использованием разных программных средств, табл. 2 с результатами моделирования.
3. Статистическая обработка результатов моделирования
- расчет теоретических и эмпирических значений математического ожидания и дисперсии
- расчет ошибок оценивания математического ожидания и дисперсии при использовании разных методов моделирования и программных средств, табл. 3 с результатами расчетов, выводы по табл. 3;
- результаты проверки гипотезы о согласии эмпирического и теоретического распределений на основе хи-квадрат; графики эмпирической функции плотности распределения вероятностей, выводы
- расчет доверительных интервалов оценка объема выборки, необходимого для расчета математического ожидания и дисперсии с заданной точностью, табл. 4 с результатами
- выводы по итогам проведенного исследования.
4. Выводы по работе в произвольной форме. Контрольные вопросы
1. Как задать СВ Какие существуют способы описания закона распределения СВ

2. Какие существуют методы генерации значений СВ в соответствии с заданным законом распределения вероятностей В каких случаях применяется каждый из этих методов
3. Суть метода обратной функции. Достоинства и недостатки метода.
4. Суть метода Неймана. Достоинства и недостатки метода.
5. Суть метода кусочной аппроксимации функции плотности распределения вероятностей. Достоинства и недостатки метода.
6. Алгоритмы генерации СВ заданной нормальным законом.
7. Перечислите основные этапы статистической обработки результатов моделирования.
8. Какие основные числовые характеристики СВ Вызнаете. Как рассчитать точность оценки математического ожидания, дисперсии по результатам моделирования СВ с заданным законом распределения Как построить доверительный интервал
10. Как рассчитать количество реализаций, необходимых для оценки математического ожидания, дисперсии моделируемого распределения с заданной точностью
11. Приведите логическую схему построения статистического критерия на примере критерия согласия хи-квадрат.
12. Какие существуют схемы проверки статистической гипотезы Что такое р-значение?
13. Какие предельные теоремы, составляющие основу метода статистического моделирования, Вызнаете. Какие существуют методы имитационного моделирования значений случайных векторов Области применения этих методов. Их достоинства и недостатки.
15. Каким образом реализуется имитация последовательности значений СВ в соответствии с заданным законом распределения в системах Statistica, в среде GPSS, ExtenSim?

16. Как рассчитать оценки основных характеристик СВ, построить график гистограммы, график функции распределения СВ, проверить гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений в
Statistica, ExtendSim, GPSS?
17. По результатам проведенного исследования сравните эффективность использования (простота реализации, объем вычислений, точность) различных методов и программных средств для имитационного моделирования СВ. Список литературы
1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика Основы моделирования и первичная обработка данных. – М Финансы и статистика, 1983. – 471 с.
2. Боровиков В.П. Statistica. Искусство анализа данных на компьютере Для профессионалов. е изд. – СПб.: Питер, 2003. – 688 с.
3. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Statistica - Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. – М Филин, 1997. – 608 с.
4. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М Наука, 1978. – 399 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М Высшая школа, 2004. – 404 с.
6. Губарев В.В. Системный анализ в экспериментальных исследованиях. – Новосибирск Изд-во НГТУ, 2000. – 99 с.
7. Кельтон В, Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. е изд. –
СПб.: Питер Киев 2004. – 847 с.
8. Моделирование систем. Практикум Учеб. пособие для вузов/Б.Я. Советов,
С.А. Яковлев. – е изд, перераб. и доп. – М Высшая школа, 2016. – 295 с.
9. Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. –
СПб.: КОРОНА принт; М Альтекс-А, 2004. – 384 с.

10. Система программного обеспечения для имитационного моделирования на GPSS/PC. Версия 2. – Калинин Центрпрограммсистем, 1989. – 200 с.
11. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование системе изд. – М Высшая школа, 2016. – 420 с.
12. Томашевский В, Жданова Е. Имитационное моделирование в среде GPSS.
– М Бестселлер, 2003. – 416 с.
13. Хачатурова СМ. Математические методы системного анализа Учеб. пособие.–Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. – 124 с.
14. http://www.gpss.ru
. Сайт, посвященный системе моделирования GPSS.
15. http://www.statsoft.ru
. Сайт компании Statsoft. Описание интегрированной системы Statistica, электронный учебник по статистике, примеры реальных задач.