Лекция 1 спецглавы. Лекция 1 Тема Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент. Свойства преобразования Лапласа

• Название: Лекция 1 Тема Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент. Свойства преобразования Лапласа
• Дата: 30.01.2022
• Размер: 372.7 Kb.
• Имя файла: Лекция 1 спецглавы.docx
• Тип: Лекция; #346836

Лекция №1

Тема: Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент. Свойства преобразования Лапласа

Преобразование Фурье сигнала  :



(1)

где   — спектральная плотность сигнала  ,   и   — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала сигнала  , т.е. сходимость интеграла:



(2)

При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время   измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.

С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал   определён на положительном интервале времени, т.е  , при  .

Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал   на  , где   — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье   полученного сигнала:



(3)

Очевидно,   зависит от параметра  . Тогда   можно трактовать как функцию двух вещественных переменных   или как функцию одной комплексной переменной  . Обозначив   получим:



(4)

Выражение (4) представляет собой разложение   по системе затухающих комплексных экспонент  , которое носит название преобразования Лапласа, где   — оператор преобразования.

Исходный сигнал   называют оригиналом, а   — образом, или изображением оригинала.

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Фурье (3) от   имеет вид:



(5)

Умножим левую и правую части (5) на  , получим:



(6)

Учтём, что  , изменим переменную интегрирования с   на  :



(7)

При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:



(8)

Окончательно (6) с учётом 7 и (8):



(9)

Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором  .

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности

Пусть сигнал  . Тогда преобразование Лапласа  :



(10)

Следствием (10) является умножение на константу:



(11)

Свойство подобия (масштабирование по аргументу)

Пусть сигнал   имеет образ  . Тогда изображение масштабированного во времени сигнала   равно:



(12)

Аналогично можно показать , что масштабирование образа по аргументу   приводит к оригиналу вида:



(13)

Преобразование Лапласа задержанного сигнала

Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала  , задержанного во времени на положительную величину  .



(14)

Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка   положительна, как это показано на рисунке 1.



Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной
задержки сигнала

Если же задержка отрицательна, то :



(15)

Аналогичное свойство смещения образа:



(16)

Таким образом, смещение образа   на произвольное комплексное   приводит к умножению сигнала на  .

Свойство дифференцирования оригинала и образа

Пусть дан сигнал   и его преобразование Лапласа равно  . Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала  :



(17)

Применяя правило интегрирования по частям :



(18)

где   — значение сигнала при  . Если функция   при   имеет разрыв, то вместо   необходимо брать правый предел  :



(19)

при стремлении   к нулю справа.

Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную  . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.

Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа . Пусть   — образ сигнала  . Тогда



(20)

где   — производная  -го порядка образа  .

Свойство интегрирования оригинала и образа

Пусть сигнал   есть результат интегрирования сигнала  :



(21)

Рассмотрим преобразование Лапласа   от  :



(22)

Изменим порядок интегрирования и получим:



(23)

Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала   равен образу   этого сигнала, деленного на переменную  . Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.

Преобразование Лапласа свертки двух сигналов

Пусть сигнал   представляет собой свертку двух сигналов   и  , определяемую соотношением:



(24)

Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала   через линейный фильтр с импульсной характеристикой  .

Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до   обусловлены тем, что   и   отличны от нуля только для положительных значений переменной  .

Рассмотрим преобразование Лапласа   сигнала  :



(25)

Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):



(26)

Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов   входного сигнала   и образа   импульсной характеристики фильтра  .

Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.

• 
  Абсолютная сходимость
  

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при   , то есть существует предел



то он сходится абсолютно и равномерно для   и   —аналитическая функция при   (   — вещественная часть комплексной переменной   ). Точная нижняя грань   множества чисел   , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции   .

• 
  Условия существования прямого преобразования Лапласа
  

Преобразование Лапласа   существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. 
    : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл   ;
   
2. 
    : преобразование Лапласа существует, если интеграл   существует для каждого конечного   и   для   ;
   
3. 
    или   (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции   (производнаяот   ) для   .
   

Примечание: это достаточные условия существования.

• 
  Условия существования обратного преобразования Лапласа
  

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. 
   Если изображение   —аналитическая функция для   и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём   для   .
   
2. 
   Пусть   , так что   аналитична относительно каждого   и равна нулю для   , и   , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.
   

Примечание: это достаточные условия существования.

• 
  Теорема о свёртке
  

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

• 
  Умножение изображений
  

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• 
  Дифференцирование и интегрирование оригинала
  

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:



В более общем случае (производная   -го порядка):



Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

• 
  Дифференцирование и интегрирование изображения
  

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:



Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

• 
  Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы
  

Запаздывание изображения:





Запаздывание оригинала:





где   —функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

 , если все полюсы функции   находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• 
  Другие свойства
  

Линейность:



Умножение на число: