физика. Лекция 1. Лекция 1 Механика 3 кинематика поступалтельного и вращательного движения 3

Название	Лекция 1 Механика 3 кинематика поступалтельного и вращательного движения 3
Анкор	физика
Дата	25.11.2021
Размер	0.62 Mb.
Формат файла
Имя файла	Лекция 1.doc
Тип	Лекция #281567

Куцов А.М.

ФИЗИКА

лекция 1

Механика 3

1.КИНЕМАТИКА ПОСТУПАЛТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 3

2. ДИНАМИКА ТОЧКИ и ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 5

3. Динамика вращательного движения твердого тела 8

4. Работа и энергия 11

5. Законы сохранения момента импульса и энергии 12

6. Элементы специальной теории относительности 13

Механика

1.КИНЕМАТИКА ПОСТУПАЛТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Положение материальной точки в пространстве в момент времени t определяется радиус-вектором (рис. 1-1)
С редняя скорость

. (1.1)

Мгновенная скорость

. (1.2)

Мгновенное ускорение

Рис. 1-1.
. (1.3)

При криволинейном движении полное ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис. 1-2): .

Рис 1-2.
Абсолютные значения этих ускорений

, (1.4)

, (1.5)

, (1.6)
где R – радиус кривизны траектории.

При движении с постоянным ускорением

, (1.7)
Где

– начальное положение и начальная скорость материальной точки. Аналогичные выражения имеют место для проекций радиус-вектора. Например, проекция

на ось x имеет вид

, (1.8)

Скорость точки при равноускоренном движении ( )

. (1.9)

Вращательное движение – это движение по круговой траектории. Это движение является частным случаем криволинейного движения, однако для его описания используются угловые характеристики: угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение .
Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращения таким образом, что вращение происходит по часовой стрелке, если смотреть вдоль вектора (правило буравчика) (рис. 1-3)

Рис. 1-3.

Угловая скорость

. (1.10)

Угловое ускорение

. (1.11)

Равнопеременное вращение тела вокруг неподвижной оси

, (1.12)

. (1.13)
Здесь знак вектора для угловой скорости и углового ускорения опущен, так как эти векторы предполагаются коллиниарными. Но следует помнить, что

здесь понимаются в алгебраическом смысле (с учетом знаков).

Связь угловых величин с линейными:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R, равен

, (1.14)
линейная скорость этой точки

, (1.15)
тангенциальное ускорение точки

, (1.16)
нормальное ускорение

, (1.17)
полное ускорение

. (1.18)

Частота вращения связанная с угловой скоростью соотношение ; период вращения (время одного оборота) .

2. ДИНАМИКА ТОЧКИ и ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, в которых свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно или покоится. Эти системы отсчета называются инерциальными системами отсчета (ИСО).
Второй закон Ньютона: изменение импульса материальной точки равно равнодействующей всех сил, действующих на нее

. (2.1)

Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть выражен формулой

. (2.2)

Интегрируя (2.1) от до , получаем

, (2.3)
где

, а интеграл в правой части (2.3) называется импульсом силы. Соотношение (2.3), означает, что изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы.

Если, , то . Значит, если равнодействующая всех сил равна нулю, то импульс материальной точки сохраняется.
Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие – тангенциальную и нормальную. Тангенциальная (или касательная) сила

, (2.4)
где

– единичный вектор, направленный по касательной к траектории. Нормальная, или центростремительная, сила

, (2.5)
где

– единичный вектор, направленный по нормали к траектории (к центру кривизны траектории), а R – радиус кривизны траектории.

Сила трения скольжения

, (2.6)
где – коэффициент трения скольжения, N – абсолютная величина силы нормального давления,

– единичный вектор в направлении скорости тела.

Сила упругости

, (2.7)
где k – коэффициент жесткости, х – координата незакрепленного конца пружины, а x₀ – она же для нерастянутой пружины. Знак минус показывает, что сила направлена в обратную деформации сторону.

Сила гравитационного взаимодействия

, (2.8)
где

Нм/кг² гравитационная постоянная.

Здесь

;

– радиус-вектор тела 2 относительно тела 1. Знак минус в формуле (2.8) указывает на притяжение тел.

Полный импульс системы материальных точек равен сумме импульсов всех этих материальных точек

. (2.9)

Полный импульс изолированной системы материальных точек остается постоянным, как бы не двигались эти материальные точки, взаимодействуя друг с другом (закон сохранения импульса)

. (2.10)

Для двух взаимодействующих между собой материальных точек , следовательно,

,
откуда следует третий закон Ньютона

. (2.11)

Применение закона сохранения импульса к соударению двух тел

, (2.12)
где

(i=1, 2) – скорости тел 1 и 2 до и после соударений соответственно.

При неупругом ударе, когда тела слипаются после соударения, их общая скорость становится равной

. (2.13)

Если имеется механическая система, состоящая из n материальных точек массами и скоростями , то центром масс этой системы называется точка пространства с радиус-вектором

. (2.14)
Следует понимать, что в этом месте, может не быть ни одной материальной точки, это просто удобная характеристика системы материальных точек.

Центр масс перемещается в пространстве со скоростью (скорость центра масс), которая определяется формулой

. (2.15)

В ИСО, связанной с центром масс изолированной системы материальных точек, полный импульс равен нулю, хотя все точки находятся в движении. В этом случае говоря, что в этой ИСО материальные точки покоятся как целое.

3. Динамика вращательного движения твердого тела

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

, (3.1)
где

–момент силы,

– момент импульса.

Момент силы F относительно оси вращения

, (3.2)
где

– проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения, l– - плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент силы относительно начала координат

, (3.3)
где

– радиус вектор точки приложения силы (рис. 3-1).

Рис. 3-1.

Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси

, (3.4)
где J – момент инерции.

Момент инерции некоторых тел:

а) материальной точки:

, (3.5)
где – расстояние от точки до оси вращения;

б) Шара относительно оси, проходящей через его центр:

, (3.6)
где r – радиус шара;

в) однородного цилиндра (диска) относительно его оси:

, (3.7)
где r – радиус основания цилиндра (диска);

г) тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня и перпендикулярной ему:

, (3.8)
где l – длина стержня.

Теорема Штейнера:

, (3.9)
где

– момент инерции тела относительно заданной оси,

- момент инерции тела относительно воображаемой оси, параллельной заданной, но проходящей через центр инерции тела, a- расстояние между этими осями.

Момент импульса материальной точки с импульсом р относительно начала координат

, (3.10)
где

– радиус-вектор материальной точки (Рис.3.-2).

Рис. 3-2.

Закон сохранения момента импульса:

, (3.11)
где

– момент импульса тела с номером i, входящего в состав системы.

Закон сохранения момента импульса для тела, вращающегося около неподвижной оси, когда момент инерции может меняться:

, (3.12)
где

– начальный и конечный моменты инерции,

– начальная и конечная угловые скорости тела.

Элементарная работа, совершаемая силой

, (3.13)
где

– вектор элементарного угла поворота тела.

Кинетическая энергия:

а) тела, вращающегося относительно неподвижной оси,

;(3.14)
б) тела, катящегося по плоскости

. (3.15)

4. Работа и энергия

Работа, совершаемая постоянной силой

, (4.1)
где a – угол между направлением векторов силы

и перемещения

Работа переменной силы на пути s

_{. (4.2)}

Мощность:

а) средняя мощность за интервал времени

_{; (4.3)}
б) мгновенная мощность

_{. (4.4)}

Работа консервативной силы на участке траектории от до не зависит от формы траектории и определяется разностью потенциальной энергии в начальной и конечной точках

_._(4.5)

Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной, так как физический смысл имеет только разность потенциальных энергий (работа). Однако если зафиксировать значение потенциальной энергии в какой-то точке пространства (например, считать ее нулевой на какой-либо высоте в однородном поле силы тяжести ( ) или на бесконечности в случае гравитационной силы (2.8)) , то во всех остальных точках потенциальная энергия будет определена однозначно.
Если потенциальная энергия известна, то сила определяется формулой,

_{, (4.6)}
где

– единичные векторы (орты) вдоль координатных осей X, Y, Z соответственно. Если потенциальная энергия зависит от одной переменной, например от x, то формула (4.6) упрощается

_{. (4.7)}

Энергия:

а) кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

_{; (4.8)}
б) потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h,

_{; (4.9)}
в) потенциальная энергия упругой деформации тела

, (4.10)
где k – жесткость тела,

- абсолютная деформация.

5. Законы сохранения момента импульса и энергии

Полная механическая энергия равна сумме потенциальной U и кинетической T энергии.
Закон сохранения энергии в механики: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть величина постоянная

Закон сохранения импульса: момент импульса системы, на которую действуют внешние моменты сил, сохраняются.

Особенно большое значение закон сохранения момента импульса имеет в случае движения в центральном поле сил. В этом случае момент сил равен нулю, так как

. С другой стороны,

. Значит, в центральном поле сил, например в поле сил тяготения, момент импульса всегда сохраняется. Закону сохранения момента импульса подчиняются движения планет и многих других объектов.

6. Элементы специальной теории относительности

В основе специальной теории относительности (СТО), созданной А.Эйнштейном в 1905 г., лежат два постулата:

Не существует абсолютно неподвижных инерциальных систем отсчета (ИСО);
Скорость света c в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одна и та же и равна 299792 м/с  310⁸ м/с.

Непосредственным следствием второго постулата являются преобразования Лоренца, связывающие координаты и время в двух ИСО (), движущихся равномерно и прямолинейно относительно другой ( ) вдоль оси X с постоянной скоростью V (рис.6.1). Тогда координаты x, y, z и время t какого-то события в связаны с координатами , , и временем этого же события в формулами

(6.1)
Это и есть преобразования Лоренца для случая, изображенного на рис. 6.1.

Рис. 6-1.

Следствием преобразований Лоренца является релятивистское сокращение продольных размеров движущихся объектов. Если, например, неподвижный в и ориентированный вдоль оси стержень имеет в этой ИСО длину (так называемая собственная длина стержня), то длина этого стержня в

. (6.2)

Отметим, что поперечные размеры движущихся объектов не изменяются.

Другим следствием преобразований Лоренца является замедление хода движущихся часов относительно неподвижных. В частности, если – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в какой-то точке ИСО и измеренный по часам, неподвижным в этой ИСО (собственный промежуток времени), то промежуток времени между этими же событиями, измеренный по таким же часам, неподвижным в , определяется формулой.

(6.3)
Тот факт, что

, интерпретируется как более медленный ход движущихся часов.

Преобразования Лоренца приводят к иному, по сравнению с галилеевским ( ), закону сложения скоростей. Пусть в объект движется со скоростью вдоль оси , а , в свою очередь, движется относительно вдоль оси с постоянной скоростью V. Тогда скорость объекта в определяется формулой