ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ. Лекции по теории надежности 1 Тема основные понятия и определения, требования к надежности

• Название: Лекции по теории надежности 1 Тема основные понятия и определения, требования к надежности
• Дата: 12.04.2022
• Размер: 1.19 Mb.
• Имя файла: ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ.pdf
• Тип: Лекции; #466003
• страница: 2 из 5

Тема 2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
Единичные показатели
Основной количественной характеристикой безотказности является вероятность
безотказной работы p(t), т.е. вероятность того, что в заданном интервале времени (или в пределах заданной наработки) при заданных условиях работе не произойдет отказа, p(t)=P(T

t) (вероятность того, что время Т от момента включения объекта до его отказа будет больше или равно времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы).
На практике этот показатель определяется статистической оценкой:
0 0
)
(
)
(
N
t
n
N
t
p


, где No - число однотипных объектов (элементов), поставленных на испытания
(находящихся под контролем); во время испытаний отказавший объект не восстанавливается и не заменяется исправным; n(t) - число отказавших объектов за время t. Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта характеристика является функцией времени, причем она является убывающей функцией и может принимать значения от 1 до 0.
Вероятность отказа (ненадежность): q(t)=P(T1 0 q
1 0 t t
Функция надежности
Функция ненадежности
Производная от вероятности отказа по времени есть плотность вероятности или дифференциальный закон распределения времени работы объекта до отказа
)
(
)
(
)
(
t
f
dt
t
dq
t
q



Вероятность безотказной работы:



t
dt
t
f
t
p
0
)
(
1
)
(
Наработка - продолжительность или объем работы объекта. Наработка может быть как непрерывной величиной (продолжительность работы в часах, километраж пробега и т. п.), так и целочисленной величиной (число рабочих циклов, запусков и т. п.).

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
12
Различают понятия наработки до отказа и наработки между отказами. Наработка до отказа - наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.
Наработка между отказами - наработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа.
Наработка до отказа вводится как для неремонтируемых (невосстанавливаемых), так и для ремонтируемых (восстанавливаемых) объектов. Наработка между отказами определяется объемом работы объекта от k-го до (k+l)-гo отказа, где k=1, 2 … Эта наработка относится только к восстанавливаемым объектам.
Средней наработкой до отказа называется математическое ожидание наработки объекта до первого отказа T
отк
:




0
)
( dt
t
f
t
Т
отк
, откуда можно получить



0
)
( dt
t
p
Т
отк
, т.е. средняя наработка до отказа равна площади под графиком p(t).
Статистическая оценка для средней наработки до отказа определяется по формуле



0 1
0 1
N
j
j
отк
t
N
T
, где No - число работоспособных объектов при t = 0 (в начале испытания); t j
- наработка до отказа j-го объекта. Эта формула соответствует плану испытаний, при котором все объекты испытываются до отказа.
Интенсивность отказов - это условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил:
)
(
1
)
(
)
(
t
q
t
f
t



Статистическая оценка интенсивности отказов имеет вид:
i
срi
i
t
N
t
n
t




)
(
)
(

, где n(

t i
) - число отказов однотипных объектов на интервале

t i
, для которого определяется

(t);
N
срi
- число работоспособных объектов в середине интервала

t i
, N
срi
= (N
i
+ N
i+1
)/2;
N
i
- число работоспособных объектов в начале интервала

t i
;
N
i+1
- число работоспособных объектов в конце интервала

t i.
Обратная связь вероятности безотказной работы с интенсивностью:



t
dt
t
e
t
p
0
)
(
)
(

Средняя наработка на отказ
Этот показатель относится к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
13 времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений - поток восстановлений.
Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов, происшедших за суммарную наработку:
, где t i
- наработка между i-1 и i-м отказами, ч; n(t) - суммарное число отказов за время t.
Параметр потока отказов также характеризует восстанавливаемый объект и по статистическим данным определяется с помощью формулы:
1 2
1 2
)
(
)
(
)
(
t
t
t
n
t
n
t




,
где n(t
1
) и n(t
2
) - количество отказов объекта, зафиксированных соответственно, по истечении времени t
1 и t
2
Если используются данные об отказах по определенному количеству восстанавливаемых объектов, то
i
i
t
N
t
n
t




0
)
(
)
(

,
где n(

t i
) - количество отказов по всем объектам за интервал времени

t i
;
N
о
- количество однотипных объектов, участвующих в эксперименте (отказавший объект восстанавливается, N
о
= соnst).
Выражение для

(t) похоже на выражение для

(t) с той лишь разницей, что при определении

(t) предполагается моментальное восстановление отказавшего объекта или замена отказавшего однотипным работоспособным, то есть N
о
= соnst.
Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты времени и в течение заданного периода эксплуатации наблюдается поток отказов. Существует множество математических моделей потоков отказов.
Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов - пуассоновский поток. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.
Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени

t i
вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка

t i
, но не зависит от сдвига

t i
по оси времени. Следовательно, при равных интервалах

t i
вероятность появления n отказов по всем интервалам будет одинакова.
Ординарностьслучайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа.
Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка

t i
не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.
)
(
1
t
n
t
T
n
i
i
отк




А.В.Демура. Лекции по теории надежности
14
Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно и если старение элементов отсутствует (

= const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.
Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону
Пуассона:
0
!
)
(
)
(



n
при
e
n
t
t
p
t
n
n


где p n
(t) - вероятность возникновения в течение времени t ровно n событий (отказов);

- параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.
Если принять n = 0, то получим безотказной работы объекта за время t при интенсивности отказов

= const :
t
e
t
p



)
(
Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику

= const, то, придавая объекту восстанавливаемость, мы обязаны записать

(t) = const;

=

. Это свойство широко используется в расчетах надежности ремонтируемых устройств. В частности, во многих случаях важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даются в предположении простейших потоков отказов и восстановлений, когда

=

=1/T.
Экспоненциальный закон распределения
Наиболее часто в расчетах надежности применяется экспоненциальный закон распределения, по которому
t
e
t
f




)
(
Тогда
t
t
e
t
q
e
t
p







1
)
(
,
)
(
, где

- параметр потока отказов.
Математическое ожидание времени безотказной работы:

1

T
В общем случае

зависит от времени эксплуатации:

=f(t).
Период нормальной эксплуатации
При раб от ка
П
ериод ин те нс ив ног о изн ос а и с та ре ни я
λ(t)
λ(t)
0 0 t t
λ(t)
1
-й р
емон т
2
-й р
емон т

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
15
В практических расчетах обычно используют среднее значение параметра потока отказов, которое получают по статистическим или паспортным данным, например, по среднему времени наработки до отказа.
Аналогично вероятности безотказной работы p(t) характеризуется вероятность восстановления объекта q в
(t)=P(T
в
(t)=P(T
в

t), интенсивность восстановления

(t). t
в1
t в2
t в3
T
1
T
2
T
3 31
T
o1
T
o2
T
o3
...
t
T
o
– время между последовательными событиями отказа и восстановления.
Т.к. для электроэнергетических систем t в
<
(t)


(t), где

(t) – суммарный параметр потока отказов (с учетом восстановления).
Ресурс - суммарная наработка объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.
Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации от начала эксплуатации объекта или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние
Пример определения показателей надежности при экспоненциальном законе распределения
Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов

= 2,5 10
-5 1/час.
Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за t = 2000 час.
Решение.
1. Вероятность безотказной работы за время t = 2000 час равна
9512
,
0
)
2000
(
2000 10 5
,
2 5






e
p
2. Вероятность отказа за t = 2000 ч равна q(2000) = 1 - p(2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.
3. Вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 час до 2500 час при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна
9512
,
0
)
2500
;
500
(
500 10 5
,
2 2500 10 5
,
2 5
5










e
e
p
4. Средняя наработка до отказа
40000 10 5
,
2 1
5




T
час.

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
16
Комплексные показатели надежности
В отличие от единичного показателя надежности комплексный показатель надежности количественно характеризует не менее двух свойств, составляющих надежность, например безотказность и ремонтопригодность.
Коэффициент готовности - это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.
Для одного ремонтируемого объекта коэффициент готовности





Вi
i
i
Г
t
T
T
k
При t


В
Г
t
T
T
k


Коэффициент готовности объекта может быть повышен за счет увеличения наработки на отказ и уменьшения среднего времени восстановления. Коэффициент готовности является удобной характеристикой для объектов, которые предназначены для длительного функционирования, а решают поставленную задачу в течение короткого промежутка времени (находятся в ждущем режиме), например, релейная защита, контактная сеть (особенно при относительно малых размерах движения), сложная контрольная аппаратура и т.д.
Коэффициент вынужденного простоя - вероятность того, что в произвольный момент времени t объект будет в неработоспособном состоянии: k
п
=1-k г
Коэффициент оперативной готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени
τ
:



e
k
k
Г
OГ
Коэффициент технического использования - отношение математического ожидания суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к математическому ожиданию суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием, т.е. плановыми отключениями и ремонтом
(восстановлением) за тот же период:
В
П
ТИ
t
t
T
T
k



Примеры требований к надежности элементов систем электроснабжения
Для силовых трансформаторов устанавливают следующие показатели надежности
(ГОСТ 11677-85 «Трансформаторы силовые. Общие технические условия»):

установленная безотказная наработка — не менее 25000 ч;

вероятность безотказной работы за наработку 8800 ч — не менее 0,995;

срок службы до первого капитального ремонта — не менее 12 лет;

полный срок службы — не менее 25 лет.
Для трансформаторов тока и напряжения (ГОСТ 1983-2001 «Трансформаторы напряжения. Общие технические условия» и ГОСТ 7746-2001 «Трансформаторы тока.
Общие технические условия»):

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
17

средняя наработка до отказа должна быть установлена по ГОСТ 27.003
(«Надежность в технике. Состав и общие правила задания требований по надежности») и указана в стандартах на трансформаторы конкретных типов;

средний срок службы трансформаторов — 25 лет;

требования по ремонтопригодности должны быть указаны в стандартах на трансформаторы конкретных типов.
Испытания на надежность
Для получения характеристик надежности систем электроснабжения необходимы сбор и обработка статистической информации, от качества которой в значительной степени зависят результаты исследования.
Основными критериями, определяющими качество статистической информации, являются достоверность, полнота и непрерывность.
Достоверность достигается точным учетом всех отказов, независимо от причин возникновения. Не менее важно и правильное определение причин отказов.
Полнота информации заключается в том, что собранные сведения должны быть достаточны для решения поставленных задач.
Непрерывность информации заключается в отсутствии перерывов при поступлении данных о надежности. Из-за разрыва в полученной информации затрудняется ее обработка и теряется часть информации, особенно в тех случаях, когда требуется определение законов распределения.
Таким образом, методика получения исходной информации должна отвечать отмеченным выше требованиям и реальным условиям работы объекта исследования. На практике статистические данные об отказах оборудования можно получить в результате наблюдений за изделиями в ходе нормальной или опытной эксплуатации, либо путем стендовых испытаний.
Наблюдения при нормальной эксплуатации – самый доступный источник получения экспериментальных данных о надежности. Недостатками этого метода являются запаздывание данных, ограниченные возможности активного эксперимента, влияние субъективных факторов на объем и содержание информации.
При опытной эксплуатации наблюдения за работоспособностью оборудования проводятся с участием представителей служб надежности, имеющих специальную подготовку и независимых от субъективных местных факторов. Однако ограничения по времени и числу сотрудников, а также по режиму использования оборудования не позволяет ставить широкие активные эксперименты.
Стендовые испытания являются централизованными и проводятся либо на заводах-изготовителях, либо в специальных испытательных центрах. Это весьма дорогостоящий вид испытаний, осуществляемый не в реальных, а в имитируемых условиях эксплуатации, отвлекающий значительное количество оборудования от использования по назначению. Однако стендовые испытания дают возможность получить информацию о недостатках конструкции, технологии и использовать эти данные для повышения надежности изделий. Стендовые испытания позволяют проводить активные эксперименты с выявлением «слабых мест» и проверкой экстремальных воздействий, а следовательно – ускорить получение данных.
Существенное значение для исследования надежности имеет планирование испытаний, т.е. определение плана испытаний и их объема. Для этого необходимо задать:
– признаки отказа изделия (системы);
– показатель надежности, который является определяющим для данного изделия;
– условия испытания (электрические параметры, климатические условия), механические нагрузки, последовательность и длительность режимов);
– способ контроля работоспособности (обычный эксплуатационный или специальный испытательный, непрерывный или периодический);

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
18
– способ замены отказавших изделий (отказавшие изделия не изменяются до конца испытаний – план типа U , заменяются немедленно после отказа – план типа R или восстанавливаются в ходе испытаний – план типа M );
– число испытуемых изделий N ;
– правило окончания испытаний (по истечении заданного времени T , после наступления
r -го отказа, по истечении суммарного по всем объектам времени или наработки TΣ или после отказа всех изделий).
Для обозначения планов испытаний в ГОСТ 27.002-95 применяется символика с тремя позициями, обозначающими соответственно: число испытуемых изделий, способ замены отказавших изделий и правило окончания испытаний. Возможны, например, следующие планы: [NUN], [NUT], [NUr], [NU(rT)], [NRT], [NRr], [NR(rT)], [NMT], [NMTΣ],
[NMr], [NM(rTΣ)].
Поскольку практически все элементы систем электроснабжения в процессе работы восстанавливаются, как правило, принимается план испытаний [NRT], т.е. испытывается N восстанавливаемых систем типа R в течение времени T . Согласно ГОСТ
27.502-95 методы определения минимального числа объектов наблюдений могут быть
параметрическими (при известном виде законов распределения исследуемой случайной величины) и непараметрическими (вид закона неизвестен).
Так при экспоненциальном законе число объектов наблюдения N зависит от относительной ошибки δ определения среднего значения t
ср
. исследуемой случайной величины (T, T
В
, t
Р
, t
П
) с доверительной вероятностью β .
Относительную ошибку определяют по формуле:
δ = (t
в
− t
ср
)/t
ср
,
где t
в
- верхняя доверительная граница для заданного уровня β .
Рекомендуется использовать доверительные вероятности β , равные 0,80; 0,90; 0,95 и
0,99.
Число объектов наблюдений N определяется из выражения:
𝛿 + 1 =
2𝑁
χ
2
(1 − β; 2N)
, где χ
2
·(1−β; 2N) - квантиль распределения хи-квадрат при числе степеней свободы 2N и доверительной вероятности β.
При неизвестном законе распределения случайной величины минимальное для проверки требуемой вероятности безотказной работы P(t) в течение некоторого времени t
с доверительной вероятностью β число объектов N определяется по формуле:
𝑁 =
𝑙𝑛⁡(1 − 𝛽)
𝑙𝑛⁡𝑃(𝑡)
Если при испытании N объектов за время t не будет отмечено ни одного отказа, результаты наблюдений считаются удовлетворительными. Если же произойдет хотя бы один отказ, то требуемое значение вероятности не подтверждается.
Пример. Определить объем испытаний дизель-генераторов аварийной электростанции.
Заданная вероятность безотказной работы P(t
p
) = 0,9 в течение расчетного времени t
p
=
240 ч. Доверительную вероятность того, что P(t
p
) ≥ 0,9 , примем равной β = 0,95.
Считая, что закон распределения наработки на отказ для данного типа оборудования еще неизвестен, получаем
𝑁 =
𝑙𝑛⁡(1 − 𝛽)
𝑙𝑛⁡𝑃(𝑡)
=
𝑙𝑛⁡(1 − 0,95)
𝑙𝑛⁡0,9
=
2,9957 0,1054
= 28,43

А.В.Демура. Лекции по теории надежности
19
Это означает, что на испытания в течение 240 ч необходимо поставить 29 дизель- генераторов. Если за это время не произойдет ни одного отказа, то P(240) ≥ 0,9. В противном случае P(240) < 0,9.