ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ. Лекции по теории надежности 1 Тема основные понятия и определения, требования к надежности
 Скачать 1.19 Mb.
|
|
Тема 3. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ Аналитический метод расчета надежности электроснабжения основан на принципе представления связи между элементами в виде расчетных схем последовательного и параллельного соединений. Такими схемами можно описать отключение потребителей, как из-за отказов элементов питающей цепи, так и из-за отказов элементов одной цепи с ремонтом элементов другой цепи. Метод позволяет также учитывать различную длительность отключения составлением расчетных схем для разных видов отключений. Метод позволяет оценить следующие показатели надежности схемы электроснабжения: частоту и длительность отключений различных потребителей. Недостатком метода является то, что он не учитывает влияние релейной защиты на надежность системы и обладает громоздким математическим аппаратом. При последовательном соединении элементов система работоспособна только в том случае, когда работоспособны одновременно все элементы. Вероятность безотказной работы системы как произведение независимых событий определяется произведением вероятностей безотказной работы всех ее элементов: N i i p P 1 Вероятность отказа системы: N i i p Q 1 1 Т.к. при i =const t e t p ) ( , то t N i i e P 1 N i i 1 - интенсивность отказов системы, состоящей из N последовательных элементов. При параллельном соединении отказ системы происходит в случае отказа всех элементов, т.е. вероятность отказа определяется произведением вероятностей отказов всех элементов: N i i q Q 1 Вероятность безотказной работы: N i i N i i p q Q P 1 1 ) 1 ( 1 1 1 При смешанном соединении выполняется последовательное преобразование семы. p 1 p 2 p 3 А.В.Демура. Лекции по теории надежности 20 Пример 1. 3 2 23 p p p ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 3 2 1 23 1 1 p p p p p q P N i i Применяя последовательные преобразования можно рассчитать вероятность безотказной работы системы электроснабжения. Пример 2. Рассчитать вероятность безотказной работы для системы электроснабжения, схема которой представлена на рисунке. Для питания электроприемников особой группы первой категории надежности в системе предусмотрен третий независимый источник – дизельная электростанция (ДЭС), генераторы которой подключены к шинам ЗРУ 10 кВ ГПП. Для электроприемников особой группы первой категории, не допускающих разрыва кривой напряжения, предусматривается автоматизированная система гарантированного электропитания (АСГП), подключенная к шинам 0,4 кВ ТП. Значения параметра потока отказов для элементов схемы приведены в таблице. Наименование объекта , 1/год Разъединитель 35 кВ 0,008 Масляный выключатель 35 кВ с РЗА 0,01 Масляный выключатель 35 кВ с РЗА и АВР 0,208 Трансформатор 35 кВ 0,02 Масляный выключатель 10 кВ с РЗА 0,035 Масляный выключатель 10 кВ с РЗА и АВР 0,233 Шины 10 кВ 0,015 Кабель в земле (на 1 км =0,07) 0,0357 Выключатель нагрузки 10 кВ 0,015 Трансформатор 10 кВ 0,011 Автоматический выключатель 0,025 Агрегат АСГП 0,0324 Агрегат ДЭС 0,026 p 1 p 3 p 2 p 23 p 1 А.В.Демура. Лекции по теории надежности 21 По схеме электроснабжения для расчетной точки (шин 0,4 кВ ТП-3) составляем схему замещения по надежности. Затем путем последовательных эквивалентных преобразований схема приводится к одному элементу, связывающему источник питания и расчетную точку. В результате получаем вероятность безотказной работы P=P э3 =0,999891, параметр потока отказов = э3 =0,000199 1/год. А.В.Демура. Лекции по теории надежности 22 p 1= 0,992032 p 2=0,990050 p 3 p 4 p 5=0,812207 p 6 1 p 1 p 2 p 3 992032 , 0 1 008 , 0 1 e p 992032 , 0 1 6 4 3 p p p p 990050 , 0 1 01 , 0 2 e p 812207 , 0 1 208 , 0 5 e p 1 э p 1 э p 974335 , 0 974335 , 0 992032 , 0 990050 , 0 992032 , 0 ) 008 , 0 01 , 0 008 , 0 ( ) ( 1 3 2 1 1 3 2 1 e e p или p p p p э э 7116167 , 0 ) 008 , 0 208 , 0 008 , 0 008 , 0 01 , 0 008 , 0 ( 1 e p Аналогично э 1 э p 0121674 , 0 994323 , 0 ) 7116167 , 0 1 ( ) 874335 , 0 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 э э э э p p p Этап 1 p э1=0,994323 p 7=0,980198 p 8=0,965605 p 10=0,792153 2 Этап 2 p 9=0,985112 p 16=0,965605 p 17=0,974335 p 16 p 17 p э1 p 7 p 8 p 9 p 10 2 2 э p 2 э p 2 э p 2 э p 1 1 9271 , 0 ) ( 2 2 9 ' 8 ' 7 ' 1 э e p p э э 940823 , 0 ) ( 2 2 17 ' 16 e p p э э 2 2 э p 2 э p 2 э p p 10 2 э p 2 э p 003012 , 0 999088 , 0 ] )) 1 )( 1 ( 1 ( 1 [ )] 1 )( 1 ( 1 [ 1 2 10 2 2 2 2 2 э э э э э э p p p p p p А.В.Демура. Лекции по теории надежности 23 p э2=0,999088 p 18=0,965605 p 19=0,964929 p 23=0,975309 3 Этап 3 p 20=0,985112 p 24=0,975309 p 25=0,968119 p 24 p 25 p 23 3 3 э p 3 э p 3 э p 3 э p 884604 , 0 ) ( 3 3 2 2 ' 2 1 ' 2 0 ' 1 9 ' 1 8 ' 2 э e p p э э 944215 , 0 ) ( 3 3 25 24 e p p э э 3 3 э p 3 э p p 23 3 э p 000199 , 0 999801 , 0 ] )) 1 )( 1 ( 1 ( 1 [ )] 1 )( 1 ( 1 [ 1 3 23 3 3 3 3 3 э э э э э э p p p p p p p 21=0,98906 p 22=0,975309 p э2 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 3 э p А.В.Демура. Лекции по теории надежности 24 РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ ВРЕМЕНИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Последовательное соединение элементов Для случая λ(t)= ω(t) = λ= const средняя частота (интенсивность) отказов i с Вероятность безотказной работы i t e t P ) ( Вероятность отказа i t e t Q 1 ) ( Среднее время безотказной работы i c c T 1 1 Среднее время восстановления c вi i вс t t является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по частоте отказов n последовательно соединенных элементов. Пример. Определить показатели надежности системы, состоящей из пяти последовательно соединенных элементов: λ 1 =0,50 год -1 t в1 =16,0 ч; λ 2 =0,32; t в2 =8,0 ; λ 3 =0,30; t в3 =6,0 ; λ 4 =0,64; t в4 =12,5 ; λ 5 =0,001; t в5 =15,0 ; Решение. Частота отказов 1 761 , 1 001 , 0 64 , 0 3 , 0 32 , 0 5 , 0 год i с Среднее время восстановления 57 , 11 761 , 1 15 001 , 0 5 , 12 64 , 0 6 3 , 0 8 32 , 0 16 5 , 0 ч t вс Среднее время безотказной работы 4974 8760 568 , 0 568 , 0 761 , 1 1 ч T или лет T c c Вероятность безотказной работы системы за t=1 год 172 , 0 ) ( 761 , 1 1 i e t P Вероятность отказа системы за t=1 год 83 , 0 172 , 0 1 ) ( t Q А.В.Демура. Лекции по теории надежности 25 Параллельное соединение элементов Для структуры, состоящей из двух параллельно соединенных элементов 1 и 2, частота отказов ) ( 2 1 2 1 в в c t t или , 8760 / ) ( 2 1 2 1 в в c t t если значения 𝜆 имеют размерность 1/год, а t в - час. Среднее время восстановления 2 1 2 1 в в в в вc t t t t t Данные формулы применимы для определения показателей надежности высоконадежных структур, т.е. таких, для которых соблюдается условие max max min 1 в t T Пример. Дана система, состоящая из двух параллельно соединенных элементов, λ 1 =1,2 год -1 ; t в1 =16 ч;λ 2 =2,7 год -1 ; t в1 =6 ч. Требуется определить надежность системы. Решение. Переведем размерность частоты отказов в ч -1 : λ 1 = 1,2/8760=137*10 -6 ч -1 ; λ 2 =2,7/8760=308*10 -6 ч -1 Формулы могут быть использованы в расчетах, поскольку 3247 10 308 1 1 1 16 6 2 max min 1 max T t t в в Частота отказов 1 9 6 6 10 928 ) 6 16 ( 10 308 10 137 ч c или 1 3 1 9 10 13 , 8 8760 10 928 год ч c Среднее время восстановления 36 , 4 6 16 6 16 ч t вc Среднее время безотказной работы года ч T c 123 1077586 10 928 1 9 Вероятность безотказной работы системы за t=1 год 9919 , 0 ) ( 00813 , 0 1 e t P Вероятность отказа системы за t=1 год 0081 , 0 9919 , 0 1 ) ( t Q Коэффициент готовности 999996 , 0 36 , 4 1077586 1077586 Г K А.В.Демура. Лекции по теории надежности 26 МИНИМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ Существуют некоторые группы элементов, одновременный отказ которых приводит к разрыву всех путей, связывающих вход и выход структуры. Набор элементов, отказ которых приводит к отказу структуры (т.е. разрыву всех связей между входом и выходом) в теории надежности называется сечением. Если выявить все сечения, содержащиеся в исследуемой структуре, и определить их надежность, то можно определить надежность всей структуры. В структуре, представленной на рис., сечения образуют наборы элементов: 1,2; 3,4; 1,2,5; 1,3,4; 1,4,5; 2,3,4; 2,3,5; 3,4,5; 1,2,3,4; 1,2,3,5; 1,2,4,5; 2,3,4,5; 1,2,3,4,5. Среди множества сечений сложных структур имеются такие, которые образованы минимальным набором элементов – это минимальные сечения. Для структуры, представленной на рис. минимальными сечениями являются 1,2; 3,4; 1,4,5; 2,3,4. Действительно, если в любом из этих наборов убрать хотя бы по одному элементу, оставшийся набор уже не будет сечением. В теории надежности выполнены исследования, которые доказывают, что надежность последовательно соединенных минимальных сечений структуры определяет нижнюю границу ее надежности. Причем, чем надежнее элементы, входящие в систему, тем точнее надежность совокупности минимальных сечений S отражает надежность всей структуры. Считаем с достаточной степенью точности, что для высоконадежных структур при соблюдении соотношения min T t S i вi надежность последовательно соединенных минимальных сечений является надежностью всей структуры. Таким образом, приведенную на рис. структуру можно преобразовать в схему последовательно соединенных минимальных сечений, каждое из которых является параллельным соединением. 1 2 1 1 2 3 2 3 4 4 5 5 3 4 5 А.В.Демура. Лекции по теории надежности 27 МЕТОД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Метод с использованием формулы полной вероятности позволяет с помощью формулы полной вероятности представить сложную схему в виде эквивалентной последовательно параллельной. Метод позволяет определить вероятную частоту отказов системы. Недостатками метода являются то, что он не учитывает вероятное время, которое потребуется на восстановление нормального режима работы оборудования и громоздкий математический аппарат. По формуле полной вероятности определяется вероятность P(A) события А при известных условных вероятностях P(A|H i ) наступления события А и известных вероятностях гипотез P(H i ) i n i i H H A P A P 1 ) ( ) ( С помощью формулы полной вероятности можно представить сложную схему в виде эквивалентной последовательно-параллельной. Рассмотрим основную идею этого способа на примере конкретной схемы без учета преднамеренных отключений элементов. Формула полной вероятности для определения надежной работы схемы интерпретируется следующим образом. Вероятность любого события (в нашем случае работы системы относительно узла) вычисляется как сумма произведений вероятностей несовместимых гипотез (в качестве гипотезы рассматриваются либо работа, либо отказ любого элемента) и вероятности события (т.е. работы оставшейся части цепи) при этой гипотезе. Применяя формулу полной вероятности к расчету вероятности безотказной работы любой схемы, можно сформулировать так называемую теорему разложения на множители. Надежность цепи с избыточностью равна произведению вероятности безотказной работы i-го элемента цепи на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения i-го элемента замкнуты накоротко) плюс произведение вероятности отказа того же i-го элемента на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения i-го элемента разомкнуты), т. е. для выделенного в схеме элемента рассматриваются две независимые гипотезы. Рассмотрим на примере мостиковой схемы (см. рис.) применение теоремы разложения, а следовательно, и формулы полной вероятности для определения показателей надежности сложных схем. Отказы узловых пунктов не учитываются. Относительно любого элемента схемы можно рассмотреть две несовместимые гипотезы: работа с вероятностью p и отказ его с вероятностью q. В качестве такого элемента выбираем элемент 5. Тогда, применяя теорему разложения, нетрудно свести мостиковую схему к сумме двух цепей: параллельно- последовательной и последовательно-параллельной (рис.), методы расчета которых хорошо разработаны. 1 2 3 4 5 А.В.Демура. Лекции по теории надежности 28 Рис. Диаграмма, иллюстрирующая применение теоремы разложения для схемы типа «мостик» Вероятность безотказной работы этой схемы: P = p 5 (1-q 1 q 2 )(1-q 3 q 4 ) + q 5 (1-p 1 p 3 )(1-p 2 p 4 ) В этом выражении (1-q 1 q 2 )(1-q 3 q 4 ) − вероятность безотказной работы схемы при первой гипотезе – безотказной работе элемента 5; а (1-p 1 p 3 )(1-p 2 p 4 ) − вероятность безотказной работы схемы при второй гипотезе – отказе элемента 5; p 5 – вероятность первой гипотезы; q 5 – вероятность второй гипотезы. Формула полной вероятности и основанная на ней теорема разложения на множители играют большую роль при анализе надежности сложных схем, поскольку позволяют свести любую сложную схему к совокупности элементарных. Причем в сложной схеме эту теорему приходится применять многократно. Метод оценки надежности, основанный на формуле полной вероятности, достаточно удобен, прост и нагляден в расчетах даже без применения ЭВМ относительно не больших по объему схем с небольшим числом ветвей и узлов, к которым можно отнести схемы внутризаводского электроснабжения. Для схемы сложной конфигурации реализация этого метода с использованием ЭВМ осложняется выбором элементов, относительно которых производится разложение. (из книги Волков Н. Г. Надежность электроснабжения. Учеб. пособие/ Том. политех. унт. – Томск, 2003. – 140 с.) 2 1 3 4 1 2 3 4 p 5 •p + q 5 •p |