3.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
«Метод наименьших квадратов» Пусть в результате некоторого эксперимента получены данные в виде чисел записанных в таблицу 3.4.1:
Таблица 3.4.1
-
На основании этих данных требуется установить функциональную зависимость величины от величины : . Вид функции устанавливается обычно или из теоретических соображений или визуально, исследуя расположение точек на плоскости .
Наиболее часто в качестве подбираемой функции используют следующие функции:
а) полином: ;
б) дробно-рациональную: ;
в) экспоненциальную: ; (3.4.1)
г) логарифмическую и другие функции,
где числа, заранее неизвестные. И задача заключается именно в нахождении этих чисел.
Замечание:
1. Если нет никаких теоретических указаний о виде зависимости , то следует искать наиболее простую формулу, содержащую как можно меньшее количество параметров ;
2. Полное совпадение с данными эксперимента и не желательно, т.к. определяемая функция будет повторять ошибки экспериментатора.
Существует много различных методов нахождения коэффициентов . Они излагаются в учебниках по численным методам математики, там же излагаются их достоинства и недостатки. Здесь будет рассмотрен один из этих методов - метод наименьших квадратов.
Итак, имеем функцию многих переменных, которая зависит от и еще нескольких неизвестных величин .
Составим новую функцию
. (3.4.2)
Величины надо найти таким образом, чтобы функция имела наименьшее значение. Иными словами, отклонение экспериментальных точек от теоретической кривой должно быть минимальным.
Применяем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных:
. (3.4.3)
В результате получится система из линейного уравнения с м неизвестными . В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения этой системы, единственности этого решения и о наличии минимума функции при полученных значениях величин .
Рассмотрим частные случаи подбираемой функции .
Пусть полином 1-й степени, т.е.
. График этой функции есть прямая линия. В этом случае вспомогательная функция есть функция двух переменных и имеет вид:
. (3.4.4)
Тогда система (3.4.2) будет представлена следующими двумя уравнениями:
. (3.4.5)
Теперь необходимо вычислить коэффициенты системы (значения и даны в таблице (3.4.1). Обозначим
.
Тогда система (3.4.5) принимает вид:
(3.4.6)
Эта система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными и . Решим систему по формулам Крамера:
.
Если , то решение существует и оно единственно и это решение:
При найденных значениях и функция (3.4.4) имеет минимальное значение. Это доказывается, если вычислить при полученных и подставить в достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. ПРИМЕР 3.4.1. На основании некоторого эксперимента получены данные
Таблица 3.4.2
-
хi
| 1
| 2
| 3
| 5
| yi
| 3
| 4
| 2,5
| 0,5
| Нанесем эти значения на координатную плоскость (рис.3.4.1), визуально исследуем расположение точек. В данном случае можно допустить линейную зависимость величины от величины , т.е. . Строим вспомогательную функцию
и тогда система (3.4.5) имеет вид:
(3.4.7)
Вычислим коэффициенты :
Подставим в систему (3.4.7):
Итак: В результате получаем функцию
. 2. Пусть полином 2-й степени, т.е. график этой функции есть парабола. В этом случае вспомогательная функция есть функция трех переменных и имеет вид:
(3.4.8)
Тогда система (3.4.3) будет представлена тремя уравнениями:
(3.4.9)
Теперь необходимо вычислить коэффициенты этой системы (значения и даны в таблице (3.4.1)):
С использованием этих чисел система (3.4.9) принимает вид:
(3.4.10)
Эта система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными , . Решим систему по формулам Крамера:
Если , то система (3.4.10) имеет единственное решение:
.
При найденных значениях , функция (3.4.8) имеет минимальное значение. Это доказывается с использованием достаточных условий экстремума функции нескольких переменных (теорема 1.8). ПРИМЕР 3.4.2. В результате эксперимента получены числовые данные, записанные в виде таблицы 3.4.3:
Таблица 3.4.3
-
х
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| y
| 0,2
| 3,0
| 4,2
| 2,8
| 0,5
|
Нанесем эти данные на координатную плоскость, исследуем расположение точек и видим, что зависимость величины от величины можно описать параболой, т.е. . Строим вспомогательную функцию: и тогда система (3.4.9) имеет вид:
(3.4.11)
Теперь необходимо вычислить коэффициенты этой системы:
Подставим полученные значения в систему (3.4.11) или в систему (3.4.10):
Решаем эту систему линейных уравнений методом Крамера:
.
В результате получаем функцию .
Для анализа полученного уравнения составим таблицу 3.4.4
Таблица 3.4.4 xi
| yi
|
|
|
| 2
| 0,2
| 0,24
| - 0,04
| 0,0016
| 3
| 3,0
| 3,04
| - 0,04
| 0,0016
| 4
| 4,2
| 4,02
| 0,18
| 0,0324
| 5
| 2,8
| 3,18
| - 0,02
| 0,0002
|
Минимальное значение функции при найденных коэффициентах
равно:
.
Если коэффициенты хотя бы немного изменить, то значение функции будет увеличиваться. 3. Пусть экспоненциальная функция, а именно . В этом случае, при решении системы (3.4.3), возникают трудности, которые, однако, можно преодолеть линеаризацией уравнения . Логарифмируем его: . Обозначим , тогда имеем это линейное уравнение. Если найдем его коэффициенты, то исходные коэффициенты рассчитаем по формулам .
ПРИМЕР 3.4.3. В результате эксперимента получены данные, выписанные в виде таблицы 3.4.5:
Таблица 3.4.5 xi
| - 1
| 0
| 1
| 2
| 3
| yi
| 6
| 2
| 7/9
| 1/3
| 1/10
|
Нанесем эти данные на координатную плоскость (рис.3.4.3), исследуем расположение точек и видим, что лучше всего зависимость в еличины от величины описывается экспоненциальной функцией:
. Поскольку в данном случае , то прологарифмируем уравнение: , сделаем обозначения ;
; и получаем линейное уравнение . (3.4.12)
Для нахождения коэффициентов у последнего уравнения, воспользуемся изложенной выше теорией и обратимся к примеру 3.4.1.
Таблица 3.5.6
xi
| - 1
| 0
| 1
| 2
| 3
| yi
| 6
| 2
| 7/9
| 1/3
| 1/10
| zi
|
|
|
|
|
| Строим вспомогательную функцию . Система (3.4.5) имеет вид в этом случае:
(3.4.13)
Вычислим коэффициенты :
.
Подставим в систему (3.4.13):
, .
Возвращаемся к коэффициентам и . Так как , то найдем искомые коэффициенты: , а также получим функцию .
Для анализа полученного уравнения составим таблицу 3.4.7: Таблица 3.4.7
xi
| yi
|
|
|
| - 1
| 6
| 5,848
| 0,152
| 0,023
| 0
| 2
| 2,15
| - 0,15
| 0,0225
| 1
|
| 0,79
| - 0,012
| 0,000144
| 2
|
| 0,29
| 0,039
| 0,0015
| 3
|
| 0,107
| - 0,007
| 0,00005
| Минимальное значение функции при найденных коэффициентах равно:
|