матем. Лекции 16 ч практики Понятие функции Понятие величина является первоначальным понятием (оно не определяется)
 Скачать 293.82 Kb.
|
|
Ильфат хамзиевич 8 ч лекции 16 ч практики Понятие функции Понятие величина является первоначальным понятием (оно не определяется) Величина называется переменной если она принимает различные значения. Величина называется постоянной если она принимает только одно значение. Переменна считается заданной если указано множество Х={x}значений которое она может принимать это множество называется областью определения это переменной. Рассмотрим переменные см1 Определение переменная у называется функцией переменной х в области её изменения Х если по некоторому правилу (закон) каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у переменная, х называется аргументом функции Замечание из определения функции не следует что различным значениям аргумента х должны соответствовать различные значения функции у. важно чтобы каждому значению х соответствовала определенное значение или см2 У или х могут быть одинаковыми Функция обозначается как у=F(х) / f:x->y / X->Y cm3 Определения областью функции F:x->y yfpsdftncz vyj;tcndj nt[ pyfxtybq [ для которых F(х) является вполне определенным конечным и действительным числом см4 Определение окрестностью точки х0 числовой оси называется любой интервал AB содержащий точку х0 внутри себя см5 Способы задания функции (самостоятельно) Закон соответствия между функцией и аргументом может быть задан различными способами: аналитически, таблицей, графически, словесно. 1. Аналитический способ. В математическом анализе функция задаётся в основном с помощью формулы, указывающей, какие действия (арифметические действия, возвышение в степень, логарифмирование, перевод от углов к их тригонометрическим величинам и обратно) и в какой последовательности нужно произвести над значением аргумента х и, может быть, постоянными величинами, чтобы получить значение функции у, соответствующее данному значению Х. В этом случае правая часть формулы y=f(x) называется аналитическим выражением, а способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим способом. 2. Графический способ. Пусть в некотором промежутке Х задана функция y=f(x). Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось х и ось у. рассмотрим пару соответствующих значений х и у, где х взят из промежутка Х, а у=f(x); образом этой пары на плоскости служит точка М(х;у) с абсциссой х и ординатой у. совокупность всех таких точек, получающихся при изменение х в пределах своего промежутка, составляет график функции, который и является её геометрическим образом. В этих условиях само равенство y=f(x) называют уравнением кривой (графика функции). Легкая обозримость и наглядность графика делает его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции. 3. табличный способ. В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. Однако это функциональная зависимость задается не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта данных. Примеры табличного способа задания функции легко найти в любом техническом справочнике. Неудобство его заключается легко найти в любом техническом справочнике. Неудобство его заключается в том, что он даёт значения фикции лишь для некоторых значений аргумента. 4. описательный способ. В тех случаях, когда ту или иную функцию трудно или вообще невозможно задать одним из указанных выше способов, нередко прибегают к словесному заданию функции. Под описательным способом подразумевается задание функции при помощи словесного описания закона соответствия, позволяющего по заданному значению аргумента находить соответствующее значение функции. Монотонные функции Определение функция у=F(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X если для любых х1 и х2 таких что х1 меньше х2 выполняется неравенство …см6 Определение функция у=F(х) называется неубывающей (невозрастающей) на промежутке Х если для любых х1 и х2 из промежутка Х таких что х1 Определение невозрастающие и неубывающие на данном промежутке функции называются монотонными на этом промежутке. возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными см8 Определение функция называется кусочно-монотонной на промежутке Х если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков каждом из которых функция монотонна см9 Вставит кванторы Определение функция называется ограниченной на промежутке Х если существует положительное число К такое что … см10 Функция называется неограниченной на промежутке Х если см11 Четные и нечетные функции Определение числовая множество D называется симметричной относительно начала координат если для любого числа см12 Определения функция у=F(x) определенная на симметричном множестве D называется четной (нечетной) если любого см13 Функции не являвшиеся четными и нечетными называются функциями общего вида Элементарные функции (самостоятельно) Среди классов функции, изучаемых в математическом анализе, особое место занимает класс элементарных функций. Этот класс конструируется с помощью основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, и обратных тригонометрических функций. 1. степенная функций. Степенной функций называется функция вида y=xa, где а-любое действительное число. При а=n натуральном имеем …  Чётное. Наконец, если а – иррациональное, то будем предполагать, что х>0 (х=0 допускает лишь при а>0). 2. показательная функция, т.е. функция у=ах, где а>0, а≠1. Областью определения этой функции является R. 3. логарифмическая функция, т.е. функция y=logax, где а>0, а≠1. Область определения этой функции есть интервал (0; +∞). 4. тригонометрические функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Следует отметить что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, обычно выражают в радианах. 5. обратные тригонометрические функции: у=arcsinx, y=arccos, y=arctgx, y=arcctgx. Понятие числовой последовательности Определение числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел. См 14 Числа х1, х2 и тд называются элементами. последовательности число хn называется общим числом последовательности. Чтобы задать числовую последовательность достаточно задать её общий вид. Способы задания числовой последовательности такие же как способы задания функции см15. В отличие от числовых множеств числовая последовательность может иметь среди своих элементов одинаковые. См16. Определение последовательность хn1,xn2,xn3 последовательность полученная из * путем произвольного выбора из него бесконечного числа элементов взятых в том же порядке в котором они находились первоначально в последовательности * называется частичной последовательностью или под последовательностью Понятие предела числовой последовательности Определение число а называется приделом числовой последовательности [] при n->… если последвательность имеет придел а то говорят она сходится к А. последовательность не имеющая предела называется расходящийся. №N уназывает на см17 после которого наверника выпролняется неравентсво по модулю см18. №N вообще говоря зависит от эпсилон , при чем меньше эпсилом тем больше номер N Дальше в тетради… |