Лекции (геодезия). Лекция 1 введение
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Вычисления – неотъемлемый элемент геодезических работ, как во время измерений, так и в процессе обработки их результатов. Способ и технические средства вычислений зависят от сложности и объема работы. Для вычислений используют различные вычислительные машины. В процессе работы пользуются справочными материалами, таблицами, номограммами. При вычислении соблюдают общие требования, позволяющие уменьшать вероятность ошибок и получать результат наиболее простым способом: 1 Прежде всего, выбирают рациональную схему (алгоритм), обеспечивающую простоту, наглядность и однотипность вычислений. Например, результаты измерений и полевых вычислений записывают в стандартных журналах, а последующих (камеральных) вычислений – в бланках или ведомостях). 2 Все вычисления сопровождаются контролем – текущим и заключительным. При текущем контроле проверяют правильность промежуточных вычислений, при заключительном – окончательного результата. Для этого вычисления выполняют два работника, параллельно и независимо друг от друга; либо результаты проверяют по контрольным формулам. 3 Записи ведут четко и разборчиво. Не допускается исправление неверно записанного или вычисленного числа по ранее написанному – ошибочное число зачеркивают одной линией и над ним пишут правильное число. В геодезических вычислениях приходится иметь дело преимущественно с приближенными числами. Для того, чтобы добиться наибольшей степени приближения, соблюдают следующие правила. В приближенном числе выделяют десятичные знаки, значащие цифры и верные цифры. Десятичными знаками считают все цифры, стоящие после запятой, значащими цифрами – все цифры числа, кроме нулей, стоящих перед первой и после последней значащих цифр (например, в числе 0,0107 четыре десятичных знака и три значащие цифры). Верными называют цифры числа, «заслуживающие доверия». Например, если при измерении линии с точностью до 1 м получается результат 285, 41 м, верными будут цифры 285, последние две цифры неверные, «не заслуживающие доверия». При вычислениях удерживают такое количество значащих цифр, десятичных знаков, знаков логарифма, которое обеспечивает нужную точность результатов и не загружает вычисления неверными или ненужными цифрами. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более одной лишней значащей цифры. Числа округляют по общим правилам: если следующая после оставляемой цифры меньше пяти, ее и последующие цифры отбрасывают, если больше пяти – к последней оставляемой цифре прибавляют единицу. Если в числе последняя цифра 5, ее округляют до четной цифры, например, 10, 375 – до 10, 38; 0,245 – до 0,24. При выполнении арифметических действий с приближенными числами руководствуются следующими правилами: 1. При сложении или вычитании чисел с неодинаковым количеством десятичных знаков оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет число с наименьшим количеством десятичных знаков, плюс один запасной знак. В сумме или разности оставляют столько десятичных знаков, сколько имеет число с наименьшим количеством знаков. 2. При умножении или делении чисел с неодинаковым количеством значащих цифр оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр, плюс одна запасная цифра. В произведении или частном сохраняют столько значащих цифр, сколько имеет число с наименьшим количеством значащих цифр. 3. При возведении числа в степень в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их было в числе, возводимом в степень. 4. При извлечении корня из числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное число. 38 При вычислениях, связанных с умножением и делением чисел, возведением в степень и извлечением корня, применяют логарифмический, нелогарифмический (натуральный) и бестабличный способы, наиболее часто – нелогарифмический способ, основанный на применении вычислительных машин. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА Для решения многих повседневных технических задач в геодезии применяют различные виды микрокалькуляторов и электронно-вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время многие современные геодезические приборы оборудованы встроенными ЭВМ, позволяющими производить обработку результатов измерений непосредственно в поле. ТАБЛИЧНЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Табличные способы вычислений основаны на использовании общих и специальных таблиц. Общие таблицы – логарифмов, квадратов чисел; специальные – приращений координат, разбивки круговых кривых. По точности таблицы бывают двух видов: с одним и тем же числом знаков после запятой или с одинаковым числом значащих цифр для всех значений аргументов. Последние таблицы точнее, поэтому их применяют для высокоточных вычислений. Прежде чем выбрать ту или иную таблицу, устанавливают необходимое число знаков, требуемое для обеспечения заданной точности вычислений. Например, при нахождении логарифмов натуральных чисел пользуются таблицами со столькими знаками, сколько верных цифр в данном числе. Графические способы вычислений основаны на применении номограмм. Номограмма – это чертеж функциональной зависимости. По номограмме без вычислений определяют числовое значение одной переменной по числовым значениям других переменных, входящих в данную формулу. Точность вычислений по номограммам зависит от их размера. Так, номограммы размером 20 – 40 см, построенные для геодезических формул, позволяют получить 3 – 4 верных знака. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений. Если обозначить истинное значение измеряемой величины Х, а результат измерения l, то истинная погрешность измерения определится из выражения: = l – Х. () Любая погрешность результата измерения есть следствие действия многих факторов, каждый из которых порождает свою погрешность. Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называют элементарными. Погрешности результата измеренияявляются алгебраической суммой элементарных погрешностей. Изучением основных свойств и закономерностей действия погрешностей измерений, разработкой методов получения наиболее точного значения измеряемой величины и характеристик ее точности занимается теория погрешностей измерений. Излагаемые в ней методы решения задач позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и технологию измерений, а после производства измерений получить наилучшие их результаты и оценить их точность. Математической основой теории погрешностей измерений являются теория вероятностей и математическая статистика. 39 Погрешности измерений разделяют по двум признакам: характеру их действия и источнику происхождения. По характеру действия погрешности бывают грубые, систематические и случайные. Грубыми называют погрешности, превосходящие по абсолютной величине некоторый, установленный для данных условий измерений, предел. Они происходят в большинстве случаев в результате промахов и просчетов исполнителя. Такие погрешности обнаруживают повторными измерениями, а результаты, содержащие их, бракуют и заменяют новыми. Систематическими называют погрешности, которые по знаку или величине однообразно повторяются в многократных измерениях (например, в длине линии из-за неточного знания длины мерного прибора, из-за неточности уложения мерного прибора в створе этой линии и т.п.). Влияние систематических погрешностей стремятся исключить из результатов измерений или ослабить тщательной проверкой измерительных приборов, применением соответствующей методики измерений, а также введением поправок в результаты измерений. Случайными называют погрешности, размер и влияние которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Величину и знак случайной погрешности заранее установить нельзя. Однако теоретические исследования и многолетний опыт измерений показывают, что случайные погрешности подчинены определенным вероятностным закономерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее надежный результат и оценить его точность. По источнику происхождения различают погрешности приборов, внешние и личные. Погрешности приборов обусловлены их несовершенством. Например, погрешность в угле, измеренном теодолитом, ось вращения которого неточно приведена в вертикальное положение. Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения. Например, погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами. Личные погрешности связаны с особенностями наблюдателя. Например, разные наблюдатели по-разному наводят трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью, оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей. СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами: 1. При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов грубые погрешности. 2. Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей. 3. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений. 4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так: 0 lim n , n где - знак суммы, т.е. = 1 + 2 + … + n ; n – число измерений. 40 Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т.е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из n измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений X n l lim n При конечном числе измерений арифметическая середина х = l /n содержит остаточную случайную погрешность, однако от точного значения Х измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если n 1, принимать арифметическую середину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ, ПРЕДЕЛЬНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле n n m n 2 2 2 2 2 1 , (1) где n – число измерений данной величины. Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике случаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, - арифметическую середину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения рассчитывается по формуле Бесселя: 1 2 n m , (2) где δ – отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической середины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [δ] = 0. Точность арифметической середины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность М определяется по формуле: n m М , (3) где m - средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формуле () или (). Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и в обратном направлениях (например, длину линий, превышения между точками). Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения находится по формуле: 41 n d m 2 2 , (4) а среднего результата из двух измерений – по формуле: n d M 2 2 1 , (5) где d – разность двукратно измеренных величин; n – число разностей (двойных измерений). В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением. Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± m; в интервал от 0 до ± 2m попадает 95,4%, а от 0 до ± 3m – 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2m, а из 1 000 погрешностей только три будут больше или равны 3m. На основании этого в качестве предельной погрешности Δ ПРЕД для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. Δ ПРЕД = 3m. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают Δ ПРЕД = 2m. Погрешности измерений, величины которых превосходят Δ ПРЕД , считают грубыми. Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительная погрешность выражается в виде простой дроби, числитель которой - единица, а знаменатель – число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при m = 2 см равна m/l = 1/5 500, а относительная предельная погрешность при Δ ПРЕД = 3m = 6 см, Δ ПРЕД /l = 1/1 800. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в следующей последовательности. 1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [l]/n. 2. Вычисляют отклонения δ i = l i – х каждого значения измеренной величины l 1 , l 2 , … l n от значения арифметической середины. Контроль вычислений: [δ] = 0. 3. По формуле Бесселя (2) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения. 4. По формуле (3) вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины. 5. Если измеряют линейную величину, то рассчитывают относительную среднюю квадратическую погрешность каждого измерения и арифметической средины. 6. При необходимости рассчитывают предельную погрешность одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений. Пример 1. Длина линии измерена шесть раз. Определить вероятнейшее значение длины линии и оценить точность выполненных измерений. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 1. 42 Таблица 1 № п/п l , м δ, см δ 2 , см 2 Вычисления 1 121,75 - 1 1 1 6 81 m см = 4,0 см 6 0 , 4 М см = 1,6 см 000 3 1 l m 600 7 1 l M Δ ПРЕД = 12 см 2 121,81 + 5 25 3 121,77 + 1 1 4 121,70 - 6 36 5 121,73 - 3 9 6 121,79 + 3 9 среднее 121,76 - 1 81 Оценку точности по разностям двойных измерений производят в следующей последовательности: 1. Вычисляют среднее значение из двойных измерений. 2. Вычисляют разности d двойных измерений. 3. По формуле (4) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения. 4. По формуле (5) вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего результата из двух измерений. Пример 2. На метеостанции температура воздуха измерялась в разное время суток двумя одинаковыми термометрами. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения температуры воздуха одним термометром и среднего значения из одновременных измерений двумя термометрами. Значения измеренных температур воздуха и оценку точности измерений заносят в таблицу 2. Таблица 2 № п/п t 1 , ºС t 2 , ºС t СР , ºС d = t 1 - t 2 d 2 Вычисления 1 12,4 12,6 12,5 - 0,2 0,04 24 57 , 0 m ºС = 0,15 ºС 12 57 , 0 5 , 0 СР t М ºС = 0,11 ºС 2 11,7 12,0 11,8 - 0,3 0,09 3 12,0 12,0 12,0 0 0 4 15,1 14,7 14,9 + 0,4 0,16 5 16,0 15,8 15,9 + 0,2 0,04 6 20,5 20,6 20,6 - 0,1 0,01 7 24,9 25,2 25,0 - 0,3 0,09 8 25,2 25,2 25,2 0 0 9 24,4 24,2 24,3 + 0,2 0,04 10 20,1 20,0 20,0 + 0,1 0,01 11 16,1 16,4 16,2 - 0,3 0,09 12 13,5 13,4 13,4 + 0,1 0,01 - 0,2 0,57 |