10 лекция. Лекция 10. Плоскость в пространстве общее уравнение плоскости. Частные случаи
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. ЛЕКЦИЯ 10. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Общее уравнение плоскости. Частные случаи. 2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендику- лярно заданному вектору. 3. Уравнение плоскости, заданной точкой и направляющими векторами. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежа- щие на одной прямой. 5. Уравнение плоскости в отрезках. 6. Нормальное уравнение плоскости. 7. Расстояние от точки до плоскости. 8. Взаимное расположение двух плоскостей. 9. Угол между плоскостями. При рассмотрении способов задания плоскости в пространстве придерживаются аналогичного подхода, как и при рассмотрении способов задания прямой. Введем не- сколько общих определений. Определение 1. Уравнением поверхности в пространстве называется уравне- ние 0 ) , , ( z y x F , которому удовлетворяют координаты (x; y; z) каждой точки этой по- верхности и только они! Переменные x, y, z называются текущими координатами точек поверхности. Поверхность называется алгебраической, если ) , , ( z y x F – полином (многочлен). n i u t s i i i i z y x a z y x F 1 ) , , ( Степенью полинома называется максимальная степень его одночленов. Степень одночлена есть сумма степеней его переменных. Например, 0 4 2 3 4 3 2 2 2 y xz xy z y x уравнение алгебраической поверх- ности. Степень полинома равна 2. Алгебраическая поверхность первого порядка 0 4 3 2 1 a z a y a x a описыва- ется уравнением первой степени с тремя неизвестными. Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. 10.1. Общее уравнение плоскости. Частные случаи Теорема 1. Поверхность в пространстве, заданная в декартовой прямоугольной системе координат уравнением первой степени вида 0 D Cz By Ax есть плоскость, при этом 0 2 2 2 C B A Теорема 2. (обратная теореме 1) Всякая плоскость в пространстве определяет- ся уравнением первой степени относительно текущих координат x, y, z. 0 D Cz By Ax (1) общее уравнение плоскости Определение 1. Нормальным вектором плоскости называется лю- бой ненулевой вектор, перпендикуляр- ный этой плоскости. Вектор ) , , ( C B A n - нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (1). О x y z ) , , ( C B A n Частные случаи уравнения 0 D Cz By Ax I. Если D=0, то уравнение 0 Cz By Ax задает плоскость, проходящую че- рез начало координат. II. Если С=0, то уравнение 0 D By Ax задает плоскость параллельную оси Oz (см. рисунок). Аналогично, если B = 0, то уравнение 0 D Cz Ax задает плоскость параллельную оси Oy. Если A=0, то уравнение 0 D Cz By задает плоскость параллельную оси Ox. О x y z Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. III. Если С=0, D=0, то уравнение 0 By Ax задает плоскость проходящая через ось Oz (см. рисунок). Аналогично, если B = 0, D=0, то урав- нение 0 Cz Ax задает плоскость, проходя- щая через ось Oy. Если A=0, D=0 то уравнение 0 Cz By задает плоскость, проходящая через осью Ox. x y z О IV. Если С=0, B=0, то уравнение A D x D Ax 0 задает плоскость парал- лельную плоскости Oyz (см. рисунок). Аналогично, если B = 0, A=0, то уравне- ние C D z D Cz 0 задает плоскость, па- раллельную плоскости Oxy. О x y z О A D x x y z C D z Если A=0, C=0 то уравнение B D y D By 0 задает плоскость, парал- лельную плоскости Oxz. О x y z B D y IV. Если B=0, C=0, D=0 то уравнение 0 Аx задает плоскость, совпадающую с плоскостью Oyz. Если A=0, C=0, D=0 то уравнение 0 By задает плоскость, совпадающую с плоскостью Oxz. Если A=0, B=0, D=0 то уравнение 0 Cz задает плоскость, совпадающую с плоскостью Oxy. Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. 10.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору Пусть необходимо задать плоскость , прохо- дящую через точку ) , , ( 0 0 0 0 z y x M , перпендикуляр- но некоторому вектору ) , , ( C B A n Пусть ) , , ( z y x M - будет произвольной, те- кущей точкой задаваемой плоскости тогда векторы n 0 M M ) , , ( C B A n и ) ; ; ( 0 0 0 0 z z y y x x M M будут перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю: ( M M n 0 , ) = 0. Запишем его в координатной форме: 0 ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 0 0 0 z z C y y B x x A M M n 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 z z C y y B x x A (2) уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором Задача 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) 0 , 1 , 2 ( M , перпендикулярно вектору ) 8 , 7 , 6 ( n Решение. Воспользуемся формулой (2): 8 , 7 , 6 C B A 0 ) 0 ( 8 ) 1 ( 7 ) 2 ( 6 z y x 0 19 8 7 6 z y x Ответ. 0 19 8 7 6 : z y x 10. 3. Уравнение плоскости, заданной точкой и направляющими векторами Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Пусть необходимо задать плоскость , проходящую через точку ) , , ( 0 0 0 0 z y x M , параллельно векторам ) , , ( 3 2 1 a a a a и ) , , ( 3 2 1 b b b b b a 0 M M Отложим в плоскости векторы a и b от точки 0 M (см. рисунок). Пусть ) , , ( z y x M - будет произвольной, текущей точкой задаваемой плоско- сти, тогда векторы a , b , ) ; ; ( 0 0 0 0 z z y y x x M M будут компланарны. Тогда смешанное произведение этих векторов ( b a M M , , 0 ) = 0: 0 ) , , ( 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 b b b a a a z z y y x x b a M M 0 3 2 1 3 2 1 0 0 0 b b b a a a z z y y x x (2) уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами Замечание. Рассмотрим векторное произведение векторов a и b , лежащих в плоскости . Как известно, ] , [ b a есть вектор перпендикулярный векторам a и b , а значит и плоскости . То есть этот вектор может быть выбран в качестве вектора нор- мали к задаваемой плоскости. n k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a C B A ) ( ) ( ) ( ] , [ 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 Задача 2 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) 0 , 1 , 2 ( S , параллельно векторам ) 1 , 0 , 3 ( a и ) 1 , 5 , 2 ( b Решение. Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. I способ. Воспользуемся формулой (1): 0 1 5 2 1 0 3 0 1 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 z y x b b b a a a z z y y x x Разложим определитель по первой строке 0 15 ) 1 ( 5 ) 2 ( 5 5 2 0 3 1 2 1 3 ) 1 ( 1 5 1 0 ) 2 ( 1 5 2 1 0 3 0 1 2 z y x z y x z y x Преобразуем уравнение 0 15 ) 1 ( 5 ) 2 ( 5 z y x , поделив обе части на (-5) и рас- кроем скобки: 0 1 3 z y x II способ. Рассмотрим n k j i k j i b a 15 5 5 1 5 2 1 0 3 ] , [ ) 15 , 5 , 5 ( n - нормальный вектор плоскости. ) , , ( C B A n b a S Составим уравнение плоскости, воспользовавшись формулой (2). 0 ) 0 ( 15 ) 1 ( 5 ) 2 ( 5 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 z y x z z C y y B x x A , преобразовывая, по- лучаем уравнение 0 1 3 z y x Ответ. 0 1 3 : z y x Задача 3 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) 1 , 3 , 2 ( P , перпендикулярно линии пересечения плоскостей 1 : 0 2 3 z y x и 2 : 0 1 4 z y x Решение. Так как искомая плоскость пер- пендикулярна к данным плоскостям, то она параллельна нормальным векторам этих плоскостей. Нормальные векторы плоскостей ) 1 , 1 , 3 ( 1 n и ) 4 , 1 , 1 ( 2 n ) 1 , 1 , 3 ( 1 n ) 4 , 1 , 1 ( 2 n P Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Их векторное произведение ] , [ 2 1 n n есть вектор n , перпендикулярный этим векторам, а значит, перпендикулярный искомой плоскости k j i k j i n n n 4 13 3 4 1 1 1 1 3 ] , [ 2 1 Составим уравнение плоскости , используя формулу (2). 0 41 4 13 3 ) 1 ( 4 ) 3 ( 13 ) 2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 z y x z y x z z C y y B x x A Ответ. 0 41 4 13 3 : z y x 10. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не ле- жащие на одной прямой Зададим плоскость , проходящую через точки ) , , ( 1 1 1 1 z y x M , ) , , ( 2 2 2 2 z y x M , ) , , ( 3 3 3 3 z y x M Пусть ) , , ( z y x M - будет произ- вольной, текущей точкой задаваемой плоско- сти. 3 M M 1 M 2 M Отложим в плоскости векторы ) , , ( 1 1 1 1 z z y y x x M M , ) , , ( 1 2 1 2 1 2 2 1 z z y y x x M M , ) , , ( 1 3 1 3 1 3 3 1 z z y y x x M M они компланарны, а значит их смешанное произведение равно нулю: ( 3 1 2 1 1 , , M M M M M M ) = 0. Запишем его в координатной форме. 0 ) , , ( 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x M M M M M M 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x (3) уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Задача 4 . Составить уравнение грани ABC, пирамиды ABCD, заданной коорди- натами своих вершин ) 0 ; 1 ; 1 ( A , ) 1 ; 2 ; 3 ( B , ) 1 ; 1 ; 2 ( C , ) 5 ; 3 ; 0 ( D Решение. Воспользуемся формулой (3) 0 A C A C A C A B A B A B A A A z z y y x x z z y y x x z z y y x x 0 0 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 3 0 1 1 z y x A B С D Разложим определитель по первой строке 0 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 0 1 3 2 1 1 1 2 ) 1 ( 1 0 1 3 ) 1 ( 1 0 1 1 3 2 0 1 1 z y x z y x z y x Преобразуем уравнение 0 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 z y x , поделив обе части на 3 и раскроем скобки: 0 2 z y x Ответ. 0 2 : z y x 10.5. Уравнение плоскости в отрезках Пусть уравнение плоскости задано в общем виде 0 D Cz By Ax . Если при этом коэффициент 0 D , то плоскость отсекает на осях координат некоторые отрезки и можно преобразовать уравнение к специальному виду. Перенесем коэффициент D вправо и поделим обе части на -D. В правой части должна остаться единица! D Cz By Ax 1 z D C y D B x D A 1 1 1 1 z C D y B D x A D Числа A D , B D , С D есть длины отрезков отсекаемых плоскостью от коор- динатных осей. Т.е. плоскость пересекает ось Ox в точке ) 0 , 0 , ( A D , ось Oy в точке ) 0 , , 0 ( B D , ось Oz в точке ) , 0 , 0 ( C D Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Задача 5 . Задана плоскость 0 12 3 4 6 : z y x . Вычислить объем пирами- ды, отсекаемой плоскостью от координатных осей. Решение. Перепишем уравнение плоскости в виде 12 3 4 6 z y x Поделим обе части равенства на 12. 1 12 3 12 4 12 6 z y x 1 4 3 2 z y x h S V осн 3 1 , где осн S - площадь основа- ния, h - высота пирамиды. 3 3 2 2 1 осн S , 4 h 4 4 3 3 1 V О x y z 3 2 4 Ответ. 4. 10.6. Нормальное уравнение плоскости Пусть уравнение плоскости задано в общем виде 0 D Cz By Ax . Если при этом коэффициент 0 D , то можно преобразовать уравнение к специальному виду. Вектор ) , , ( C B A n - нормальный вектор плоскости. 2 2 2 C B A n Общее уравнение плоскости можно преобразовать путем умножения на норми- рующий множитель 2 2 2 sgn С B A D в нормальное уравнение, имеющее вид 0 sgn sgn sgn sgn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C B A D D z C B A C D y C B A B D x C B A A D 0 cos cos cos z y x , 2 2 2 sgn cos C B A A D , 2 2 2 sgn cos C B A B D , 2 2 2 sgn cos C B A C D - косину- сы углов, которые нормальный вектор образует с осями координат. Вектор с координатами ) cos , cos , (cos 0 n есть единичный вектор, сона- правленный с вектором нормали, т.е. это орт вектора нормали. Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Напомним, что 0 , 1 0 , 0 0 , 1 sgn D D D D - расстояние от начала координат до данной плоскости. 1 cos cos cos 2 2 2 0 cos cos cos z y x (4) нормальное уравнение плоскости Задача 6 . Привести общее уравнение плоскости 0 12 2 2 z y x к нормаль- ному виду. Найти расстояние от начала координат до этой плоскости. Решение. Найдем нормирующий множитель 2 2 2 sgn C B A D , D = -12, значит 1 ) 12 sgn( , т.к. -12<0. 2 2 2 C B A = 3 9 2 ) 1 ( 2 2 2 2 3 1 3 ) 1 ( 0 4 3 2 3 1 3 2 0 ) 12 2 2 ( z y x z y x – нормальное уравнение плоскости. 4 – расстояние от начала координат до плоскости. Ответ. 4 10.7. Расстояние от точки до плоскости Пусть плоскость задана общим уравнением 0 D Cz By Ax и ) ; ; ( 0 0 0 0 z y x M – произвольная точка пространства. Если 0 M , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, обращая его в верное тождество: 0 0 0 0 D Cz By Ax . Пусть точка ) ; ; ( 0 0 0 0 z y x M не принадлежит плоскости Определение 3. Расстоянием от точки ) ; ; ( 0 0 0 0 z y x M до плоскости назы- вается длина перпендикуляра H M 0 , опущенного из точки 0 M на плоскость Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Теорема 3. Расстояние от точки ) ; ; ( 0 0 0 0 z y x M , до плоскости , заданной в де- картовой прямоугольной системе координат общим уравнением 0 D Cz By Ax находится по формуле 2 2 2 0 0 0 0 ) ; ( С B A D Cz By Ax M (5) Доказательство. Пусть ) ; ; ( H H H z y x H - основание перпендикуляра, опущенного из точки 0 M на плоскость 0 M ) ; ( 0 M H ) , , ( C B A n Рассмотрим вектор ) ; ; ( 0 0 0 0 H H H z z y y x x HM , 0 0 ) ; ( HM M Векторы и 0 HM и нормальный вектор плоскости ) ; ; ( C B A n будут коллине- арны, значит 1 ) , ( cos 0 HM n По определению скалярное произведение этих векторов 0 1 0 0 0 ) , ( cos ) , ( HM n HM n HM n HM n Скалярное произведение этих векторов в координатной форме ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 0 0 0 H H H z z C y y B x x A HM n Приравняем правые части равенств ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 H H H z z C y y B x x A HM n 2 2 2 С B A n D H H H Cz By Ax Cz By Ax HM С B A ) ( 0 0 0 0 2 2 2 Так как H , то D Cz By Ax D Cz By Ax H H H H H H 0 ) ; ( 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 M С B A D Cz By Ax HM D Cz By Ax HM С B A Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Что и требовалось доказать. Задача 7 . Найти расстояние от точки ) 1 ; 5 ; 1 ( S до плоскости 0 1 2 3 4 z y x Решение. Воспользуемся формулой (5) 29 10 29 10 2 3 4 1 ) 1 ( 2 5 3 1 4 ) ; ( 2 2 2 S Ответ. 29 10 Задача 8 . Найти высоту пирамиды ABCD, заданной координатами своих вер- шин ) 0 ; 1 ; 1 ( A , ) 1 ; 2 ; 3 ( B , ) 1 ; 1 ; 2 ( C , ) 5 ; 3 ; 0 ( D , опущенную на грань ABC. Решение. Уравнение грани (ABC) было найдено в задаче 3: 0 2 : z y x Высота DH есть расстояние от точки D до плоскости (ABC) . Воспользуемся формулой (5) A B С D H 3 4 3 4 1 1 1 2 ) 5 ( 1 3 1 0 1 ) ; ( 2 2 2 ABC D Ответ. 3 4 DH 10.8. Угол между двумя плоскостями Под углом между двумя плоскостями в пространстве понимают любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. Пусть плоскости заданы общими уравнениями 1 : 0 1 1 1 1 D z C y B x A 2 : 0 2 2 2 2 D z C y B x A Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Угол между ними равен углу между векторами нормалей ) ; ; ( 1 1 1 1 C B A n и ) ; ; ( 2 2 2 2 C B A n этих плоскостей. Как известно, угол между векторами можно найти из формулы 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( cos С B A С B A С С B B A A n n n n (6) 10. 9. Взаимное расположение двух плоскостей Пусть плоскости заданы общими уравнениями 1 : 0 1 1 1 1 D z C y B x A (7) 2 : 0 2 2 2 2 D z C y B x A (8) Условие совпадения плоскостей: Для того чтобы уравнения (7) и (8) опреде- ляли одну и ту же плоскость необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты этих уравнений были пропорциональны: 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A Условие параллельности плоскостей: Для того чтобы уравнения (7) и (8) оп- ределяли параллельные плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло- вие: 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A Действительно, в случае параллельности двух плоскостей их нормальные векто- ры ) ; ; ( 1 1 1 1 C B A n и ) ; ; ( 2 2 2 2 C B A n коллинеарны, т.е. справедливо равенство 2 1 n n или 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ) ; ; ( ) ; ; ( C C B B A A C B A C B A Условие пересечения плоскостей: Плоскости 1 и 2 пересекаются, если вы- полняется хотя бы одно из условий: 2 1 2 1 B B A A , 2 1 2 1 С С A A Условие перпендикулярности плоскостей: Для того чтобы плоскости 1 и 2 были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 0 2 1 2 1 2 1 С С B B A A Кафедра ВМ-2 Пронина Е.В. Действительно, в случае перпендикулярности двух плоскостей их нормальные векторы ) ; ; ( 1 1 1 1 C B A n и ) ; ; ( 2 2 2 2 C B A n перпендикулярны, т.е. их скалярное произ- ведение равно 0: 0 ) , ( 2 1 n n или 0 2 1 2 1 2 1 С С B B A A Расстояние между двумя параллельными плоскостями Пусть параллельные плоскости заданы общими уравнениями 1 : 0 1 D Cz By Ax 2 : 0 2 D Cz By Ax В этом случае расстояние между плоскостями может быть найдено по формуле 2 2 2 1 2 2 1 ) ; ( С B A D D (7) |